2015福州市第二次质检数学理试题及*（3月）

2015年福州市高中毕业班质量检测理科数学能力测试（完卷时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考*号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：1．样本数据false的标准差false，其中false为样本平均数；2．球的表面积、体积公式：false,false，其中false为球的半径．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）已知全集false，*false，false，则false等于A．falsefalsefalseD．false第5题图false在平面直角坐标系false中，已知角false的顶点与点false重合，始边与false轴的非负半轴重合，终边上一点false的坐标为false，则false的值是A．falseB．0falseD．1在等差数列false中，若false，false，则false的值是A．falsefalsefalseD．false若false，则false的大小关系为A．falseB．falseC．falseD．false执行如图所示的程序框图，输出false的值为A．falseB．1falseD．false在棱长为3的正方体内任取一点false，则点false到该正方体的六个面的距离的最小值不大于1的概率为A．falsefalsefalseD．false“直线false垂直于平面false”的一个必要不充分条件是A．直线false与平面false内的任意一条直线垂直B．过直线false的任意一个平面与平面false垂直C．存在平行于直线false的直线与平面false垂直D．经过直线false的某一个平面与平面false垂直第8题图已知false是边长为1的正三角形，动点false在平面false内．若false，false，则false的取值范围为A．falseB．falsefalseD．false若函数false满足：false，都有false成立，则称false．对于函数false,false有A．false且falseB．false且falsefalse且falseD．false且false某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有16名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：护士多于医生；女医生多于女护士；女护士多于男护士；至少有一名男医生．”请你推断说话的人的*别与职业是A．男医生B．男护士C．女医生D．女护士第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.把*填在答题卡的相应位置上．）已知false，false为虚数单位，若false，则false　★★★．false展开式的常数项为false，则正数false★★★．已知抛物线false的焦点为false，false是false的准线上一点，false是直线false与false的一个交点．若false，则直线false的方程为　★★★　．已知一组正数false的方差false，则数据false的平均数为　★★★　．已知函数，有下列四个结论：=1\*GB3①函数false的图象关于false轴对称；=2\*GB3②存在常数false，对任意的实数false，恒有false成立；=3\*GB3③对于任意给定的正数false，都存在实数false，使得false；=4\*GB3④函数false的图象上至少存在三个点，使得该函数在这些点处的切线重合．其中正确结论的序号是★★★(请把所有正确结论的序号都填上)．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、*过程或演算步骤．）（本小题满分13分）已知函数false的图象与直线false的相邻两个交点之间的距离为false．（Ⅰ）求函数false的单调递增区间；（Ⅱ）设false的内角false所对的边分别是false．若falsefalse，求角false的大小．（本小题满分13分）调查表明，中年人的成就感与收入、学历、职业的满意度的指标有极强的相关*．现将这三项的满意度指标分别记为false，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意，再用综合指标false的值评定中年人的成就感等级：若false，则成就感为一级；若false，则成就感为二级；若false，则成就感为三级．为了了解目前某群体中年人的成就感情况，研究人员随机采访了该群体的10名中年人，得到如下结果：人员编号falsefalsefalsefalsefalsefalsefalsefalsefalsefalsefalse人员编号falsefalsefalsefalsefalsefalsefalsefalsefalsefalsefalse（Ⅰ）在这10名被采访者中任取两人，求这两人的职业满意度指标false相同的概率；（Ⅱ）从成就感等级是一级的被采访者中任取一人，其综合指标为false，从成就感等级不是一级的被采访者中任取一人，其综合指标为false，记随机变量false，求false的分布列及其数学期望．（本小题满分13分）已知一个空间几何体的直观图和三视图（尺寸如图所示）．（Ⅰ）设点false为棱false中点，求*：false平面false；（Ⅱ）线段false上是否存在一点false，使得直线false与平面false所成角的正弦值等于false？若存在，试确定点false的位置；若不存在，请说明理由．第19题图（本小题满分13分）如图，已知椭圆false（false）的离心率false．点false分别为椭圆false的左焦点和右顶点，且false．（Ⅰ）求椭圆false的方程；（Ⅱ）过点false作一条直线false交椭圆false于false两点，点false关于false轴的对称点为false．若false，求*：false．（本小题满分14分）已知函数false，false，false为自然对数的底数．（Ⅰ）当false时，求函数false在点false处的切线方程；（Ⅱ）设false，比较false与false的大小，并加以*．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．若多做，则按所做的前两题计分．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知矩阵false的逆矩阵false．（Ⅰ）求矩阵false；（Ⅱ）求曲线false在矩阵false所对应的线*变换作用下所得的曲线方程．（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线false的参数方程为false（false为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，false轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线false的极坐标方程为false．（Ⅰ）把false的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求false与false交点的极坐标（false）．（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲已知定义在false上的函数false的最小值为false．（Ⅰ）求false的值；（Ⅱ）求不等式false的解集．2015年福州市高中毕业班质量检测理科数学能力测试参考*及评分细则第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1．A2．B3．B4．C5．C6．D7．D8．A9．C10．B第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．false12．false　13．false或false14．false　15．=1\*GB3①=3\*GB3③=4\*GB3④三、解答题（本大题共6小题，共80分．)16．本小题主要考查三角函数的图象与*质（对称*、周期*、单调*）、两角差的正弦公式、利用正弦定理解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分．解：(Ⅰ)因为false，所以false．1分所以函数false的最大值为2．2分因为函数false的图象与直线false的相邻两个交点之间的距离为false，所以false，3分所以false，解得false4分所以false令false，5分解得false．所以函数false的单调递增区间是false．6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，false在false中，因为false所以false7分所以false因为false，所以false．9分因为false，根据据正弦定理，有false，10分所以false，所以false，11分因为false，所以false，所以false，12分所以false．13分17．本小题主要考查离散型随机变量的概率、分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．解：（Ⅰ）设事件false为“从10名被采访者中随机抽取两人，他们的职业满意度指标相同”．职业满意度指标为0的有：false；职业满意度指标为1的有：false,false,false,false,false；职业满意度指标为2的有：false,false,false,false．从10名被采访者中随机抽取两人的所有可能结果数为false，1分false，2分职业满意度指标相同的所有可能结果数为false3分falsefalse，4分所以他们的职业满意度指标相同的概率false．5分（Ⅱ）计算10名被采访者的综合指标，可得下表：人员编号falsefalsefalsefalsefalsefalsefalsefalsefalsefalse综合指标44624313其中成就感是一级的（false）有：false、false、false、false、false、false，共6名，成就感不是一级的（false）有false、false、false、false，共4名．随机变量false的所有可能取值为：false．6分false,7分false，8分false，9分falsefalsefalse,10分false，11分所以false的分布列为false12345falsefalsefalsefalsefalsefalse12分所以false．13分18．本小题主要考查空间体的直观图与三视图、直线与平面的平行、线面所成角、探索*问题等基础知识，考查空间想象能力、推理论*能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分．（Ⅰ）*：（方法一）由三视图知，false两两垂直，故以false为原点，false分别为false轴，false轴，false轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．…………………1分则false,所以false，易知平面false的一个法向量等于false，………3分所以false,所以false，4分又falsefalse平面false，所以false∥平面false．5分（方法二）由三视图知，false两两垂直．连结false，其交点记为false，连结false,false．1分因为四边形false为矩形，所以false为false中点．因为false为false中点，所以false∥false，且false．………………………2分又因为false∥false，且false，所以false∥false,且false=false．所以四边形false是平行四边形，所以false∥false………………………………………4分因为falsefalse平面false，false平面false所以false∥平面false．5分（Ⅱ）解：当点false与点false重合时，直线false与平面false所成角的正弦值为false．6分理由如下：因为false，设平面false的法向量为false，由false得false7分取false，得平面false的一个法向量false．8分假设线段false上存在一点false，使得直线false与平面false所成角false的正弦值等于false．设false，则false，false．9分所以false10分false．12分所以false，解得false或false(舍去)．因此，线段false上存在一点false，当false点与false点重合时，直线false与平面false所成角的正弦值等于false．13分19．本小题主要考查椭圆的标准方程与*质、直线与椭圆的位置关系、推理与*等基础知识，考查推理论*能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．解:（Ⅰ）设椭圆false的半焦距为false，依题意，得false2分解得false3分所以椭圆false的方程为false．4分（Ⅱ）方法一：依题意得，false与坐标轴不垂直．设false．因为点false与点false关于false轴对称,所以false．由（Ⅰ）讨论可知，false．因为false，所以直线false与直线false的斜率相等，故false，6分解得false．7分又因为点false在椭圆false上，所以false，或false．8分由椭圆对称*，不妨取false，则直线false的斜率false．所以直线false方程为false．9分由false得点false坐标为false．10分所以false，11分false．12分所以false．13分方法二：依题意，得false与坐标轴不垂直．设false方程为false（false），false．因为点false与点false关于false轴对称,所以false．又因为椭圆关于false轴对称，所以点false也在椭圆false上．由false消去false得false．5分所以false．6分因为false，所以直线false的方程为false．由false消去false得false．7分因为直线false交椭圆于false两点，所以false，故false．8分所以false，解得false．9分所以false．10分所以false，false．12分所以false．13分方法三：依题意，得false与坐标轴不垂直．设false方程为false（false），false．因为点false与点false关于false轴对称,所以false．又因为椭圆关于false轴对称，所以点false也在椭圆false上．直线false过定点false，5分理由如下：由false消去false得false．6分所以false．7分所以false，false．9分因为false，所以false，11分所以false，所以false三点共线，即直线false过定点false．12分因为false为线段false中点，false，所以false．13分方法四：依题意，得false与坐标轴不垂直．设false方程为false（false），false．因为点false与点false关于false轴对称,所以false．5分因为false三点共线，所以false与false共线，所以false．6分因为false，所以可设false（false），即false，所以false．7分所以false，即false．8分依题意，false，所以false．9分因为点false在椭圆false上，所以false，解得false或false．10分由椭圆对称*，不妨取false，则false，因为点false在椭圆false上，所以false，解得false或false（舍去）．12分所以false，即false．13分方法六：依题意，得false与坐标轴不垂直．设false方程为false（false），false．因为点false与点false关于false轴对称,所以false．由false消去false得false．6分所以false．7分因为false，所以直线false的方程为false．由false消去false得，false．8分因为直线false交椭圆于false两点，所以false，即false．9分设false（false），则false，所以false．10分所以false，解得false，12分所以false．13分20．本小题主要考查导数的几何意义、导数的应用（单调*、最值）、用点斜式求直线方程、比较不等式、*不等式、数学归纳法等基础知识，考查推理论*能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、有限与无限思想等．满分14分．解：（Ⅰ）当false时，函数false，则false，1分所以false，且false，2分于是false在点false处的切线方程为false，3分故所求的切线方程为false．4分（Ⅱ）解法一：false．5分理由如下：因为false，构造函数false，6分所以false，因为false，所以false，所以falsefalse．7分所以函数false在false上单调递增，且falsefalsefalse，所以false，9分即当false，且false时，false恒成立，所以false．10分取falsefalse，得false成立．11分所以false，12分所以false，13分所以false成立．14分解法二：false．5分理由如下：因为false，欲*false成立，只需*falsefalse，只需*false，6分即*falsefalse．8分构造函数false，则false．10分因为false，所以false．令false，得false；令false，得false．所以函数false在false单调递增；在false上单调递减．所以函数false的最大值为false．所以falsefalsefalse，11分所以falsefalsefalse，即false，则falsefalsefalsefalse，12分所以false．取falsefalse，得false成立．13分所以当false时，false成立．14分解法三：false．5分理由如下：因为false，欲*false成立，只需*falsefalse，只需*false，6分即*falsefalse．8分用数学归纳法*如下：①当false时，false成立，②当false时，假设false成立，9分那么当false时，falsefalse，下面只需*false，10分只需*false，因为false，所以false，所以只需*false，所以只需*false，只需*false，只需*false对false恒成立即可．11分构造函数false，因为false在false单调递增，所以false．12分所以当false时，false成立，由①和②可知，对一切false，false成立．13分所以当false时，false成立．14分解法四：false．4分理由如下：因为false，欲*false成立，只要*falsefalse，只需*false，6分即*falsefalse．8分用数学归纳法*如下：①当false时，false成立，②当false时，假设false成立，9分那么当false时，falsefalse，下面只需*false，10分注意到false且false，则false，12分所以当false时，false成立，由①和②可知，对一切false，false成立．13分所以当false时，false成立．14分21（1）本小题主要考查矩阵及其逆矩阵、求曲线在矩阵所对应的线*变换作用下的曲线的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分7分．解：（Ⅰ）因为矩阵false是矩阵false的逆矩阵，且false，2分所以false．3分（Ⅱ）解法一：设false上任意一点false在矩阵false所对应的线*变换作用下的像为点false，则false，4分由此得false5分代入方程false，得false.6分所以false在矩阵false所对应的线*变换作用下的曲线方程为false．7分解法二：设false上任意一点false在矩阵false所对应的线*变换作用下的像为点false，则false，4分其坐标变换公式为false由此得false5分代入方程false，得false.6分所以false在矩阵false所对应的线*变换作用下的曲线方程为false．7分（2）本小题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程、极点坐标等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分7分．解：（Ⅰ）将false消去参数false，得false，所以false的普通方程为：false．1分将false代入false得false，2分所以false的极坐标方程为false．3分（Ⅱ）将曲线false的极坐标方程化为直角坐标方程得：false．4分由false5分解得false或false6分所以false与false交点的极坐标分别为false或false．7分（3）本小题主要考查平均值不等式、解含有绝对值号的不等式等基础知识，考查推理论*能力,考查化归与转化思想．满分7分．解：（Ⅰ）因为false,false，根据三个正数的算术—几何平均不等式，得false，当且仅当false，即false时等号成立，1分又因为函数false的最小值为false，所以falsefalse，2分解得false．3分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得：false．原不等式等价于false或false或false5分所以false或false或false，6分解得false．所以原不等式解集为false．7分解法二：由（Ⅰ）得：false．由绝对值的几何意义，可知该不等式即求数轴上到点false和点false的距离之和不大于false的点的*．5分故原不等式解集为false．7分