2017届高考数学（文）压轴卷（解析版）

绝密★启封前2017全国卷Ⅰ高考压轴卷文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分.考试时间为120分钟注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考*号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考*号、姓名、考试科目”与考生本人准考*号、姓名是否一致。2.第Ⅰ卷每小题选出*后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的*标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他*标号。第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑*签字笔书写作答.若在试题卷上作答，*无效。3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。第Ⅰ卷.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知*，，则（）A．B．C．D．2.已知复数的共轭复数为，若||＝4，则·＝(　　)（A）4　（B）2（C）16（D）±23．已知数列是各项为正数的等比数列，点、都在直线上，则数列的前项和为（）A．B．C．D．4齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为()（A）（B）（C）（D）5.已知函数，则下列不等式中正确的是（）A．B．．D．6.执行如下图所示的程序框图，如果输入t＝0.1，则输出的n＝（）A．2B．3C．4D．57.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确的选项是(　　)A．①③B.②③C.②③④D①③④8.设变量，满足则点所在区域的面积为（）A．2B．1C．D．9.锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足，若，则的取值范围是（）A．D．10.为双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（　　）A．．．D．11.设数列的前项和为，且，为常数列，则A.　　..　D.12．已知函数f（x）＝－ax有两个零点x1＜x2，则下列说法错误的是A．a＞e1＋x2＞2C．x1x2＞1D．有极小值点，且x1＋x2＜2x0第Ⅱ卷（非选择题，共90分）　　本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确*填在答题卡中的横线上)13已知，（），则在方向上的投影为14.*古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的为15已知抛物线的焦点为,动点在上,圆的半径为,过点的直线与圆切于点,则的最小值为．16设直线与曲线有三个不同的交点A、B、C,且|AB|=|BC|=EQ\r(,10),则直线的方程为.三.解答题：解答应写出文字说明，*过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）在右图所示的四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=120°，∠BAC=60°,AC=2,记∠ABC=θ。(I)求用含θ的代数式表示DC;(II)求△BCD面积S的最小值．18.（本小题满分12分）某学校高一、高二、高三三个年级共有300名教师，为调查他们的备课时间情况，通过分层抽样获得了20名教师一周的备课时间，数据如下表（单位：小时）．高一年级77.588.59[来源:Z§xx§k.]高二年级78910111213高三年级.66.578.51113.51718.5（1）试估计该校高三年级的教师人数；（2）从高一年级和高二年级抽出的教师中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为*，高二年级班选出的人记为乙，假设所有教师的备课时间相对*，求该周*的备课时间不比乙的备课时间长的概率；（3）再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师，他们该周的备课时间分别是8,9,10（单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记为，试判断与的大小（结论不要求*）．19.（本小题满分12分）如图，为圆的直径，点在圆上，，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且.（1）求*：；（2）设的中点为，求三棱锥的体积与多面体的体积之比的值.20.（本小题满分12分）已知椭圆和抛物线有公共焦点，的中心和的顶点都在坐标原点，过点的直线与抛物线分别相交于两点（其中点在第四象限内）．（1）若，求直线的方程；（2）若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值．21.（本小题满分12分）函数，若曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）.（1）若在上存在极值，求实数的取值范围；（2）求*：当时，.请考生在（22）、（23）题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22.(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线C的普通方程；（2）A、B为曲线C上两个点，若OA⊥OB，求的值．23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知，函数的最小值为1.（1）求*：；（2）若恒成立，求实数的最大值.2017全国卷Ⅰ高考压轴卷文科数学题号123456789101112*DAADD部分题目解析及命题分析3.解析：本题考查等比数列的通项公式与前项和公式．，，∴,,∴,，数列的前项和为，选C．4.设田忌的上，中，下三个等次马分别为，，，齐王田忌的上，中，下三个等次马分别为，从双方的马匹中随机的选一匹比赛的所有可能有共9种，田忌马获胜有3种，田忌马获胜的概率为.5解析：函数为奇函数，又在上递增，所以为奇函数，又是递增函数，由得，，从而，选D．6.由题意得，根据给定的程序框图可知：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第三次循环：，此时跳出循环，所以输出的结果为n＝4，故选C．7.8.　将几何体展开图还原为几何体(如图)，因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EF∥AD∥BC，即直线BE与CF共面，①错；因为B∉平面PAD，E∈平面PAD，E∉AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错．10.解：设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9，故选B。11.D由题意知，，当时，，从而，有，当时上式成立，所以..12．①当时恒成立R上单增，不符题意②当时由得当时，当时，极小值==得故A正确又故B正确由得C,D两项互斥。由得令得图：不妨取，只需比较与的大小又故C不正确13.由知即，又，所以，得，即在方向上的投影为，故选D.14.由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：(5.4－x)×3×1＋π·(eq\f(1,2))2x＝12.6，x=1.615..由抛物线的定义知：为点到准线的距离,易知,抛物线的顶点到准线的距离最短,.16．提示：曲线关于（0,1）中心对称.（17）解：（Ⅰ）在△ADC中，∠ADC＝360°－90°－120°－θ＝150°－θ，由正弦定理可得eq\f(DC,sin∠DAC)＝eq\f(AC,sin∠ADC)，即eq\f(DC,sin30°)＝eq\f(2,sin(150°－θ))，于是：DC＝eq\f(1,sin(150°－θ))．…5分（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理得eq\f(ACnθ)＝eq\f(BCn60°)，即BC＝eq\f(\r(3),sinθ)，由（Ⅰ）知：DC＝eq\f(1,sin(150°－θ))，那么S＝eq\f(3,4sinθn(150°－θ))＝eq\f(3,2sinθcosθ＋2\r(3)sin2θ)＝eq\f(3,\r(3)＋2sin(2θ－60°))，故θ＝75°时，S取得最小值6－3eq\r(3)．…12分18.（1）抽出的20位教师中，来自高三年级的有8名，根据分层抽样方法，高三年级的教师共有（人）（2）设事件为“*是现有样本中高一年级中的第个教师”，，事件“乙是现有样本中高二年级中的第个教师”，，由题意知：，，设事件为“该周*的备课时间比乙的备课时间长”，由题意知，所故；（3），，三组总平均值，新加入的三个数的平均数为9，比小，故拉低了平均值，∴．19.（1）*：∵矩形所在的平面和平面互相垂直，且，∴，又，所以，又为圆的直径，得，，∴.……………………………………4分（2）解：设的中点为，连接，则∴，又∵，∴，∴为平行四边形，，又∵，∴.……………………6分显然，四边形为等腰梯形，，因此为边长是1的正三角形.三棱锥的体积；………………………………9分多面体的体积可分成三棱锥与四棱锥的体积之和，计算得两底间的距离.所以，,所以，∴.………………12分20.解：（1）解法一:由题意得抛物线方程为.设直线的方程为.令，，其中.由,得.联立，可得,，解得,,.直线的方程为.(2)设,直线，点在抛物线上,直线的斜率存在,关于直线对称,所以.解得.故代入抛物线，可得，.直线的方程为或.设椭圆为.联立直线和椭圆,消去整理得，解得.则，即.椭圆的长轴长的最小值为21.解：（1）∵由已知∴得………2分∴当为增函数；当时，，为减函数。∴是函数的极大值点………4分又在上存在极值∴即故实数的取值范围是………5分即为………6分令则再令则∵∴∴在上是增函数∴∴∴在上是增函数∴时，故………9分令则∵∴∴即上是减函数∴时，………11分所以，即………12分22.【*】（1）；（2）．【解析】（1）由得，将，代入得到曲线C的普通方程是．（2）因为，所以，由OA⊥OB，设，则B点的坐标可设为，所以．23.解：（Ⅰ）法一：，∵且，∴，当时取等号，即的最小值为，.∴，.法二：∵，∴，显然在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为，∴，.（Ⅱ）方法一：∵恒成立，∴恒成立，当时，取得最小值，∴，即实数的最大值为.方法二：∵恒成立，∴恒成立，恒成立，∴，即实数的最大值为.方法三：∵恒成立，∴恒成立，∴恒成立，∴，∴，实数的最大值为..，！