2017年高考数学考前回扣教材3 三角函数、平面向量

回扣3　三角函数、平面向量1.准确记忆六组诱导公式对于“eq\f(kπ,2)±α，∈Z”的三角函数值，与α角的三角函数值的关系可按口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.2.同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，tanα＝eq\f(sinα,cosα)(cosα≠0).3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβαsinβ.(2)cos(α±βαcosβ∓sinαsinβ.(3)tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).(4)asinα＋cosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)(其中tanφ＝eq\f(b,a)).4.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.α2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).5.三种三角函数的*质函数y＝siny＝cosy＝tan图象单调*在[－eq\f(π,2)＋2π，eq\f(π,2)＋2π](∈Z)上单调递增；在[eq\f(π,2)＋2π，eq\f(3π,2)＋2π](∈Z)上单调递减在[－π＋2π，2π](∈Z)上单调递增；在[2π，π＋2π](∈Z)上单调递减在(－eq\f(π,2)＋π，eq\f(π,2)＋π)(∈Z)上单调递增对称*对称中心：(π，0)(∈Z)；对称轴：＝eq\f(π,2)＋π(∈Z)对称中心：(eq\f(π,2)＋π，0)(∈Z)；对称轴：＝π(∈Z)对称中心：(eq\f(kπ,2)，0)(∈Z)6.函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象(1)“五点法”作图：设z＝ωx＋φ，令z＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π，求出相应的的值与y的值，描点、连线可得.(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口.(3)图象变换：y＝sineq\o(――――――――――→,\s\up7(向左φ>0或向右φ<0),\s\do5(平移|φ|个单位))y＝sin(＋φ)eq\o(――――――――――――→,\s\up10(横坐标变为原来的\f(1,ω)ω>0倍),\s\do5(纵坐标不变))y＝sin(ωx＋φ)eq\o(――――――――――――→,\s\up7(纵坐标变为原来的AA>0倍),\s\do5(横坐标不变))y＝Asin(ωx＋φ).7.正弦定理及其变形eq\f(a,sinA)＝eq\f(sin)＝eq\f(sin)＝2R(2R为△ABC外接圆的直径).变形：a＝2RsinA，＝2Rsin，＝2Rsin.sinA＝eq\f(a,2R)，sin＝eq\f(2R)，sin＝eq\f(2R).a∶∶＝sinA∶sin∶sin.8.余弦定理及其推论、变形a2＝2＋2－2bccosA，2＝a2＋2－2accos，2＝a2＋2－2abcos.推论：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).变形：2＋2－a2＝2bccosA，a2＋2－2＝2accos，a2＋2－2＝2abcos.9.面积公式△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsin＝eq\f(1,2)absin.10.解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解.(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一.(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解.(4)已知三边，利用余弦定理求解.11.平面向量的数量积(1)若a，为非零向量，夹角为θ，则＝||cosθ.(2)设a＝(1，y1)，＝(2，y2)，则＝12＋y1y2.12.两个非零向量平行、垂直的充要条件若a＝(1，y1)，＝(2，y2)，则(1)a∥⇔a＝λ(≠0)⇔1y2－2y1＝0.(2)a⊥⇔＝0⇔12＋y1y2＝0.13.利用数量积求长度(1)若a＝(，y)，则|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(2＋y2).(2)若A(1，y1)，(2，y2)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(2－12＋y2－y12).14.利用数量积求夹角若a＝(1，y1)，＝(2，y2)，θ为a与的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(12＋y1y2,\r(\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).15.三角形“四心”向量形式的充要条件设为△ABC所在平面上一点，角A，，所对的边长分别为a，，，则(1)为△ABC的外心⇔|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(a,2sinA).(2)为△ABC的重心⇔eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.(3)为△ABC的垂心⇔eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→)).(4)为△ABC的内心⇔aeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.1.利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号.2.在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略的取值范围.3.求函数f()＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解.4.三角函数图象变换中，注意由y＝sinωx的图象变换得y＝sin(ωx＋φ)时，平移量为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ,ω)))，而不是φ.5.在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.6.要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行.7.>0是〈a，〉为锐角的必要不充分条件；<0是〈a，〉为钝角的必要不充分条件.1.2sin45°cos15°－sin30°的值等于(　　)A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.1*解析　2sin45°cos15°－sin30°＝2sin45°cos15°－sin(45°－15°)＝2sin45°cos15°－(sin45°cos15°－cos45°sin15°)＝sin45°cos15°＋cos45°sin15°＝sin60°＝eq\f(\r(3),2).故选C.2.要得到函数y＝sin2的图象，可由函数y＝cos(2－eq\f(π,3))(　　)A.向左平移eq\f(π,6)个单位长度得到B.向右平移eq\f(π,6)个单位长度得到C.向左平移eq\f(π,12)个单位长度得到D.向右平移eq\f(π,12)个单位长度得到*　D解析　由于函数y＝sin2eq\f(π,2)－2)＝cos(2－eq\f(π,2))＝cos[2(－eq\f(π,12))－eq\f(π,3)]，所以可由函数y＝cos(2－eq\f(π,3))向右平移eq\f(π,12)个单位长度得到函数y＝sin2的图象，故选D.3.在△ABC中，内角A，，所对的边分别是a，，.若2＝(a－)2＋6，＝eq\f(π,3)，则△ABC的面积是(　　)A.3B.eq\f(9\r(3),2)C.eq\f(3\r(3),2)D.3eq\r(3)*解析　2＝(a－)2＋6，即2＝a2＋2－2ab＋6，①∵＝eq\f(π,3)，由余弦定理得2＝a2＋2－ab，②由①和②得ab＝6，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absin＝eq\f(1,2)×6×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)，故选C.4.(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是(　　)A.eq\r(3)B.1＋eq\r(2)C.2D.2(tan18°＋tan27°)*解析　由题意得，tan(18°＋27°)＝eq\f(tan18°＋tan27°,1－tan18°tan27°)，即eq\f(tan18°＋tan27°,1－tan18°tan27°)＝1，所以tan18°＋tan27°＝1－tan18°tan27°，所以(1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝2，故选C.5.设△ABC的内角A，，所对的边分别为a，，，若cos＋cos＝asinA，则△ABC的形状为(　　)A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定*解析　∵cos＋cos＝asinA，∴sincossin＝sin2A，∴＋)＝sin2A，∴sinA＝1，∴A＝eq\f(π,2)，三角形为直角三角形.6.已知A，，是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sinA，1)，q＝(1，－cos)，则p与q的夹角是(　　)A.锐角B.钝角C.直角D.不确定*　A解析　∵A、、是锐角△ABC的三个内角，∴A＋>eq\f(π,2)，即A>eq\f(π,2)－>0，∴sinA>sin(eq\f(π,2)－)＝cos，∴p·q＝sinA－cos>0.再根据p，q的坐标可得p，q不共线，故p与q的夹角为锐角.7.f()＝eq\f(1,2)sin(2－eq\f(π,3))＋eq\f(\r(3),2)cos(2－eq\f(π,3))是(　　)A.最小正周期为2π的偶函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π的偶函数*解析　f()＝eq\f(1,2)sin(2－eq\f(π,3))＋eq\f(\r(3),2)cos(2－eq\f(π,3))＝sin(2－eq\f(π,3)＋eq\f(π,3))＝sin2，是最小正周期为π的奇函数，故选C.8.已知a，为同一平面内的两个向量，且a＝(1，2)，||＝eq\f(1,2)|a|，若a＋2与2a－垂直，则a与的夹角为(　　)A.0B.eq\f(π,4)C.eq\f(2π,3)D.π*　D解析　||＝eq\f(1,2)|a|＝eq\f(\r(5),2)，而(a＋2)·(2a－)＝0⇒2a2－22＋3＝0⇒＝－eq\f(5,2)，从而cos〈，a〉＝eq\f(b·a,|b|·|a|)＝－1，〈，a〉＝π，故选D.9.在△ABC中，内角A，，所对的边分别是a，，有下列命题：①若A>>，则sinA>sin>sin；②若eq\f(cosA,a)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cos)，则△ABC为等边三角形；③若sin2A＝sin2，则△ABC为等腰三角形；④若(1＋tanA)(1＋tan)＝2，则△ABC为钝角三角形；⑤存在A，，使得tanAtantan<tanA＋tan＋tan成立.其中正确的命题为________.(写出所有正确命题的序号).*　①②④解析　若A>>，则a>>⇒sinA>sin>sin；若eq\f(cosA,a)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cos)，则eq\f(cosA,sinA)＝eq\f(cossin)⇒A－)＝0⇒A＝⇒a＝，同理可得a＝，所以△ABC为等边三角形；若sin2A＝sin2，则2A＝2或2A＋2＝π，因此△ABC为等腰或直角三角形；若(1＋tanA)(1＋tan)＝2，则tanA＋tan＝1－tanAtan，因此tan(A＋)＝1⇒＝eq\f(3π,4)，△ABC为钝角三角形；在△ABC中，tanAtantan＝tanA＋tan＋tan恒成立，因此正确的命题为①②④.10.若△ABC的三边a，，及面积满足＝a2－(－)2，则sinA＝________.*　eq\f(8,17)解析　由余弦定理得S＝a2－(－)2＝2bc－2bccosA＝eq\f(1,2)bcsinA，所以sinA＋4cosA＝4，由sin2A＋cos2A＝1，解得sin2A＋(1－eq\f(sinA,4))2＝1，sinA＝eq\f(8,17)(0舍去).11.若tanθ＝3，则cos2θ＋sinθcosθ＝________.*　eq\f(2,5)解析　∵tanθ＝3，∴cos2θ＋sinθcosθ＝eq\f(cos2θ＋sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(1＋tanθ,tan2θ＋1)＝eq\f(1＋3,32＋1)＝eq\f(2,5).12.已知单位向量a，，c，且a⊥，若c＝ta＋(1－t)，则实数t的值为________.*　1或0解析　c＝ta＋(1－t)⇒c2＝t2＋(1－t)2＝|c|2＝1⇒t＝0或t＝1.13.在△ABC中，角A，，的对边分别为a，，，且满足cosA＝(2＋aA＋).(1)求角的大小；(2)求函数f()＝2sin2＋sin(2－)(∈R)的最大值.解　(1)由已知，cosA＝(2＋a)cos(π－)，即sincosA＝－(2sin＋sinA，即sin(A＋)＝－2sincos，则sin＝－2sincos，∴cos＝－eq\f(1,2)，即＝eq\f(2π,3).(2)f()＝2sin2＋sin2coseq\f(2π,3)sineq\f(2π,3)＝eq\f(3,2)sin2－eq\f(\r(3),2)cos2＝eq\r(3)sin(2－eq\f(π,6))，即＝eq\f(π,3)＋π，∈Z时，f()取得最大值eq\r(3).14.已知函数f()＝2cos)＋1.(1)求函数f()的最小正周期和单调增区间；(2)在△ABC中，角A，，的对边分别是a，，，且锐角A满足f(A)＝1，＝eq\r(2)，＝3，求a的值.解　(1)f()＝2sincos2＋1＝sin2＝eq\r(2)sin(2－eq\f(π,4))，所以f()的最小正周期为π.由－eq\f(π,2)＋2π≤2－eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)＋2π(∈Z)，得π－eq\f(π,8)≤≤π＋eq\f(3π,8)(∈Z)，所以f()的单调增区间为[π－eq\f(π,8)，π＋eq\f(3π,8)](∈Z).(2)由题意知f(A)＝eq\r(2)sin(2A－eq\f(π,4))＝1，sin(2A－eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)，又∵A是锐角，∴2A－eq\f(π,4)＝eq\f(π,4)，∴A＝eq\f(π,4)，由余弦定理得a2＝2＋9－2×eq\r(2)×3×coseq\f(π,4)＝5，∴a＝eq\r(5).