2015高考数学二轮专题复习题22：坐标系与参数方程（含解析）

高考专题训练(二十二)　坐标系与参数方程A级——基础巩固组一、填空题1．在直角坐标系xOy中，已知点(－3，－eq\r(3))，若以为极点，轴的正半轴为极轴，则点的极坐标(ρ，θ)(ρ>0，－π<θ<0)可写为________．解析　依题意知，ρ＝2eq\r(3)，θ＝－eq\f(5π,6).*　eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，－\f(5π,6)))新课标第一网2．在直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(＝sinα，,y＝cosα＋1))(α为参数)，若以为极点，轴的正半轴为极轴，则曲线的极坐标方程可写为________．解析　依题意知，曲线：2＋(y－1)2＝1，即2＋y2－2y＝0，所以(ρcosθ)2＋(ρsinθ)2－2ρsinθ＝0.化简得ρ＝2sinθ.*　ρ＝2sinθ3．在极坐标系中，已知两点A，的极坐标分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,3)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,6)))，则△AOB(其中为极点)的面积为________．解析　由题意得S△AOB＝eq\f(1,2)×3×4×sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(π,6)))＝eq\f(1,2)×3×4×sineq\f(π,6)＝3.*　34．直线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(＝tcosα，,y＝tsinα))(t为参数)与圆eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(＝4＋2cosφ，,y＝2sinφ))(φ为参数)相切，则此直线的倾斜角α＝________.解析　直线y＝tanα，圆：(－4)2＋y2＝4，如图，sinα＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，∴α＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).INCLUDEPICTURE"结276.tif"*　eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)5．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．解析　将ρ＝2sinθ＋4cosθ两边同乘以ρ得ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ，[来源:学.科.网Z.X.X.K]∴曲线的直角坐标方程为2＋y2＝2y＋4，即2＋y2－4－2y＝0.*　2＋y2－4－2y＝06．已知抛物线的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(＝8t2，,y＝8t))(t为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与圆(－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝________..解析　消去参数t得抛物线的标准方程为y2＝8，其焦点为(2,0)，所以过点(2,0)且斜率为1的直线方程为－y－2＝0，由题意得r＝eq\f(|4－2|,\r(2))＝eq\r(2).*　eq\r(2)7．已知曲线：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(＝\r(2)cost，,y＝\r(2)sint))(t为参数)，在点(1,1)处的切线为l.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．解析　曲线的普通方程为2＋y2＝2，由圆的几何*质知，切线l与圆心(0,0)与(1,1)的连线垂直，故l的斜率为－1，从而l的方程为y－1＝－(－1)，即＋y＝2，化成极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝2，化简得ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\r(2)..*　ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\r(2)8．(2014·广东卷)在极坐标系中，曲线1和2的方程分别为ρsin2θ＝cosθ和ρsinθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1和2交点的直角坐标为________．解析　由ρsin2θ＝cosθ可得ρ2sin2θ＝ρcosθ，因此y2＝，即曲线1的直角坐标方程为y2＝；由ρsinθ＝1可得曲线2的直角坐标方程为y＝1.[来源:学+科+网Z+X+X+K]解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝，,y＝1，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(＝1，,y＝1.))所以两曲线交点的直角坐标为(1,1)．*　(1,1)9．(2014·湖北卷)已知曲线1的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(＝\r(t)，,y＝\f(\r(3t),3)))(t为参数)．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2的极坐标方程是ρ＝2.则1与2交点的直角坐标为________．解析　由曲线1的参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(＝\r(t)，,y＝\f(\r(3t),3)，))得y＝eq\f(\r(3),3)(≥0)，①由曲线2的极坐标方程为ρ＝2，可得方程2＋y2＝4，②由①②联立解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(＝\r(3)，,y＝1，))故1与2交点的直角坐标为(eq\r(3)，1)．*　(eq\r(3)，1)三、解答题10．(2014·福建卷)已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(＝a－2t，,y＝－4t))(t为参数)，圆的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(θ，,y＝4sinθ))(θ为参数)．(1)求直线l和圆C的普通方程；http://..(2)若直线l与圆有公共点，求实数a的取值范围．解　(1)直线l的普通方程为2－y－2a＝0，圆的普通方程为2＋y2＝16.(2)因为直线l与圆有公共点，故圆的圆心到直线l的距离d＝eq\f(|－2a|,\r(5))≤4，解得－2eq\r(5)≤a≤2eq\r(5).11．已知直线l是过点P(－1,2)，方向向量为n＝(－1，eq\r(3))的直线，圆方程ρ＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3))).(1)求直线l的参数方程；(2)设直线l与圆相交于M，N两点，求|PM|·|PN|的值．解　(1)∵n＝(－1，eq\r(3))，∴直线的倾斜角α＝eq\f(2π,3).∴直线的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(＝－1＋tcos\f(2π,3)，,y＝2＋tsin\f(2π,3)))(t为参数)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(＝－1－\f(1,2)t，,y＝2＋\f(\r(3),2)t))(t为参数)．(2)∵ρ＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,θ－\f(\r(3),2)sinθ))＝cosθ－eq\r(3)sinθ，∴ρ2＝ρcosθ－eq\r(3)ρsinθ.∴2＋y2－＋eq\r(3)y＝0，将直线的参数方程代入得t2＋(3＋2eq\r(3))t＋6＋2eq\r(3)＝0..∴|t1t2|＝6＋2eq\r(3)，即|PM|·|PN|＝6＋2eq\r(3).B级——能力提高组1．(2014·广东肇庆一模)已知曲线的极坐标方程为ρ＝2(ρ>0,0≤θ＜2π)，曲线在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4)))处的切线为l，以极点为坐标原点，以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则l的直角坐标方程是________．解析　由ρ＝2⇒2＋y2＝4，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4)))⇒(eq\r(2)，eq\r(2))，因为点(eq\r(2)，eq\r(2))在圆2＋y2＝4上，故圆在点(eq\r(2)，eq\r(2))处的切线方程为eq\r(2)＋eq\r(2)y＝4⇒＋y－2eq\r(2)＝0.*　＋y－2eq\r(2)＝02．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)，它与曲线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(＝1＋2cosα，,y＝2＋2sinα))(α为参数)相交于两点A和，则|AB|＝________.解析　极坐标方程θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)对应的平面直角坐标系中方程为y＝，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(＝1＋2cosα，,y＝2＋2sinα))(α为参数)⇒(－1)2＋(y－2)2＝4，圆心(1,2)，r＝2.圆心到直线y＝的距离d＝eq\f(|1－2|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(4－\f(1,2))＝eq\r(14).*　eq\r(14)..3．(2014·辽宁五校联考)在直角坐标系xOy中，圆的参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(＝1＋cosφ，,y＝sinφ))(φ为参数)．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ＋eq\r(3)cosθ)＝3eq\r(3)，*线OM：θ＝eq\f(π,3)与圆的交点为，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．解　(1)圆的普通方程是(－1)2＋y2＝1，又＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以圆的极坐标方程是ρθ.(2)设(ρ1，θ1)为点P的极坐标，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ1θ1，,θ1＝\f(π,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ1＝1，,θ1＝\f(π,3).))设(ρ2，θ2)为点Q的极坐标，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2sinθ2＋\r(3)cosθ2＝3\r(3)，,θ2＝\f(π,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2＝3，,θ2＝\f(π,3).))由于θ1＝θ2，所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2，所以线段PQ的长为2.HYPERLINK"http://.."..