2014年高考数学（文）试题分类汇编 K概率

数学K单元概率　随事件的概率13．[2014·新课标全国卷Ⅱ]*、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜*的运动服中选择1种，则他们选择相同颜*运动服的概率为________．13.eq\f(1,3)13．[2014·全国新课标卷Ⅰ]将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．13.eq\f(2,3)　14．[2014·浙*卷]在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．*、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．14.eq\f(1,3)　19．[2014·陕西卷]某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01000200030004000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．19．解：(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P()＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金额为2800元，所以赔付金额大于投保金额的概率为P(A)＋P()＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为eq\f(24,100)＝0.24.由频率估计概率得P()＝0.24.16．、[2014·四川卷]一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，，c不完全相同”的概率．16．解：(1)由题意，(a，，c)所有的可能为：(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a＋＝c”为事件A，则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种，所以P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋＝c”的概率为eq\f(1,9).(2)设“抽取的卡片上的数字a，，c不完全相同”为事件，则事件包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．所以P()＝1－P()＝1－eq\f(3,27)＝eq\f(8,9).因此，“抽取的卡片上的数字a，，c不完全相同”的概率为eq\f(8,9).K2　古典概型20．，[2014·福建卷]根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035～4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085～12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：行政区区人口占城市人口比例区人均GDP(单位：美元)A25%8000B30%4000C15%6000D10%3000E20%10000(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．20．解：(1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为eq\f(8000×0.25a＋4000×0.30a＋6000×0.15a＋3000×0.10a＋10000×0.20a,a)＝6400(美元)．因为6400∈[4085，12616)，所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准．(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10个．设事件为“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”，则事件包含的基本事件是：{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3个．所以所求概率为P()＝eq\f(3,10).12．[2014·广东卷]从字母a，，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为________．12.eq\f(2,5)　5．[2014·湖北卷]随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则(　　)A．p1＜p2＜p3B．p2＜p1＜p3C．p1＜p3＜p2D．p3＜p1＜p25．C　12345612345672345678345678945678910567891011678910111217．、[2014·湖南卷]某企业有*、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，)，(a，)，(a，)，(a，)，(a，)，(a，)，(a，)，(a，)，(a，)，(a，)，(a，)，(a，)，(a，)，(a，)，(a，)．其中a，a分别表示*组研发成功和失败；，分别表示乙组研发成功和失败．(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算*、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较*、乙两组的研发水平．(2)若该企业安排*、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．17．解：(1)*组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，其平均数为*＝eq\f(10,＝eq\f(2,3)，方差为seq\o\al(2,*)＝eq\f(1,\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))\\up12(2)×10＋\\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))\\up12(2)×5))＝eq\f(2,9).乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1，其平均数为乙＝eq\f(9,＝eq\f(3,5)，方差为seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))\\up12(2)×9＋\\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(3,5)))\\up12(2)×6))＝eq\f(6,25).因为*＞乙，seq\o\al(2,*)＜seq\o\al(2,乙)，所以*组的研发水平优于乙组．(2)记E＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a，)，(a，)，(a，)，(a，)，(a，)，(a，)，(a，)，共7个，故事件E发生的频率为eq\f(7,.将频率视为概率，即得所求概率为P(E)＝eq\f(7,.4．[2014·*苏卷]从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．4.eq\f(1,3)　3．[2014·*西卷]掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于(　　)A.eq\f(1,18)B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,12)3．B　21．、、[2014·*西卷]将连续正整数1，2，…，n(n∈N*)从小到大排列构成一个数123…n，F(n)为这个数的位数(如n＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F(12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0的概率．(1)求p(100)；(2)当n≤2014时，求F(n)的表达式；(3)令g(n)为这个数中数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，h(n)＝f(n)－g(n)，S＝{n|h(n)＝1，n≤100，n∈N*}，求当n∈时p(n)的最大值．21．解：(1)当n＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p(100)＝eq\f(11,192).(2)F(n)＝\lc\{(\a\vs4\al\co1(n，1≤n≤9，,2n－9，10≤n≤99，,3n－108，100≤n≤999，,4n－1107，1000≤n≤2014.))(3)当n＝(1≤≤9，∈N*)，g(n)＝0；当n＝10＋(1≤≤9，0≤≤9，∈N*，∈N)时，g(n)＝；当n＝100时，g(n)＝11，即g(n)＝\lc\{(\a\vs4\al\co1(0，1≤n≤9，，n＝10＋，,11，n＝100.))1≤≤9，0≤≤9，∈N*，∈N，同理有f(n)＝\lc\{(\a\vs4\al\co1(0，1≤n≤8，，n＝10＋－1，1≤≤8，0≤≤9，∈N*，∈N，,n－80，89≤n≤98，,20，n＝99，100.))由h(n)＝f(n)－g(n)＝1，可知n＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，所以当n≤100时，＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}．当n＝9时，p(9)＝0.当n＝90时，p(90)＝eq\f(g（90）,F（90）)＝eq\f(9,171)＝eq\f(1,19).当n＝10＋9(1≤≤8，∈N*)时，p(n)＝eq\f(g（n）,F（n）)＝eq\f(2n－9)＝eq\f(20＋9)，由y＝eq\f(20＋9)关于单调递增，故当n＝10＋9(1≤≤8，∈N*)时，p(n)的最大值为p(89)＝eq\f(8,169).又eq\f(8,169)<eq\f(1,19)，所以当n∈时，p(n)的最大值为eq\f(1,19).18．、[2014·辽宁卷]某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：χ2＝eq\f(n（n11n22－n12n21）2,n1＋n2＋n＋1n＋2)，　　P(χ2≥)0.1000.0500.0102.7063.8416.63518．解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2＝eq\f(n（n11n22－n12n21）2,n1＋n2＋n＋1n＋2)＝eq\f(100×（60×10－20×10）2,70×30×80×20)＝eq\f(100,21)≈4.762.由于4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a1，a2，1)，(a1，a2，2)，(a1，a2，3)，(a1，1，2)，(a1，1，3)，(a1，2，3)，(a2，1，2)，(a2，1，3)，(a2，2，3)，(1，2，3)}，其中ai表示喜欢甜品的学生，i＝1，2，j表示不喜欢甜品的学生，j＝1，2，3.Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A＝{(a1，1，2)，(a1，1，3)，(a1，2，3)，(a2，1，2)，(a2，1，3)，(a2，2，3)，(1，2，3)}．事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝eq\f(7,10).16．，[2014·山东卷]海关对同时从A，，三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品*抽取6件样品进行检测．地区A数量50150100(1)求这6件样品中来自A，，各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往*机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．16．解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是eq\f(6,50＋150＋100)＝eq\f(1,50)，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×eq\f(1,50)＝1，150×eq\f(1,50)＝3，100×eq\f(1,50)＝2.所以A，，三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.(2)设6件来自A，，三个地区的样品分别为：A；1，2，3；1，2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，1}，{A，2}，{A，3}，{A，1}，{A，2}，{1，2}，{1，3}，{1，1}，{1，2}，{2，3}{2，1}，{2，2}，{3，1}，{3，2}，{1，2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D为“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2}，共4个．所以P(D)＝eq\f(4,15)，即这2件商品来自相同地区的概率为eq\f(4,.6．[2014·陕西卷]从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为(　　)A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)6．B16．、[2014·四川卷]一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，，c不完全相同”的概率．16．解：(1)由题意，(a，，c)所有的可能为：(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a＋＝c”为事件A，则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种，所以P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋＝c”的概率为eq\f(1,9).(2)设“抽取的卡片上的数字a，，c不完全相同”为事件，则事件包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．所以P()＝1－P()＝1－eq\f(3,27)＝eq\f(8,9).因此，“抽取的卡片上的数字a，，c不完全相同”的概率为eq\f(8,9).15．、[2014·天津卷]某校夏令营有3名男同学A，，和3名女同学，Y，Z，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学A女同学YZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能*相同)．(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件发生的概率．15．解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，}，{A，}，{A，}，{A，Y}，{A，Z}，{，}，{，}，{，Y}，{，Z}，{，}，{，Y}，{，Z}，{，Y}，{，Z}，{Y，Z}，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{，}，{，Z}，{，}，{，Y}，共6种．因此，事件发生的概率P()＝eq\f(6,＝eq\f(2,5).17．、[2014·重庆卷]20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图1­3所示．INCLUDEPICTURE"文数73.EPS"图1­3(1)求频率分布直方图中a的值；(2)分别求出成绩落在[50，60)与[60，70)中的学生人数；(3)从成绩在[50，70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60，70)中的概率．17．解：(1)据直方图知组距为10，由(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝1，解得a＝eq\f(1,200)＝0.005.(2)成绩落在[50，60)中的学生人数为2×0.005×10×20＝2.成绩落在[60，70)中的学生人数为3×0.005×10×20＝3.(3)记成绩落在[50，60)中的2人为A1，A2，成绩落在[60，70)中的3人为1，2，3，则从成绩在[50，70)的学生中任选2人的基本事件共有10个，即(A1，A2)，(A1，1)，(A1，2)，(A1，3)，(A2，1)，(A2，2)，(A2，3)，(1，2)，(1，3)，(2，3)．其中2人的成绩都在[60，70)中的基本事件有3个，即(1，2)，(1，3)，(2，3)．故所求概率为P＝eq\f(3,10).K3　几何概型13．[2014·福建卷]如图1­5所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到*影部分，据此估计*影部分的面积为________．INCLUDEPICTURE"127.EPS"图1­513．0.18　5．[2014·湖南卷]在区间[－2，3]上随机选取一个数，则≤1的概率为(　　)A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)5．B　6．[2014·辽宁卷]若将一个质点随机投入如图1­1所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(　　)INCLUDEPICTURE"151.EPS"图1­1A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,8)6．B　15．[2014·重庆卷]某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)eq\f(9,32)　INCLUDEPICTURE"WCQ2.EPS"K4互斥事件有一个发生的概率K5相互对立事件同时发生的概率20．、[2014·全国卷]设每个工作日*、乙、*、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互*．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买台设备供*、乙、*、丁使用．若要求“同一工作日需使用设备的人数大于”的概率小于0.1，求的最小值．20．解：记A1表示事件：同一工作日乙、*中恰有i人需使用设备，i＝0，1，2.表示事件：*需使用设备．C表示事件：丁需使用设备．D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．E表示事件：同一工作日4人需使用设备．F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于.(1)因为P()＝0.6，P()＝0.4，P(Ai)＝Ceq\o\al(i,2)×0.52，i＝0，1，2，所以P(D)＝P(A1··C＋A2·＋A2··)＝P(A1··C)＋P(A2·)＋P(A2··)＝P(A1)P()P()＋P(A2)P()＋P(A2)P()P()＝0.31.(2)由(1)知，若＝2，则P(F)＝0.31＞0.1，P(E)＝P(B·C·A2)＝P(B)P(C)P(A2)＝0.06.若＝3，则P(F)＝0.06＜0.1，所以的最小值为3.K6　离散型随机变量及其分布列22．[2014·*苏卷]盒*有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜*外完全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜*相同的概率P；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为1，2，3，随机变量表示1，2，3中的最大数，求的概率分布和数学期望E()．22．解：(1)取到的2个颜*相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P＝eq\feq\o\al(2,4)＋eq\o\al(2,3)＋eq\o\al(2,2),eq\o\al(2,9))＝eq\f(6＋3＋1,36)＝eq\f(5,18).(2)随机变量所有可能的取值为2，3，4.{＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(＝4)＝eq\feq\o\al(4,4),eq\o\al(4,9))＝eq\f(1,126)；{＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜*的球，或3个黄球和1个其他颜*的球”，故P(＝3)＝eq\feq\o\al(3,4)eq\o\al(1,5)＋eq\o\al(3,3)eq\o\al(1,6),eq\o\al(4,9))＝eq\f(20＋6,126)＝eq\f(13,63)；于是P(＝2)＝1－P(＝3)－P(＝4)＝1－eq\f(13,63)－eq\f(1,126)＝eq\f(11,14).所以随机变量的概率分布如下表：234Peq\f(11,14)eq\f(13,63)eq\f(1,126)因此随机变量的数学期望E()＝2×eq\f(11,14)＋3×eq\f(13,63)＋4×eq\f(1,126)＝eq\f(20,9).K7　条件概率与事件的**K8　离散型随机变量的数字特征与正态分布20．、[2014·全国卷]设每个工作日*、乙、*、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互*．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买台设备供*、乙、*、丁使用．若要求“同一工作日需使用设备的人数大于”的概率小于0.1，求的最小值．20．解：记A1表示事件：同一工作日乙、*中恰有i人需使用设备，i＝0，1，2.表示事件：*需使用设备．C表示事件：丁需使用设备．D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．E表示事件：同一工作日4人需使用设备．F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于.(1)因为P()＝0.6，P()＝0.4，P(Ai)＝Ceq\o\al(i,2)×0.52，i＝0，1，2，所以P(D)＝P(A1··C＋A2·＋A2··)＝P(A1··C)＋P(A2·)＋P(A2··)＝P(A1)P()P()＋P(A2)P()＋P(A2)P()P()＝0.31.(2)由(1)知，若＝2，则P(F)＝0.31＞0.1，P(E)＝P(B·C·A2)＝P(B)P(C)P(A2)＝0.06.若＝3，则P(F)＝0.06＜0.1，所以的最小值为3.K9单元综合HYPERLINK"http://.."..