2013年浙*高考理科数学试题及*解析

浙*卷数学（理）试题*与解析选择题部分（共50分）一、选择题：每小题5分，共50分．1．已知i是虚数单位，则(−1+i)(2−i)=A．−3+i−1+3i−3+3iD．−1+i【命题意图】本题考查复数的四则运算，属于容易题【*解析】2．设*={|>−2}，T={|2+3−4≤0}，则(R)∪T=A．(−2，1]B．(−∞，−4]C．(−∞，1]D．[1，+∞)【命题意图】本题考查*的运算，属于容易题【*解析】因为(R)={|≤−2}，T={|−4≤≤1}，所以(R)∪T=(−∞，1].3．已知，y为正实数，则A．2lg+lgy=2lg+2lgyB．2lg(+y)=2lgx∙2lgyC．2lgx∙lgy=2lg+2lgyD．2lg(xy)=2lg∙2lgy【命题意图】本题考查指数和对数的运算*质，属于容易题【*解析】D由指数和对数的运算法则，易知选项D正确4．已知函数f()=Acos(ω+φ)(A>0，ω>0，φR)，则“f()是奇函数”是“φ=eq\f(π,2)”的开始=1，=1>a?=+eq\f(1,(+1))=1输出 结束是否（第5题图）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶*，属于中档题【*解析】由f()是奇函数可知f(0)=0，即cosφ=0，解出φ=eq\f(π,2)+π，Z，所以选项B正确5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是eq\f(9,5)，则A．a=4a=5a=6D．a=7【命题意图】本题考查算法程序框图，属于容易题【*解析】A6．已知αR，sinαα=eq\f(\r(10),2)，则tan2α=A．eq\f(4,3)eq\f(3,4)−eq\f(3,4)D．−eq\f(4,3)【命题意图】本题考查三角公式的应用，解法多样，属于中档题【*解析】由(sinαα)2=eq\b\bc\((\f(\r(10),2))\s\up10(2)可得eq\f(sin2α+4cos2α+4sinαcosα2α2α)=eq\f(10,4)，进一步整理可得3tan2α−8tanα−3=0，解得tanα=3或tanα=−eq\f(1,3)，于是tan2α=eq\f(2tanα,1−tan2α)=−eq\f(3,4).7．设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0=eq\f(1,4)AB，且对于AB上任一点P，恒有eq\o(\s\up5(→),PB)∙eq\o(\s\up5(→),PC)≥eq\o(\s\up5(→),P0B)∙eq\o(\s\up5(→),P0)，则A．ABC=90BAC=90AB=ACD．AC=BC【命题意图】本题考查向量数量积的几何意义，不等式恒成立的有关知识，属于中档题AHP0P【*解析】D由题意，设|eq\o(\s\up5(→),AB)|=4，则|eq\o(\s\up5(→),P0B)|=1，过点作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得，eq\o(\s\up5(→),PB)∙eq\o(\s\up5(→),PC)=|eq\o(\s\up5(→),PH)||eq\o(\s\up5(→),PB)|=(eq\o(|\s\up5(→),PB)|−(a+1))|eq\o(\s\up5(→),PB)|，eq\o(\s\up5(→),P0B)∙eq\o(\s\up5(→),P0)=−|eq\o(\s\up5(→),P0H)||eq\o(\s\up5(→),P0B)|=−a，于是eq\o(\s\up5(→),PB)∙eq\o(\s\up5(→),PC)≥eq\o(\s\up5(→),P0B)∙eq\o(\s\up5(→),P0)恒成立，相当于(eq\o(|\s\up5(→),PB)|−(a+1))|eq\o(\s\up5(→),PB)|≥−a恒成立，整理得|eq\o(\s\up5(→),PB)|2−(a+1)|eq\o(\s\up5(→),PB)|+a≥0恒成立，只需∆=(a+1)2−4a=(a−1)2≤0即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，所以AC=BC8．已知e为自然对数的底数，设函数f()=(e−1)(−1)(=1，2)，则A．当=1时，f()在=1处取到极小值B．当=1时，f()在=1处取到极大值C．当=2时，f()在=1处取到极小值D．当=2时，f()在=1处取到极大值【命题意图】本题考查极值的概念，属于中档题0101=1=2【*解析】C当=1时，方程f()=0有两个解，1=0，2=1，由标根法可得f()的大致图象，于是选项A，B错误；当=2时，方程f()=0有三个解，1=0，2=3=1，其中1是二重根，由标根法可得f()的大致图象，易知选项C正确。yAF1F2（第9题图）9．如图，F1，F2是椭圆C1：eq\f(2,4)+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，分别是C12在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率为A．eq\r(2)eq\r(3)eq\f(3,2)D．eq\f(\r(6),2)【命题意图】本题考查椭圆和双曲线的定义和几何*质，属于中档题【*解析】D由题意，=eq\r(3)，|AF2|+|AF1|=4……①，|AF2|−|AF1|=2a……②，①+②得|AF2|=2+a，①−②得|AF1|=2−a，又|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2，所以a=eq\r(2)，于是e=eq\f(c,a)=eq\f(\r(6),2).10．在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为，记=fπ(A)．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1=fβ[fα(P)]，Q2=fα[fβ(P)]，恒有PQ1=PQ2，则A．平面α与平面β垂直B．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45C．平面α与平面β平行D．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60【命题意图】本题考查新定义问题的解决，重在知识的迁移，属于较难题【*解析】A用特殊法立即可知选项A正确非选择题部分（共100分）二、填空题：每小题4分，共28分．43233正视图侧视图俯视图（第12题图）11．设二项式eq\b(\r()−\f(1,\r(3,)))\s\up10()的展开式中常数项为A，则A=．【命题意图】考查二项式定理，属于容易题【*解析】−1012．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于cm3．【命题意图】本题考查三视图和体积计算，属于容易题【*解析】24由题意，该几何体为一个直三棱柱截去一个三棱锥所得13．设z=kx+y，其中实数，y满足eq\b\lc\{(\a(+y−2≥0，,−2y+4≥0，,2−y−4≤0．))若z的最大值为12，则实数=．【命题意图】本题考查线*规划，属于容易题【*解析】2作出平面区域即可14．将A，，，D，E，F六个字母排成一排，且A，均在的同侧，则不同的排法有种（用数字作答）．【命题意图】本题考查排列组合，属于中档题【*解析】480第一类，字母排在左边第一个位置，有Aeq\o(,)种；第二类，字母排在左边第二个位置，有Aeq\o(2,4)Aeq\o(3,3)种；第三类，字母排在左边第三个位置，有Aeq\o(2,2)Aeq\o(3,3)+Aeq\o(2,3)Aeq\o(3,3)种，由对称*可知共有2(Aeq\o(,)+Aeq\o(2,4)Aeq\o(3,3)+Aeq\o(2,2)Aeq\o(3,3)+Aeq\o(2,3)Aeq\o(3,3))=480种。15．设F为抛物线C：y2=4的焦点，过点F(−1，0)的直线l交抛物线C于A，两点，点Q为线段AB的中点．若|FQ|=2，则直线l的斜率等于．【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题【*解析】±1设直线l的方程为y=(+1)，联立eq\b\lc\{(\a(y=(+1)，,y2=4．))消去y得22+(22−4)+2=0，由韦达定理，A+=−eq\f(22−4,k2)，于是Q=eq\f(A+,2)=eq\f(2,2)−1，把Q带入y=(+1)，得到yQ=eq\f(2,)，根据|FQ|=eq\r(\b(\f(2,2)−2)\s\up10(2)+\b(\f(2,))\s\up10(2))=2，解出=±1．16．在△ABC，=90，是BC的中点．若sinBAM=eq\f(1,3)，则sinBAC=．【命题意图】本题考查解三角形，属于中档题【*解析】eq\f(\r(6),3)设BC=2a，AC=，则AM=eq\r(a2+2)，AB=eq\r(4a2+2)，sinsinABC=eq\f(AC,AB)=eq\f(,eq\r(4a2+2))，在△ABM中，由正弦定理eq\f(sinBAM)=eq\f(sinABM)，即eq\f(a,\f(1,3))=eq\f(eq\r(a2+2),eq\f(,eq\r(4a2+2)))，解得2a2=2，于是sinBAC=eq\f(BC,AB)=eq\f(2a,eq\r(4a2+2))=eq\f(\r(6),3)．17．设e1，e2为单位向量，非零向量=e1+ye2，，yR．若e1，e2的夹角为eq\f(π,6)，则eq\f(||,||)的最大值等于．【命题意图】本题以向量为依托考查最值问题，属于较难题【*解析】2eq\f(||,||)=eq\f(||,\r((e1+ye2)2))=eq\f(||,\r(2+y2+\r(3)xy))=eq\f(1,\r(\f(2+y2+\r(3)xy,2)))=eq\f(1,\r(\b(\f(y,))\s\up10(2)+\f(\r(3)y,)+1))=eq\f(1,\r(\b(\f(y,)−\f(\r(3),2))\s\up10(2)+\f(1,4)))，所以eq\f(||,||)的最大值为2三、解答题：本大题共5小题，共72分．18．（本小题满分14分）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列（Ⅰ）求d，an；（Ⅱ）若d<0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|．【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力。【*解析】（Ⅰ）由题意5a3a1=(2a2+2)2，即d2−3d−4=0．故d=−1或d=4．所以an=−n+11，nN*或an=4n+6，nN*（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为n．因为d<0，由（Ⅰ）得d=−1，an=−n+11．则当n11时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=n=−eq\f(1,2)n2+eq\f(21,2)n当n12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=−n+211=eq\f(1,2)n2−eq\f(21,2)n+110综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=eq\b\lc\{(\a\al(−eq\f(1,2)n2+eq\f(21,2)n，n11，,eq\f(1,2)n2−eq\f(21,2)n+110，n12．))19．（本题满分14分）设袋子中装有a个红球，个黄球，个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．（Ⅰ）当a=3，=2，=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；（Ⅱ）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη=eq\f(5,3)，Dη=eq\f(5,9)，求a∶∶．【命题意图】本题考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、数学方差等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。【*解析】（Ⅰ）由题意得ξ=2，3，4，5，6故P(ξ=2)=eq\f(33,66)=eq\f(1,4)，P(ξ=3)=eq\f(232,66)=eq\f(1,3)，P(ξ=4)=eq\f(231+22,66)=eq\f(5,18)，P(ξ=5)=eq\f(221,66)=eq\f(1,9)，P(ξ=6)=eq\f(11,66)=eq\f(1,36)，所以ξ的分布列为ξ23456Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(5,18)eq\f(1,9)eq\f(1,36)（Ⅱ）由题意知η的分布列为η123Peq\f(a,a++)eq\f(,a++)eq\f(,a++)所以Eη=eq\f(a,a++)+eq\f(2,a++)+eq\f(3,a++)=eq\f(5,3)Dη=eq\b(1−\f(5,3))\s\up10(2)eq\f(a,a++)+eq\b(2−\f(5,3))\s\up10(2)eq\f(,a++)+eq\b(3−\f(5,3))\s\up10(2)eq\f(,a++)=eq\f(5,9)化简得eq\b\lc\{(\a\al(2a−−4=0，,a+4−11=0))解得a=3，=2，故a∶∶=3∶2∶1ADPQM（第20题图）20．（本题满分15分）如图，在四面体A−BCD中，AD平面BCD，BCCD，AD=2，BD=2eq\r(2)．是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．（Ⅰ）*：PQ∥平面BCD；（Ⅱ）若二面角−BM−D的大小为60，求BDC的大小．【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。【*解析】（Ⅰ）取BD的中点，在线段CD上取点F，使得DF=3FC，连接OP，OF，FQ．因为AQ=3QC，所以QF∥AD，且QF=eq\f(1,4)AD因为，P分别为BD，BM的中点，所以OP是△BDM的中位线，所以OP∥DM，且OP=eq\f(1,2)DM又点是AD的中点，所以OP∥AD，且OP=eq\f(1,4)AD从而OP∥FQ，且OP=FQ所以四边形OPQF是平行四边形，故PQ∥OF又PQ平面BCD，OF平面BCD，所以PQ∥平面BCD．（Ⅱ）作CGBD于点G，作GHBM于点HG，连接CH，则CHBM，所以CHG为二面角的平面角。设BDC=θ．在Rt△BCD中，CD=BDcosθ=2eq\r(2)cosθ，CG=CDsinθ=2eq\r(2)cosθsinθ，BG=BCsinθ=2eq\r(2)sin2θ在Rt△BDM中，HG=eq\f(BGDM,BM)=eq\f(2eq\r(2)sin2θ,3)在Rt△CHG中，tanCHG=eq\f(CG,HG)=\f(3cosθθ)=\r(3)所以tan=eq\r(3)从而=60yl1l2PDA（第21题图）即BDC=60．21．（本题满分15分）如图，点P(0，−1)是椭圆C1：eq\f(2,a2)+\f(y2,2)=1(a>>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：2+y2=4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，两点，l2交椭圆C1于另一点D．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．【命题意图】本题考查椭圆的几何*质，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力【*解析】（Ⅰ）由题意得eq\b\lc\{(\a(=1，,a=2．))所以椭圆C的方程为eq\f(2,4)+y2=1．（Ⅱ）设A(1，y1)，(2，y2)，D(0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为，则直线l1的方程为y=kx−1．又圆C2：2+y2=4，故点到直线l1的距离d=eq\f(1,\r(2+1))，所以|AB|=2eq\r(4−d2)=2eq\r(\f(42+3,2+1))．又l1l2，故直线l2的方程为+ky+=0．由eq\b\lc\{(\a(+ky+=0，,eq\f(2,4)+y2=1．))　消去y，整理得(4+2)2+8kx=0故0=−eq\f(84+2)．所以|PD|=eq\f(8\r(2+1),4+2)．设△ABD的面积为，则=eq\f(1,2)|AB||PD|=eq\f(8\r(42+3),4+2)，所以=eq\f(32,\r(42+3)+\f(13,\r(42+3)))eq\f(32,2\r(\r(42+3)\f(13,\r(42+3))))=eq\f(16\r(13),13)，当且仅当=±eq\f(\r(10),2)时取等号所以所求直线l1的方程为y=±eq\f(\r(10),2)−122．（本题满分14分）已知aR，函数f()=3−32+3ax−3a+3（Ⅰ）求曲线y=f()在点(1，f(1))处的切线方程；（Ⅱ）当[0，2]时，求|f()|的最大值．【命题意图】本题考查导数的几何意义，导数应用等基础知识，同时考查推理论*能力，分类讨论等分析问题和解决问题的能力【*解析】（Ⅰ）由题意f()=32−6+3a，故f(1)=3a−3．又f(1)=1，所以所求的切线方程为y=(3a−3)−3a+4（Ⅱ）由于f()=3(−1)2+3(a−1)，02．故（ⅰ）当a0时，有f()0，此时f()在[0，2]上单调递减，故|f()|max=max{|f(0)|，|f(2)|}=3−3a（ⅱ）当a1时，有f()0，此时f()在[0，2]上单调递增，故|f()|max=max{|f(0)|，|f(2)|}=3a−1（ⅲ）当0<a<1时，设1=1−eq\r(1−a)，2=1+eq\r(1−a)，则0<1<2<2，f()=3(−1)(−2)列表如下：0(0，1)1(1，2)2(2，2)2f()+0−0+f()3−3a单调递增极大值f(1)单调递减极小值f(2)单调递增3a−1由于f(1)=1+2(1−a)eq\r(1−a)，f(2)=1−2(1−a)eq\r(1−a)，故f(1)+f(2)=2>0，f(1)f(2)=4(1−a)eq\r(1−a)>0从而f(1)>|f(2)|．所以|f()|max=max{f(0)，|f(2)|，f(1)}（1）当0<a<eq\f(2,3)时，f(0)>|f(2)|．又f(1)−f(0)=2(1−a)eq\r(1−a)−(2−3a)=eq\f(a2(3−4a),2(1−a)\r(1−a)+2−3a)>0故|f()|max=f(1)=1+2(1−a)eq\r(1−a)．（2）当eq\f(2,3)a<1时，|f(2)|=f(2)，且f(2)f(0)．又f(1)−|f(2)|=2(1−a)eq\r(1−a)−(3a−2)=eq\f(a2(3−4a),2(1−a)\r(1−a)+3a−2)所以①当eq\f(2,3)a<eq\f(3,4)时，f(1)>|f(2)|．故|f()|max=f(1)=1+2(1−a)eq\r(1−a)．②当eq\f(3,4)a<1时，f(1)|f(2)|．故|f()|max=|f(2)|=3a−1．综上所述，|f()|max=eq\b\lc\{(\a\al\co2(3−3a，,a0，,1+2(1−a)eq\r(1−a)，,0<a<eq\f(3,4)，,3a−1，,aeq\f(3,4)．))新|课|标|第|一|网