2012上海市高考数学试卷及*(理数)

2012年上海高考数学（理科）试卷一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．计算：false=（i为虚数单位）.2．若*false，false，则false=.3．函数false的值域是.4．若false是直线false的一个法向量，则false的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．在false的二项展开式中，常数项等于.6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，false为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,…,Vn,…，则false.7．已知函数false（a为常数）.若false在区间[1,+)上是增函数，则a的取值范围是.8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为.9．已知false是奇函数，且false.若false，则false.ll10．如图，在极坐标系中，过点false的直线false与极轴的夹角false.若将false的极坐标方程写成false的形式，则false.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.12．在平行四边形ABCD中，∠A=false,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足false，则false的取值范围是.13．已知函数false的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(false,5)，C(1,0).函数false的图像与x轴围成的图形的面积为.ACD14．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15．若false是关于x的实系数方程false的一个复数根，则（）（A）false.（B）false.（C）false.（D）false.16．在false中，若false，则false的形状是（）（A）锐角三角形.（B）直角三角形.（C）钝角三角形.（D）不能确定.17．设false，false.随机变量false取值false、false、false、false、false的概率均为0.2，随机变量false取值false、false、false、false、false的概率也为0.2.若记false、false分别为false、false的方差，则（）（A）false＞false.（B）false＝false.（C）false＜false.（D）false与false的大小关系与false、false、false、false的取值有关.18．设false，false.在false中，正数的个数是（）ACDPE（A）25.（B）50.（C）75.（D）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，AD=2false，PA=2.求：（1）三角形PCD的面积；（6分）（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）20．已知函数false.（1）若false，求false的取值范围；（6分）（2）若false是以2为周期的偶函数，且当false时，有false，求函数falsefalse的反函数.（8分）21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海yPA里A处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线false；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发false小时后，失事船所在位置的横坐标为false.（1）当false时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）22．在平面直角坐标系false中，已知双曲线false.（1）过false的左顶点引false的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（4分）（2）设斜率为1的直线l交false于P、Q两点，若l与圆false相切，求*：OP⊥OQ；（6分）（3）设椭圆false.若M、N分别是false、false上的动点，且O⊥N，求*：到直线MN的距离是定值.（6分）23．对于数集false，其中false，false，定义向量集false.若对于任意false，存在false，使得false，则称X具有*质P.例如false具有*质P.（1）若x＞2，且false，求x的值；（4分）（2）若X具有*质P，求*：1X，且当xn＞1时，x1=1；（6分）（3）若X具有*质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列false的通项公式.（8分）2012年上海高考数学（理科）试卷解答一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．计算：false=12i（i为虚数单位）.2．若*false，false，则false=false.3．函数false的值域是false.4．若false是直线false的一个法向量，则false的倾斜角的大小为arctan2（结果用反三角函数值表示）.5．在false的二项展开式中，常数项等于160.6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，false为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,…,Vn,…，则falsefalse.7．已知函数false（a为常数）.若false在区间[1,+)上是增函数，则a的取值范围是(,1].8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为false.l9．已知false是奇函数，且false.若false，则false1.10．如图，在极坐标系中，过点false的直线false与极轴的夹角false.若将false的极坐标方程写成false的形式，则falsefalse.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是false（结果用最简分数表示）.12．在平行四边形ABCD中，∠A=false,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足false，则false的取值范围是[2,5].ACD13．已知函数false的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(false,5)，C(1,0).函数false的图像与x轴围成的图形的面积为false.14．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是false.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15．若false是关于x的实系数方程false的一个复数根，则（B）（A）false.（B）false.（C）false.（D）false.16．在false中，若false，则false的形状是（C）（A）锐角三角形.（B）直角三角形.（C）钝角三角形.（D）不能确定.17．设false，false.随机变量false取值false、false、false、false、false的概率均为0.2，随机变量false取值false、false、false、false、false的概率也为0.2.若记false、false分别为false、false的方差，则（A）（A）false＞false.（B）false＝false.（C）false＜false.（D）false与false的大小关系与false、false、false、false的取值有关.18．设false，false.在false中，正数的个数是（D）ACDPE（A）25.（B）50.（C）75.（D）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，AD=2false，PA=2.求：（1）三角形PCD的面积；（6分）（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）[解]（1）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.……3分ACDPEyz因为PD=false，CD=2，所以三角形PCD的面积为false.……6分（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(2,2false,0)，E(1,false,1)，false，false.……8分设false与false的夹角为，则false，=false.ACDPEF由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是false……12分[解法二]取PB中点F，连接EF、AF，则EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线BC与AE所成的角……8分在false中，由EF=false、AF=false、AE=2知false是等腰直角三角形，所以∠AEF=false.因此异面直线BC与AE所成的角的大小是false……12分20．已知函数false.（1）若false，求false的取值范围；（6分）（2）若false是以2为周期的偶函数，且当false时，有false，求函数falsefalse的反函数.（8分）[解]（1）由false，得false.由false得false.……3分因为false，所以false，false.由false得false.……6分（2）当[1,2]时，2[0,1]，因此false.……10分由单调*可得false.因为false，所以所求反函数是false，false.……14分21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴yPA正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线false；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发false小时后，失事船所在位置的横坐标为.（1）当false时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）[解]（1）false时，P的横坐标xP=false，代入抛物线方程false中，得P的纵坐标yP=3.……2分由|AP|=false，得救援船速度的大小为false海里/时.……4分由tan∠OAP=false，得∠OAP=arctanfalse，故救援船速度的方向为北偏东arctanfalse弧度.……6分（2）设救援船的时速为false海里，经过false小时追上失事船，此时位置为false.由false，整理得false.……10分因为false，当且仅当false=1时等号成立，所以false，即false.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.……14分22．在平面直角坐标系false中，已知双曲线false.（1）过false的左顶点引false的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（4分）（2）设斜率为1的直线l交false于P、Q两点，若l与圆false相切，求*：OP⊥OQ；（6分）（3）设椭圆false.若M、N分别是false、false上的动点，且O⊥N，求*：到直线MN的距离是定值.（6分）[解]（1）双曲线false，左顶点false，渐近线方程：false.过点A与渐近线false平行的直线方程为false，即false.解方程组false，得false.……2分所以所求三角形的面积1为false.……4分（2）设直线PQ的方程是false.因直线与已知圆相切，故false，即false.……6分由false，得false.设P(1,y1)、Q(2,y2)，则false.又2，所以falsefalse，故OP⊥OQ.……10分（3）当直线ON垂直于轴时，|ON|=1，|OM|=false，则到直线MN的距离为false.当直线ON不垂直于轴时，设直线ON的方程为false（显然false），则直线OM的方程为false.由false，得false，所以false.同理false.……13分设到直线MN的距离为d，因为false，所以false，即d=false.综上，到直线MN的距离是定值.……16分23．对于数集false，其中false，false，定义向量集false.若对于任意false，存在false，使得false，则称X具有*质P.例如false具有*质P.（1）若x＞2，且false，求x的值；（4分）（2）若X具有*质P，求*：1X，且当xn＞1时，x1=1；（6分）（3）若X具有*质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列false的通项公式.（8分）[解]（1）选取false，Y中与false垂直的元素必有形式false.……2分所以=2，从而=4.……4分（2）*：取false.设false满足false.由false得false，所以false、false异号.因为1是X中唯一的负数，所以false、false中之一为1，另一为1，故1X.……7分假设false，其中false，则false.选取false，并设false满足false，即false，则false、false异号，从而false、false之中恰有一个为1.若false=1，则2，矛盾；若false=1，则false，矛盾.所以x1=1.……10分（3）[解法一]猜测false，i=1,2,…,n.……12分记false，=2,3,…,n.先*：若false具有*质P，则false也具有*质P.任取false，false、falsefalse.当false、false中出现1时，显然有false满足false；当false且false时，false、false≥1.因为false具有*质P，所以有false，false、falsefalse，使得false，从而false和false中有一个是1，不妨设false=1.假设falsefalse且falsefalse，则false.由false，得false，与falsefalse矛盾.所以falsefalse.从而false也具有*质P.……15分现用数学归纳法*：false，i=1,2,…,n.当n=2时，结论显然成立；假设n=k时，false有*质P，则false，i=1,2,…,；当n=k+1时，若false有*质P，则false也有*质P，所以false.取false，并设false满足false，即false.由此可得s与t中有且只有一个为1.若false，则1，不可能；所以false，false，又false，所以false.综上所述，falsefalse，i=1,2,…,n.……18分[解法二]设false，false，则false等价于false.记false，则数集X具有*质P当且仅当数集B关于原点对称.……14分注意到1是中的唯一负数，false共有n1个数，所以false也只有n1个数.由于false，已有n1个数，对以下三角数阵falsefalse……false注意到false，所以false，从而数列的通项公式为false，=1,2,…,n.……18分