八年级下册勾股定理教学设计

课题：18．1勾股定理教学设计莆田擢英中学朱庆云教学任务教学目标知识与技能目标理解并掌握勾股定理及其*。过程与方法目标在学生经历“观察—猜想—归纳—验*”勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想。情感与态度目标通过对勾股定理历史的了解,感受数学文化，激发学习兴趣；在探究活动中，培养学生的合作交流意识和探索精神。学情分析针对我班学生求知欲强，想象力丰富，乐于参与*作活动，有充分展示及表现的愿望；在知识掌握上，已具备直角三角形的有关知识，积累了一定观察、思考、*作等活动经验，具有简单的说理及初步推理能力，因此本课设计的探究活动，学生经努力是能做到；在心理上，抓住学生对学习机计算、验*图形感兴趣的有利因素，引导学生认识到勾股定理的文化价值；在思维上，“*作+思考”的方式符合八年级学生认知水平，适应其思维发展规律及心理特征。教学策略根据本节内容的特点，学生的认知基础，遵循以教师为主导，学生为主体的教学原则，我采用了“观察—猜想—归纳—验*”教学模式及借助多媒体、诺亚舟学习机直观演示法，让课堂更生动、有趣、高效，让师生关系平等、*，更好地完成知识探索与促进学生发展的目标。重点探索和用诺亚舟学习机验*勾股定理。难点掌握勾股定理并能利用它熟练地解决有关数学问题。教学准备教具多媒体课件；多媒体投影；PPT课件；诺亚舟学习机NP1200；数学画板软件；诺亚舟搜学资源包。学具边长分别为a、b的两个连体正形纸片。教学流程安排活动流程图活动内容和目的活动1创设情境→激发兴趣通过对毕达哥拉斯图的了解，激发起学生对勾股定理的探索兴趣。活动2观察特例→发现新知通过问题激发学生好奇、探究和主动学习的欲望。活动3深入探究→猜想规律观察分析方格图，用学习机计算直角三角形三边上正方形面积的关系，发现猜想规律。活动4验*命题→得出定理通过验*猜想，从而得出直角三角形的*质——勾股定理，发展学生分析问题的能力。运用诺亚舟学习机验*赵爽弦图*勾股定理，体会数形结合思想，激发探索精神。活动5实践应用→拓展提高初步应用所学知识，加深理解。活动6课堂拓展→感受文化让学生知道勾股定理的来源，从而激发学生的爱国主义情怀。活动７回顾小结→整体感知回顾、反思、交流。活动８布置作业→巩固加深巩固、提高、拓展。教学过程设计问题与情境师生行为设计意图活动1：创设情境→激发兴趣一个美丽的故事：世界的许多科学家正在试探着寻找“外星人”，人们为了取得与外星人的联系，想了很多方法。早在1820年，德国著名数学家高斯曾提出，可在西伯利亚的森林里伐出一片直角三角形的空地，然后在这片空地里种上麦子，以三角形的三条边为边种上三片正方形的松树林，如果有外星人路过地球附近，看到这个巨大的数学图形，便会知道：这个星球上有智慧生命。我国数学家华罗庚也曾提出：若要沟通两个不同星球的信息交往，最好利用太空飞船带上这个图形，并发*到太空中去。从数学的角度思考问题：　是图中哪些量存在的规律，使得它可以作为人类与外星人交流的工具。教师出示投影片及播放动画片。学生观察图片发表见解。教师应重点关注：（1）学生对“毕达哥拉斯”及勾股定理的历史是否感兴趣；（2）学生对勾股定理的了解程度。通过欣赏图片和观看动画片，了解历史，介绍与勾股定理有关的背景知识，激发学生学习兴趣，自然引出本节课的课题。活动2：观察特例→发现新知毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数量关系。（1）同学们，请你也来观察下图中的地面，看看能发现些什么？（2）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？（3）你有新的结论吗？（4）你能找出图18。11中正方形A、B、C面积之间的关系吗？（5）图中正方形A、B、C所围直角三角形三边上的正方形面积之间有什么特殊关系?教师展示图片，提出问题。学生*观察图形，分析思考其中隐藏的规律。学生通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将正方形A、B中小等腰直角三角形补成一个大正方形得到：正方形A、B的面积之和等于大正方形C的面积。教师出示图表。学生*观察并计算各图中正方形A、B、C的面积并完成填表。学生利用表格有条理地呈现数据，归纳得到：正方形A、B的面积之和等于正方形C的面积。通过讲传说故事来进一步激发学生学习兴趣，使学生在不知不觉中进入学习的最佳状态。“问题是思维的起点”，通过层层设问，引导学生发现新知。活动3:深入探究→交流归纳在学习机上任意画一个直角三角形，并分别以这个三角形的三边向外作正方形，仿照上面方法求其面积，你又发现了什么？拿出诺亚舟图形计算器，打开数学画板，做一个直角三角形ABC，分别以ABACBC为边做正方形ABDE、ACFG、BCIH计算三个正方形的面积，发现正方形ABDE的面积+正方形ACFG的面积=正方形BCIH的面积通过以上活动，我们发现以任意直角三角形的两条直角边为边长的正方形面积之和都等于以斜边为边长的正方形面积。下面我们运用诺亚舟数学画板进一步验*上面的结论（改变直角三角形的三边长度，同学们发现结论仍然成立）。（2）如果只有直角三角形，而没有向外作正方形，那么直角三角形三边之间又存在什么规律。你能用文字语言表达出来吗？教师参与小组活动，指导、倾听学生交流。针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积。学生分组交流，展示求面积的不同方法。在上一活动“探究等腰直角三角形三边关系”的基础上，学生类比迁移，得到：两直角边的平方和等于斜边的平方。师生共同讨论、交流、逐步完善，得到命题1:如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么aeq\o(\s\up7(2　),\s\do3(　))+beq\o(\s\up7(2　),\s\do3(　))=ceq\o(\s\up7(2　),\s\do3(　)).教师应重点关注：学生能否主动参与探究活动，在讨论中发表自己的见解，倾听他人的意见，对不同的观点进行质疑，从中获益.渗透从特殊到一般的数学思想.为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高.讲解勾股定理的探究时，就可以利用学习机的计算功能，学生自己动手探究三个正方形面积之间的关系。首先利用学习机的作图功能做出等腰直角三角形（先做一个直角三角形拖动一个顶点变为等腰直角三角形，样为后面拖动三角形的一个顶点变为一般直角三角形做准备），以及以三边为边长向外做三个正方形，并把三个正方形进行区域填充就能够自己进行计算，然后探究三个面积之间具有什么关系。（3）归纳猜想，得出命题：a如果直角三角形两直角边分别为，斜边为，那么aeq\o(\s\up7(2　),\s\do3(　))+beq\o(\s\up7(2　),\s\do3(　))=ceq\o(\s\up7(2　),\s\do3(　))。即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。活动4：验*命题→得出定理false方法一：（1）如下图，作出两个正方形ABCD和BFGE。（2）测量出DA的长度，然后选择约束圆，以点F为圆心DA的长为半径交AB于点H，如下图，接着选择正方形工具，分别点击DH，得到如图（3）填充：选择填充区域分别填充DAH，填充时，第一个点是D，再填充GFH，第一个点是G，然后填充DHGEJ，如下图，（4）旋转*作：选择快捷*作里，点选区域控制，在出现的下级菜单里把旋转角度设置为45度，确定得到如下图，（5）点击选择区域，按照*条上显示的旋转方式来控制区域的旋转，使得形成下面的图形。通过上面的*作我们得到什么结论呢？从上面的图中我们可以看到，这两块区域正好填满正方形DHGJ。如果设AB＝a，并BF=b，DH＝c，那么根据三个正方形的面积可得到：false。（6）撤销填充后，改变正方形ABCD或BFGH的大小，按照同样的填充和控制方法进行*作。看结论是否一致。方法二：（1）如下图，作正方形ABCD，以AB为半径作圆，在圆上取一点F。（2）然后过A、F两点作直线，接着过点D作直线AF的垂线，过点C作直线GH的垂线，过点B作HI的垂线。如下图，（3）隐藏直线和圆，然后分别填充边上四个相等的直角三角形，如下图，通过图形我们可以看到，正方形FGHI的面积等于正方形ABCD加上四个直角三角形面积的和。若设AF＝a，FB＝b，AB＝c，那么有false移动探究：用移动点工具移动点F，当点F在正方形ABCD内部的时候，如下图：这时候正方形FGHI的边长等于false，所以有false经过论*得出这个命题是成立，即为勾股定理。活动5：实践应用→拓展提高例1.在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.已知：a=5，ｂ=12，则c=____；(2)已知：a=40，c=41，则b=____；(3)已知：c=25，b=7，则a=___；(4)已知:a:b=2:3,c=则a=___,b=___例2.如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的一点，测得，，你能求出A、B两点间的距离吗？教师展示图片，提出问题.学生观察图形可得：大正方形面积=四个全等直角三角形面积+中间小正方形面积.再由代数恒等变形能得到aeq\o(\s\up7(2　),\s\do3(　))+beq\o(\s\up7(2　),\s\do3(　))＝ceq\o(\s\up7(2　),\s\do3(　))，即验*了命题1.教师参与小组活动，指导、倾听学生交流．针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积．在本次活动中，教师应重点关注：（1）给学生留出充分的时间思考和交流，鼓励学生大胆说出自己的看法；（2）学生能否准确挖掘出图形中的隐含条件，计算各个正方形的面积；（3）学生能否用不同方法得到大正方形的面积（先补全再分割、旋转），引导学生重点学习赵爽弦图的分割方法；（4）学生能否将三个正方形面积的关系转化为直角三角形三条边之间的关系，并用自己的语言叙述出来；（5）学生能否主动参与探究活动，在讨论中发表自己的见解，倾听他人的意见，对不同的观点进行质疑，从中获益．例1是求直角三角形中未知边的长度，提示学生分清直角边和斜边，再将值代入aeq\o(\s\up7(2　),\s\do3(　))+beq\o(\s\up7(2　),\s\do3(　))=ceq\o(\s\up7(2　),\s\do3(　))求解.归纳出：（1）已知直角三角形任意两边，能求第三边.（2）可用勾股定理建立方程。让学生模拟数学家的思维方式和思维过程,亲身体验勾股定理的探索与验*，使学生对定理的理解更加深刻，体会数形结合思想，发展创造*思维能力.由传统的数学课堂向实验的数学课堂转变.通过一组练习让学生回顾直角三角形三边关系，为本节课勾股定理的应用做好铺垫．例2．为了让学生能有效地突破难点，本环节分别为它们设计了一个简单的已有的知识和生活经验易于解答的问题作台阶，顺利解决如何将实际问题转化为求直角三角形边长的问题，培养学生的数学应用意识．脑筋急转弯星期天，小明在旗杆下玩耍，他发现旗杆上的绳子垂到地面后还多出了一米，当他把绳子末端拉离旗杆5米后，发现绳子末端刚好接触到地面。你能帮他算出旗杆的高度吗？试一试，你能行。通过运用勾股定理对实际问题的解释和应用，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻地认识数学的本质：数学来源于生活，并能服务于生活．活动6：课堂拓展→感受文化（1）勾股树（2）勾股史话教师引导学生在学习机上搜索：（1）数学画版菜单上点击勾股树分形图；(2)百科搜学精装版上点击，搜索勾股定理有关史记。通过数学史上对勾股定理的介绍，激发学生学数学，爱数学，做数学的情感。使学生从经历定理探索的过程中，感受数学之美，探究之趣。活动7：回顾小结→整体感知过程小结，知识小结.学生谈体会.教师进行补充.教师应关注学生是否能从不同方面谈感受.学生通过对学习过程的小结，领会其中的数学思想方法；通过梳理所学内容，形成完整知识结构，培养归纳概括能力。活动8：布置作业→巩固加深1、巩固型作业：课本P7071习题18.1、1，72、拓展型作业:通过上网，搜索有关勾股定理的知识：如（1）勾股定理的历史；（2）勾股定理的*方法；（3）勾股定理在实际生活中的应用；并制作成研究*学习报告。针对学生认知的差异设计了有层次的作业题，既使学生巩固知识，形成技能，又使学有余力的学生获得最佳发展.板书设计：18.1勾股定理一、了解历史：毕达哥拉斯图二、图形探究→猜想→*三、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别是a,b,斜边是c,那么aeq\o(\s\up4(2　),\s\do2(　))+beq\o(\s\up5(2　),\s\do2(　))=ceq\o(\s\up7(2　),\s\do3(　))四、范例例1.例2.脑筋急转弯五、课堂拓展小结：六、布置作业：勾勒出教学的主线，呈现完整知识结构体系.并用**增加信息的强度，突出重点.教学设计说明根据新的课程标准以及人教版教材的特点,课堂教学要为学生的数学学习构筑起点,为他们提供现实、有趣、富有挑战的学习素材，展现教学知识的形成与应用过程。为了取得理想效果，本教案设计注意了以下几个方面：.贯穿一根线索：“分、割大正方形以及学习机计算各正方形面积”贯穿整个探索勾股定理的过程。先是针对等腰直角三角形三边上的正方形面积关系进行探索，接着是具备勾股数特点的直角三角形，再是边长为整数的一般直角三角形，这样从特殊到一般探求直角三角形三边的联系，最后让学生在学习机上任意画一个直角三角形，再次验*自己的发现。从而让学生体验到由特例归纳猜想、由特例检验猜想的过程。渗透一个思想：数形结合思想。教学思想方法是对数学的知识内容和所使用的方法的本质的认识，它是对数学规律的理*认识。通过本节“勾股定理”的学习能让学生由正方形的面积联想到a2、b2、c2，由a2、、b2、c2联想到正方形的面积，这有助于学生认识数学的内在联系。突出一个意识：应用意识。面对实际问题能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略是数学应用意识的重要体现，而培养学生应用意识的最有效办法就是让学生有机会亲身实践，如范例2、脑筋急转弯都以学校风景为素材，为培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻地认识数学的本质，数学来源于生活，并服务于生活.只有让学生将勾股定理与实际生活联系起来，才能够切实体会到数学的应用价值，学生学习数学的积极*才能够真正被激发，如此获得的数学知识、数学思想方法才能真正被用于解决现实生活中的问题。在教学过程中，我始终：坚持一个原则——教为主导，学为主体的原则；坚守一个理念——先学后教，以学定教的理念；贯穿一个思想——享受数学，快乐学习的思想；以上是我的教学设计，不当之处敬请各位专家批评和指正，谢谢！