初中_数学_初三【数学】_九上数学-试题_新人教版九年级上册数学同步测试_九年级数学上册24.2.2+直线和圆的位置关系同步测试+新人教版

直线和圆的位置关系第1课时　直线和圆的位置关系　[见A本P43]1．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是(　B　)【解析】∵⊙O的半径r为5，圆心O到直线l的距离d为3，且0＜d＜r，∴直线l与⊙O的位置关系是相交且直线l不经过圆心．2．已知圆的半径是5cm，如果圆心到直线的距离是5cm，那么直线和圆的位置关系是(　B　)A．相交　　B．相切　　C．相离　　D．内含【解析】d＝r＝5cm，故选B.3．[2013·青岛]直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是(　C　)A．r＜6B．r＝6C．r＞6D．r≥6【解析】∵直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离d＝6，∴r＞6.4．已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是(　D　)A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交【解析】当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＝2＝r，⊙O与l相切；当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜2＝r，⊙O与直线l相交，故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．5．在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆(　C　)A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交C．与x轴相切，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离6．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为(　B　)A．2cmB．2.4cmC．3cmD．4cm7．在△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝AC＝10，以C为圆心，分别以5，5eq\r(2)，8为半径作圆，那么直线AB与圆的位置关系分别为__相离__、__相切__、__相交__．【解析】C到AB的距离d＝5eq\r(2).当d＝5eq\r(2)＞r＝5时，直线AB与圆相离；当d＝5eq\r(2)＝r时，直线AB与圆相切；当d＝5eq\r(2)＜r＝8时，直线AB与圆相交．8．已知⊙O的面积为9πcm2，若点O到直线l的距离为πcm，则直线l与⊙O的位置关系是__相离__．【解析】因为⊙O的面积为9πcm2，所以⊙O的半径r＝3cm，而点O到直线l的距离d＝πcm，所以d＞r，所以直线l与⊙O相离．图24－2－79．如图24－2－7，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝4cm，以点C为圆心，以3cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是__相交__．【解析】在Rt△ABC中，因为∠C＝90°，∠A＝60°，所以∠B＝30°，所以AB＝2AC.由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，即AC2＋42＝4AC2，解得AC＝eq\f(4,3)eq\r(3)(负值已舍)，所以AB＝2AC＝eq\f(8,3)eq\r(3).设C到AB的距离为CD，则CD＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(\f(4,3)\r(3)×4,\f(8\r(3),3))＝2cm＜3cm，所以以点C为圆心，以3cm长为半径的⊙C与AB的位置关系是相交．10．已知∠AOB＝30°，P是OA上的一点，OP＝24cm，以r为半径作⊙P.(1)若r＝12cm，试判断⊙P与OB的位置关系；(2)若⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件．图24－2－8解：过点P作PC⊥OB，垂足为C，则∠OCP＝90°.∵∠AOB＝30°，OP＝24cm，∴PC＝OP＝12cm.(1)当r＝12cm时，r＝PC，∴⊙P与OB相切，即⊙P与OB位置关系是相切．(2)当⊙P与OB相离时，r＜PC，∴r需满足的条件是：0cm＜r＜12cm.图24－2－911．如图24－2－9，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y＝x－eq\r(2)与⊙O的位置关系是(　B　)A．相离　　　　　B．相切C．相交D．以上三种情况都有可能12．如图24－2－10，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线y＝ax2上，⊙P恒过点(0，n)．且与直线y＝－n始终保持相切，则n＝__eq\f(1,4a)__(用含a的代数式表示)．图24－2－10【解析】如图，连接PF.设⊙P与直线y＝－n相切于点E，连接PE.则PE⊥AE.∵动点P在抛物线y＝ax2上，∴设P(m，am2)．∵⊙P恒过点F(0，n)，∴PE＝PF，即m＝2n又∵am2＝n∴n＝eq\f(1,4a).故*是eq\f(1,4a).13．如图24－2－11，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝m，∠D＝60°，以AB为直径作⊙O.图24－2－11(1)求圆心O到CD的距离(用含m的代数式来表示)；(2)当m取何值时，CD与⊙O相切？解：(1)分别过A，O两点作AE⊥CD，OF⊥CD，垂足分别是点E，F，∴AE∥OF，OF就是圆心O到CD的距离．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴AE＝OF.在△ADE中，∠D＝60°，∠AED＝90°，∴∠DAE＝30°，∴DE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)m，∴AE＝eq\r(AD2－DE2)＝eq\r(m2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)m))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2)m，∴OF＝AE＝eq\f(\r(3),2)m.(2)∵OF＝eq\f(\r(3),2)m，AB为⊙O的直径，且AB＝10，∴当OF＝5时，CD与⊙O相切于F点，即eq\f(\r(3),2)m＝5，m＝eq\f(10\r(3),3)，∴当m＝eq\f(10\r(3),3)时，CD与⊙O相切．14．如图24－2－12所示，在△ABC中，AD为BC边上的高，且AD＝eq\f(1,2)BC，E，F分别为AB，AC的中点，试问以EF为直径的圆与BC有怎样的位置关系．图24－2－12　第14题答图解：如图所示，过EF的中点O作OG⊥BC于G，∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF为△ABC的中位线．∴EF＝eq\f(1,2)BC，即BC＝2EF.又∵OG⊥BC，AD⊥BC，EF是△ABC的中位线，AD＝eq\f(1,2)BC，∴OG＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,4)BC＝eq\f(1,4)×2EF＝eq\f(1,2)EF＝OF.∴以EF为直径的圆与BC相切．15．如图24－2－13所示，点A是一个半径为300m的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B，C两个村庄，现要在B，C两个村庄间修一条长为1000m的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，问此公路是否会穿过森林公园？请通过计算进行说明．图24－2－13　　　第15题答图【解析】此题实质上是判断直线BC与⊙A的位置关系．问题的关键是求出点A到直线BC的距离AH的长，可设AH＝x，在Rt△ABH和Rt△ACH中分别用x表示出BH及CH，然后依据BH＋CH＝BC构建方程求解即可．解：如图所示，过点A作AH⊥BC于点H，设AH＝xm.∵∠ABC＝45°，∴BH＝AH＝xm．∵∠ACB＝30°，∴AC＝2xm，由勾股定理可得CH＝eq\r(3)xm.又∵BH＋CH＝BC，BC＝1000m，∴x＋eq\r(3)x＝1000，解得x＝500(eq\r(3)－1)>300，即BC与⊙A相离，故此公路不会穿过森林公园．16．由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘侵袭．如图24－2－14所示，近日，A城气象局测得沙尘暴的中心在A城的正西方向240km的B处，正以每小时12km的速度向北偏东60°的方向移动，距沙尘暴的中心150km的范围内为受影响区域．(1)A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？(2)若A城受到这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？图24－2－14　　　第16题答图解：(1)如图所示，过A作AC⊥BM于C，则AC＝eq\f(1,2)AB＝120<150，因此A城受到这次沙尘暴的影响．(2)设沙尘暴由B移动到D点时A城刚好受到这次沙尘暴的影响，则AD＝150，DC＝eq\r(AD2－AC2)＝90，那么A城遭受影响的时间为＝eq\f(2DC,12)＝eq\f(2×90,12)＝15(h)．第2课时　切线的判定和*质　[见B本P44]1．下列结论中，正确的是(　D　)A．圆的切线必垂直于半径B．垂直于切线的直线必经过圆心C．垂直于切线的直线必经过切点D．经过圆心与切点的直线必垂直于切线【解析】根据切线的*质来判断．选项A中，只有过切点的半径才与切线垂直；选项B中，只有过切点且垂直于切线的直线才经过圆心；选项C中，只有垂直于切线的半径才经过切点，所以A，B，C都错误，故选D.2．如图24－2－15，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA，OB，若∠ABC＝70°，则∠A等于(　B　)A．15°　　B．20°　　C．30°　　D．70°【解析】∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC＝90°.∵∠ABC＝70°，∴∠OBA＝∠OBC－∠ABC＝90°－70°＝20°.∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA＝20°.图24－2－15图24－2－163．如图24－2－16所示，⊙O与直线AB相切于点A，BO与⊙O交于点C，若∠BAC＝30°，则∠B等于(　B　)A．29°B．30°C．31°D．32°【解析】连接OA，则∠OAB＝90°，又∠CAB＝30°，∴∠OAC＝60°.又OA＝OC，∴△OAC是等边三角形，∴∠O＝60°，∴∠B＝30°.4．如图24－2－17所示，线段AB是⊙O上一点，∠CDB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于(　A　)图24－2－17A．50°B．40°C．60°D．70°【解析】连接OC，∵圆心角∠BOC与圆周角∠CDB都对弧BC，∴∠BOC＝2∠CDB，又∠CDB＝20°，∴∠BOC＝40°，又∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE＝90°，则∠E＝90°－40°＝50°.图24－2－185．如图24－2－18，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是(　A　)A．DE＝DOB．AB＝ACC．CD＝DBD．AC∥OD6．如图24－2－19，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦切小圆于点C，若∠AOB＝120°，则大圆半径R与小圆半径r之间满足(　C　)A．R＝eq\r(3)rB．R＝3rC．R＝2rD．R＝2eq\r(2)r【解析】连接OC，因为大圆的弦切小圆于点C，所以OC⊥AB，又因为OA＝OB，所以∠AOC＝eq\f(1,2)×120°＝60°，所以∠A＝30°，所以OA＝2OC，即R＝2r，故选C.图24－2－19图24－2－207．如图24－2－20，点P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，⊙O的半径OA＝2cm，∠P＝30°，则PO＝__4__cm.8．如图24－2－21，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC.若∠A＝26°，则∠ACB的度数为__32°__．图24－2－21　　　图24－2－229．如图24－2－22，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为__AB⊥BC__．【解析】当△ABC为直角三角形时，即∠ABC＝90°时，BC与圆相切，理由是：经过半径外端，与半径垂直的直线是圆的切线．10．如图24－2－23，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O相切于B点，CO交⊙O于点D，且BC＝8，CD＝4，那么⊙O的半径是__6__．图24－2－23　　　图24－2－2411．如图24－2－24，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC＝CP＝2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB.(1)求BC的长；(2)求*：PB是⊙O的切线．解：(1)连接OB，∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，∴∠COB＝60°，又∵OC＝OB.∴△OBC是正三角形，∴BC＝OC＝2.(2)*：∵BC＝CP，∴.∠CBP＝∠CPB，∵△OBC是正三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝60°.∴∠CBP＝30°，∴∠OBP＝∠CBP＋∠OBC＝90°，∴OB⊥BP，∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．12．如图24－2－25，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB＝∠B＝30°.(1)直线BD是否与⊙O相切？为什么？(2)连接CD，若CD＝5，求AB的长．图24－2－25第12题答图解：(1)直线BD与⊙O相切．理由如下：如图，连接OD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAB＝∠B＝30°，∴∠ODB＝180°－∠ODA－∠DAB－∠B＝180°－30°－30°－30°＝90°，即OD⊥BD，∴直线BD与⊙O相切．(2)如图，连接CD，由(1)知，∠ODA＝∠DAB＝30°，∴∠DOB＝∠ODA＋∠DAB＝60°.又∵OC＝OD，∴△DOC是等边三角形，∴OA＝OD＝CD＝5.又∵∠B＝30°，∠ODB＝90°，∴OB＝2OD＝10，∴AB＝OA＋OB＝5＋10＝15.13．如图24－2－26，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°.(1)求∠ABC的度数；(2)求*：AE是⊙O的切线．解：(1)∵∠ABC与∠D都是eq\o(AC,\s\up8(︵))所对的圆周角，∴∠ABC＝∠D＝60°.(2)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°－∠ABC＝30°，∴∠BAE＝∠BAC＋∠EAC＝30°＋60°＝90°，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切线．图24－2－26图24－2－2714．如图24－2－27，已知AD为⊙O的直径，B为AD延长线上一点，BC与⊙O切于C点，∠A＝30°.求*：(1)BD＝CD；(2)△AOC≌△CDB.*：(1)∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°.又∵∠A＝30°，OA＝OC＝OD，∴∠ACO＝∠A＝30°，∠ODC＝∠OCD＝90°－∠ACO＝60°.又∵BC与⊙O切于C点，∴∠OCB＝90°，∴∠BCD＝90°－∠OCD＝30°，∴∠B＝∠ODC－∠BCD＝30°，∴∠BCD＝∠B，∴BD＝CD.(2)∵∠A＝∠ACO＝∠BCD＝∠B＝30°，∴AC＝BC，∴△AOC≌△CDB.图24－2－2815．如图24－2－28，△OAC中，以O为圆心、OA为半径作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于点B，连接AB交OC于点D，∠CAD＝∠CDA.(1)判断AC与⊙O的位置关系，并*你的结论；(2)若OA＝5，OD＝1，求线段AC的长．解：(1)∵点A，B在⊙O上，∴OB＝OA，∴∠OBA＝∠OAB.∵∠CAD＝∠CDA＝∠BDO，∴∠CAD＋∠OAB＝∠BDO＋∠OBA.∵BO⊥CO，∴∠CAD＋∠OAB＝∠BDO＋∠OBA＝90°，即∠OAC＝90°，∴AC是⊙O的切线．(2)设AC长为x.∵∠CAD＝∠CDA，∴CD＝AC，即CD长为x.由(1)知OA⊥AC，∴在Rt△OAC中，OA2＋AC2＝OC2，即52＋x2＝(1＋x)2，解得x＝12，即线段AC的长为12.16．如图24－2－29，⊙O的直径AB＝6cm，P是AB的延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC.(1)若∠CPA＝30°，求PC的长；(2)若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP的值．图24－2－29第16题答图【解析】(1)由PC是⊙O的切线知PC⊥OC，又∠CPA＝30°，故只要知道OC即可求得PC的长；(2)在圆中，半径相等是*角相等的重要手段，此题只要在△APM中，求∠A＋∠APM的大小即可．解：(1)如图所示，连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°.∵∠CPA＝30°，OC＝eq\f(AB,2)＝3，∴OP＝2OC＝6，∴PC＝eq\r(OP2－OC2)＝3eq\r(3).(2)∠CMP的大小不发生变化且∠CMP＝45°.∵PM是∠CPA的平分线，∴∠CPM＝∠MPA.∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO.在△APC中，∵∠A＋∠ACP＋∠CPA＝180°，∴2∠A＋2∠MPA＋90°＝180°，∴∠A＋∠MPA＝45°，∴∠CMP＝∠A＋∠MPA＝45°，即∠CMP的大小不发生变化且∠CMP＝45°.