高中_数学_数学必修_必修二_高中数学（人教版必修2）配套练习_高中数学（人教版必修2）配套练习第一章1.3第2课时

第2课时　柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积一、基础过关1．一个三棱锥的高和底面边长都缩小为原来的eq\f(1,2)时，它的体积是原来的(　　)A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,8)D.eq\f(\r(2),4)2．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为(　　)A．1∶9B．1∶27C．1∶3D．1∶13．已知直角三角形的两直角边长为a、b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为(　　)A．a∶bB．b∶aC．a2∶b2D．b2∶a24．若球的体积与表面积相等，则球的半径是(　　)A．1B．2C．3D．45．将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4cm，则钢球的半径是________cm.6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为______cm3.INCLUDEPICTURE"A160.TIF"7．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是______；(2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是______．8．在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积．二、能力提升9．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别为(　　)INCLUDEPICTURE"A161.TIF"A．24πcm2,12πcm3B．15πcm2,12πcm3C．24πcm2,36πcm3D．以上都不正确10．圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的体积和表面积分别为(　　)A．2π，6πB．3π，5πC．4π，6πD．2π，4π11．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.INCLUDEPICTURE"A163.TIF"12．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．三、探究与拓展13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．*1．C　2.A　3.B　4.C　5.36．67．(1)球　(2)球8．解　∵PA、PB、PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝a.∴以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体．又∵P、A、B、C四点是球面上四点，∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径．∴2R＝eq\r(3)a，R＝eq\f(\r(3),2)a，∴V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π(eq\f(\r(3),2)a)3＝eq\f(\r(3),2)πa3.9．A　10.A　11.9π＋1812．解　由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．INCLUDEPICTURE"A164.tif"根据切线*质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为eq\r(3)r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝eq\f(1,3)π·(eq\r(3)r)2·3r－eq\f(4,3)πr3＝eq\f(5,3)πr3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为eq\f(\r(3),3)h，从而容器内水的体积是V′＝eq\f(1,3)π·(eq\f(\r(3),3)h)2·h＝eq\f(1,9)πh3，由V＝V′，得h＝eq\r(3,15)r.即容器中水的深度为eq\r(3,15)r.13．解　设正方体的棱长为a.如图所示．(1)中正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有2r1＝a，r1＝eq\f(a,2)，所以S1＝4πreq\o\al(2,1)＝πa2.INCLUDEPICTURE"A165A.tif"(2)中球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，2r2＝eq\r(2)a，r2＝eq\f(\r(2),2)a，所以S2＝4πreq\o\al(2,2)＝2πa2.(3)中正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r3＝eq\r(3)a，r3＝eq\f(\r(3),2)a，所以S3＝4πreq\o\al(2,3)＝3πa2.综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.