高中_数学_数学必修_必修五_高中数学人教A版必修5学业分层测试含*_高中数学人教A版必修五第二章数列学业分层测评7含*

.ks5u.学业分层测评（七）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知数列{an}满足：a1＝－eq\f(1,4)，an＝1－eq\f(1,an－1)(n>1)，则a4等于(　　)A.eq\f(4,5)　　　B.eq\f(1,4)　　　C．－eq\f(1,4)　　　D.eq\f(1,5)【解析】　a2＝1－eq\f(1,a1)＝5，a3＝1－eq\f(1,a2)＝eq\f(4,5)，a4＝1－eq\f(1,a3)＝－eq\f(1,4).【*】　C2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是(　　)A．an＋1＝an＋n，n∈N*B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2【解析】　由a2－a1＝3－1＝2，a3－a2＝6－3＝3，a4－a3＝10－6＝4，a5－a4＝15－10＝5，归纳猜想得an－an－1＝n(n≥2)，所以an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2.【*】　B3．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是(　　)A.eq\f(16,3)B.eq\f(13,3)C．4D．0【解析】　∵an＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))2＋eq\f(3,4)，由二次函数*质得，当n＝2或3时，an最大，最大为0.【*】　D4．在数列{an}中，a1＝2，an＋1－an－3＝0，则{an}的通项公式为(　　)A．an＝3n＋2B．an＝3n－2C．an＝3n－1D．an＝3n＋1【解析】　因为a1＝2，an＋1－an－3＝0，所以an－an－1＝3，an－1－an－2＝3，an－2－an－3＝3，…a2－a1＝3，以上各式相加，则有an－a1＝(n－1)×3，所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1.【*】　C5．已知在数列{an}中，a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2016＝(　　)A．3B．－3C．6D．－6【解析】　由题意知：a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝－3，a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6，a9＝a8－a7＝3，a10＝a9－a8＝－3，…故知{an}是周期为6的数列，∴a2016＝a6＝－3.【*】　B二、填空题6．数列{an}中，若an＋1－an－n＝0，则a2016－a2015＝.【解析】　由已知a2016－a2015－2015＝0，∴a2016－a2015＝2015.【*】　20157．数列{an}满足an＝4an－1＋3，且a1＝0，则此数列的第5项是．【解析】　因为an＝4an－1＋3，所以a2＝4×0＋3＝3，a3＝4×3＋3＝15，a4＝4×15＋3＝63，a5＝4×63＋3＝255.【*】　2558．数列{an}满足：a1＝6，a1＋a2＋a3＋…＋an＝eq\f(3,2)an－3，那么这个数列的通项公式为．【解析】　由a1＋a2＋a3＋…＋an＝eq\f(3,2)an－3，得a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝eq\f(3,2)an－1－3(n≥2)，两式作差得3an－1＝an(n≥2)，∴an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)＝6·3n－1＝2·3n(n≥2)．∵a1＝6也适合上式，∴an＝2·3n(n∈N*)(n∈N*)．【*】　an＝2·3n(n∈N*)三、解答题9．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq\f(3an,an＋3)(n∈N*)，求通项an.【解】　将an＋1＝eq\f(3an,an＋3)两边同时取倒数得：eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋3,3an)，则eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋eq\f(1,3)，即eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(1,a2)－eq\f(1,a1)＝eq\f(1,3)，eq\f(1,a3)－eq\f(1,a2)＝eq\f(1,3)，…，eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,3)，把以上这(n－1)个式子累加，得eq\f(1,an)－eq\f(1,a1)＝eq\f(n－1,3).∵a1＝1，∴an＝eq\f(3,n＋2)(n∈N*)．10．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))n，试求数列{an}的最大项.【导学号：05920065】【解】　假设第n项an为最大项，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＋2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))n≥n＋1·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))n－1，,n＋2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))n≥n＋3·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))n＋1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n≤5，,n≥4，))即4≤n≤5，所以n＝4或5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝eq\f(65,74).[能力提升]1．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于(　　)A．－165B．－33C．－30D．－21【解析】　由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6，∴a1＝－3.∴a10＝2a5＝2(a2＋a3)＝2a2＋2(a1＋a2)＝4a2＋2a1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30.【*】　C2．(2015·吉林高二期末)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)，x≤\f(1,2)，,2x－1，\f(1,2)<x<1，,x－1，x≥1，))若数列{an}满足a1＝eq\f(7,3)，an＋1＝f(an)，n∈N*，则a2014＋a2015等于(　　)A．4B.eq\f(3,2)C.eq\f(7,6)D．eq\f(11,6)【解析】　a2＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)))＝eq\f(7,3)－1＝eq\f(4,3)；a3＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))＝eq\f(4,3)－1＝eq\f(1,3)；a4＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,6)；a5＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))＝2×eq\f(5,6)－1＝eq\f(2,3)；a6＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝2×eq\f(2,3)－1＝eq\f(1,3)；…∴从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列．∴a2014＋a2015＝a4＋a5＝eq\f(3,2).故选B.【*】　B3．(2015·龙山高二检测)我们可以利用数列{an}的递推公式an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n，n为奇数时，,a\f(n,2)，n为偶数时))(n∈N*)求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第项．【解析】　由题意可知，a5＝a10＝a20＝a40＝a80＝a160＝a320＝a640＝…＝5.故第8个5是该数列的第640项．【*】　6404．已知数列{an}，满足a1＝1，an＝an－1＋eq\f(1,nn－1)(n≥2)，求数列的通项公式．【解】　法一　由an－an－1＝eq\f(1,nn－1)＝eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)(n≥2)，则an－1－an－2＝eq\f(1,n－2)－eq\f(1,n－1)，…a3－a2＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)，a2－a1＝1－eq\f(1,2).将上式相加得an－a1＝1－eq\f(1,n)(n≥2)，又a1＝1，∴an＝2－eq\f(1,n).a1＝1也适合，∴an＝2－eq\f(1,n)(n∈N*)．法二　由已知得an－an－1＝eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)(n≥2)，则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)＋eq\f(1,n－2)－eq\f(1,n－1)＋eq\f(1,n－3)－eq\f(1,n－2)＋…＋1－eq\f(1,2)＋1＝2－eq\f(1,n)(n≥2)．a1＝1也适合，∴an＝2－eq\f(1,n)(n∈N*).