高中_数学_数学必修_必修五_（人教版）高中数学必修5全册精品配套练习（，含*）_高中数学（人教版必修5）配套练习：1.1正弦定理和余弦定理第2课时

.ks5u.第一章　1.1　第2课时一、选择题1．在△ABC中，a＝3，b＝eq\r(7)，c＝2，那么B等于(　　)A．30°B．45°C．60°D．120°[*]　C[解析]　cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(9＋4－7,12)＝eq\f(1,2)，∴B＝60°.2．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则边c等于(　　)A．eq\r(3)B．eq\r(2)C．3D．4[*]　A[解析]　由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×1×2×cos60°＝1＋4－2×1×2×eq\f(1,2)＝3，∴c＝eq\r(3).3．在△ABC中，若a<b<c，且c2<a2＋b2，则△ABC为(　　)A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不存在[*]　B[解析]　∵c2<a2＋b2，∴∠C为锐角．∵a<b<c，∴∠C为最大角，∴△ABC为锐角三角形．4．(2013·天津理，6)在△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,4)，AB＝eq\r(2)，BC＝3，则sin∠BAC＝(　　)A．eq\f(\r(10),10)B．eq\f(\r(10),5)C．eq\f(3\r(10),10)　D．eq\f(\r(5),5)[*]　C[解析]　本题考查了余弦定理、正弦定理．由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC·coseq\f(π,4)＝2＋9－2×eq\r(2)×3×eq\f(\r(2),2)＝5.∴AC＝eq\r(5).由正弦定理，得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sinA)，∴sinA＝eq\f(BCsinB,AC)＝eq\f(3×\f(\r(2),2),\r(5))＝eq\f(3\r(10),10).5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，则角B的值为(　　)A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)　D．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)[*]　D[解析]　依题意得，eq\f(a2＋c2－b2,2ac)·tanB＝eq\f(\r(3),2)，∴sinB＝eq\f(\r(3),2)，∴B＝eq\f(π,3)或B＝eq\f(2π,3)，选D．6．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(　　)A．eq\f(5,18)B．eq\f(3,4)C．eq\f(\r(3),2)　D．eq\f(7,8)INCLUDEPICTURE"F43.TIF"\*MERGEFORMAT[*]　D[解析]　设等腰三角形的底边边长为x，则两腰长为2x(如图)，由余弦定理得cosA＝eq\f(4x2＋4x2－x2,2·2x·2x)＝eq\f(7,8)，故选D．二、填空题7．以4、5、6为边长的三角形一定是________三角形．(填：锐角、直角、钝角)[*]　锐角[解析]　由题意可知长为6的边所对的内角最大，设这个最大角为α，则cosα＝eq\f(16＋25－36,2×4×5)＝eq\f(1,8)>0，因此0°<α<90°.故填锐角．8．在△ABC中，若a＝5，b＝3，C＝120°，则sinA＝________.[*]　eq\f(5\r(3),14)[解析]　∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋32－2×5×3×cos120°＝49，∴c＝7.故由eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得sinA＝eq\f(asinC,c)＝eq\f(5\r(3),14).三、解答题9．在△ABC中，已知sinC＝eq\f(1,2)，a＝2eq\r(3)，b＝2，求边C．[解析]　∵sinC＝eq\f(1,2)，且0<C<π，∴C为eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).当C＝eq\f(π,6)时，cosC＝eq\f(\r(3),2)，此时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝4，即c＝2.当C＝eq\f(5π,6)时，cosC＝－eq\f(\r(3),2)，此时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝28，即c＝2eq\r(7).10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC．(1)求角A的大小；(2)若a＝eq\r(7)，b＋c＝4，求bc的值．[解析]　(1)根据正弦定理2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC可化为2cosAsinB＝sinCcosA＋sinAcosC＝sin(A＋C)＝sinB，∵sinB≠0，∴cosA＝eq\f(1,2)，∵0°<A<180°，∴A＝60°.(2)由余弦定理，得7＝a2＝b2＋c2－2bc·cos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，把b＋c＝4代入得bc＝3.一、选择题1．在△ABC中，若AB＝eq\r(3)－1，BC＝eq\r(3)＋1，AC＝eq\r(6)，则B的度数为(　　)A．30°B．45°C．60°D．120°[*]　C[解析]　∵cosB＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(\r(3)－12＋\r(3)＋12－\r(6)2,2\r(3)－1\r(3)＋1)＝eq\f(1,2)，∴B＝60°.2．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，BC＝eq\r(10)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于(　　)A．－eq\f(3,2)B．－eq\f(2,3)C．eq\f(2,3)　D．eq\f(3,2)[*]　D[解析]　∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·cos<eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))>，由向量模的定义和余弦定理可以得出|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，cos<eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))>＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(1,4).故eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3×2×eq\f(1,4)＝eq\f(3,2).3．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝eq\r(13)，AC＝4，则边AC上的高为(　　)A．eq\f(3\r(2),2)B．eq\f(3\r(3),2)C．eq\f(3,2)D．3eq\r(3)[*]　B[解析]　如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，且AB＝3，BC＝eq\r(13)，AC＝4.∵cosA＝eq\f(32＋42－\r(13)2,2×3×4)＝eq\f(1,2)，INCLUDEPICTURE"WY5.TIF"\*MERGEFORMAT∴sinA＝eq\f(\r(3),2).故BD＝AB·sinA＝3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).4．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则C的大小为(　　)A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,2)　D．eq\f(2π,3)[*]　B[解析]　∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即a2＋b2－c2＝ab.由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(ab,2ab)＝eq\f(1,2)，∵0<C<π，∴C＝eq\f(π,3).二、填空题5．在△ABC中，已知sinAsinBsinC＝456，则cosAcosBcosC＝________.[*]　1292[解析]　由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得abc＝sinAsinBsinC＝456，令a＝4k，b＝5k，c＝6k(k>0)，由余弦定理得cosA＝eq\f(25k2＋36k2－16k2,2×5k×6k)＝eq\f(3,4)，同理可得cosB＝eq\f(9,16)，cosC＝eq\f(1,8)，故cosAcosBcosC＝eq\f(3,4)eq\f(9,16)eq\f(1,8)＝1292.6．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又最大角的正弦等于eq\f(\r(3),2)，则三边长为__________．[*]　3,5,7[解析]　∵a－b＝2，b－c＝2，∴a>b>c，∴最大角为A．sinA＝eq\f(\r(3),2)，∴cosA＝±eq\f(1,2)，设c＝x，则b＝x＋2，a＝x＋4，∴eq\f(x2＋x＋22－x＋42,2xx＋2)＝±eq\f(1,2)，∵x>0，∴x＝3，故三边长为3,5,7.三、解答题7．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝2，c＝3，cosB＝eq\f(1,4).(1)求边b的值；(2)求sinC的值．[解析]　(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋9－2×2×3×eq\f(1,4)＝10，∴b＝eq\r(10).(2)∵cosB＝eq\f(1,4)，∴sinB＝eq\f(\r(15),4).由正弦定理，得sinC＝eq\f(csinB,b)＝eq\f(3×\f(\r(15),4),\r(10))＝eq\f(3\r(6),8).8．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝eq\f(7,9).(1)求a、c的值；(2)求sin(A－B)的值．[解析]　(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，又已知a＋c＝6，b＝2，cosB＝eq\f(7,9)，∴ac＝9.由a＋c＝6，ac＝9，解得a＝3，c＝3.(2)在△ABC中，∵cosB＝eq\f(7,9)，∴sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(4\r(2),9).由正弦定理，得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(2\r(2),3)，∵a＝c，∴A为锐角，∴cosA＝eq\r(1－sin2A)＝eq\f(1,3).∴sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝eq\f(10\r(2),27).