高中_数学_数学必修_必修四_高中人教A版数学必修4含解析_高中人教A版数学必修4：第16课时三角函数模型的简单应用含解析

第16课时　三角函数模型的简单应用INCLUDEPICTURE"语言.EPS"　　　　　　课时目标1.能运用三角函数模型解决一些具有周期*变化规律的问题．2．能解决一些简单的与三角函数有关的物理问题和实际问题．INCLUDEPICTURE"预习.EPS"　　识记强化　三角函数模型应用的四个问题是：(1)根据图象建立解析式；(2)根据解析式画图象；(3)将实际问题转化为与三角函数有关的简单函数模型；(4)利用收集到的相关数据作散点图进行函数拟合，从而得到三角函数模型．INCLUDEPICTURE"预习.EPS"　　课时作业一、选择题1．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin(160πt)＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为(　　)A．60　　　B．70　　　C．80　　　D．90*：C解析：由于ω＝160π，故函数的周期T＝eq\f(2π,160π)＝eq\f(1,80)，所以f＝eq\f(1,T)＝80，即每分钟心跳的次数为80.故选C.2．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离Scm和时间ts的函数关系为S＝8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,3)))，那么单摆来回摆动一次所需的时间为(　　)A．2πsB．πsC．0.5sD．1s*：D解析：因为ω＝2π，所以T＝eq\f(2π,ω)＝1.3．水平地面上发*的**，初速度大小为v0，发*角为θ，重力加速度为g，则**上升的高度y与飞行时间t之间的关系式为(　　)A．y＝v0tB．y＝v0sinθt－eq\f(1,2)gt2C．y＝v0sinθtD．y＝v0cosθt*：B解析：竖直方向的分速度v0sinθ，由竖直上抛运动的位移公式y＝v0sinθt－eq\f(1,2)gt2，故选B.4．单位圆上有两个动点M、N，同时从P(1,0)点出发，沿圆周转动，M点按逆时针方向转，速度为eq\f(π,6)rad/s，N点按顺时针方向转，速度为eq\f(π,3)rad/s，则它们出发后第三次相遇时各自走过的弧度数分别为(　　)A．π，2πB．π，4πC．2π，4πD．4π，8π*：C解析：设M、N两点走过的弧长分别为l1和l2，自出发至第三次相遇，经过t秒，则l1＝eq\f(π,6)t，l2＝eq\f(π,3)t.∴eq\f(π,6)t＋eq\f(π,3)t＝6π，∴t＝12，∴l1＝2π，l2＝4π.5．如图为2015年某市某天中6h至14h的温度变化曲线，其近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋bA>0，ω>0，eq\f(π,2)<φ<π的半个周期的图象，则该天8h的温度大约为(　　)INCLUDEPICTURE"合12.tif"A．16℃B．15℃C．14℃D．13℃*：D解析：由题意得A＝eq\f(1,2)×(30－10)＝10，b＝eq\f(1,2)×(30＋10)＝20.∵2×(14－6)＝16，∴eq\f(2π,ω)＝16，∴ω＝eq\f(π,8)，∴y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋φ))＋20，将x＝6，y＝10代入得10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)×6＋φ))＋20＝10，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋φ))＝－1，由于eq\f(π,2)<φ<π，可得φ＝eq\f(3π,4)，∴y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(3π,4)))＋20，x∈[6,14]．当x＝8时，y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)×8＋\f(3,4)π))＋20＝20－5eq\r(2)≈13，即该天8h的温度大约为13℃，故选D.6．一根长l厘米的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(厘米)和时间t(秒)的函数关系是：s＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(g,l))t＋\f(π,3))).已知g＝980厘米/秒，要使小球摆动的周期是1秒，线的长度应当是(　　)A.eq\f(980,π)cmB.eq\f(245,π)cmC.eq\f(245,π2)cmD.eq\f(980,π2)cm*：C解析：由周期T＝eq\f(2π,ω)＝2πeq\b\lc\/\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(\f(g,l))))＝2πeq\r(\f(l,g))，所以小球的摆动周期T＝2πeq\r(\f(l,g)).由l＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,2π)))2，代入π＝3.14，g＝980，T＝1，得l＝980eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2π)))2＝eq\f(245,π2)cm.二、填空题7．电流I(mA)随时间t(s)变化的函数关系是I＝3sin100πt＋eq\f(π,3)，则电流I变化的最小正周期、频率和振幅分别为______，______，______.*：eq\f(1,50)　50　3解析：最小正周期T＝eq\f(2π,100π)＝eq\f(1,50)；频率f＝eq\f(1,T)＝50；振幅A＝3.8．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋Beq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(,A>0，ω>0,)))，eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))的模型波动(x为月份)．已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元．根据以上条件可确定f(x)的解析式为________．*：f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x－\f(π,4)))＋7(1≤x≤12，x∈N*)解析：由题意，可得A＝eq\f(9－5,2)＝2，B＝7，周期T＝eq\f(2π,ω)＝2×(7－3)＝8，∴ω＝eq\f(π,4).∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋φ))＋7.∵当x＝3时，y＝9，∴2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋φ))＋7＝9.即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋φ))＝1.∵|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝－eq\f(π,4).∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x－\f(π,4)))＋7(1≤x≤12，x∈N*)．INCLUDEPICTURE"添图3.tif"9．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h，则h与θ间的函数关系式为______________________．*：h＝5.6＋4.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))解析：INCLUDEPICTURE"添图4.tif"以O为原点建立坐标系，如右图，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－eq\f(π,2)，故点B的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4.8cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))，4.8sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2))))).∴h＝5.6＋4.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2))).三、解答题10．交流电的电压E(单位：V)随时间t(单位：s)变化的关系式是E＝220eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,6)))，t∈[0，＋∞)．(1)求开始时(t＝0)的电压；(2)求电压的最大值和首次达到最大值的时间；(3)求电压的最大值重复出现一次的时间间隔．解：(1)当t＝0时，E＝220eq\r(3)×sineq\f(π,6)＝110eq\r(3)，即开始时的电压为110eq\r(3)V.(2)电压的最大值为220eq\r(3)V.当100πt＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)时，t＝eq\f(1,300)，即电压首次达到最大值的时间为eq\f(1,300)s.(3)T＝eq\f(2π,100π)＝eq\f(1,50)，即电压的最大值重复出现一次的时间间隔为eq\f(1,50)s.11．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝Asin(ωt＋φ)A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2).(1)若I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；INCLUDEPICTURE"合13.tif"(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)中的t在任意一个eq\f(1,100)s的时间段内电流强度I能取得最大值与最小值，那么正整数ω的最小值是多少？解：(1)由图，可知A＝300.设t0＝－eq\f(1,300)，t1＝eq\f(1,150)，t2＝eq\f(1,60).∵T＝t2－t0＝eq\f(1,60)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,300)))＝eq\f(1,50)，∴ω＝eq\f(2π,T)＝100π，∴I＝300sin(100πt＋φ)．将eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,300)，0))代入解析式，得－eq\f(π,3)＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z.∵|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,3)，∴I＝300sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,3))).(2)由题意，知eq\f(2π,ω)≤eq\f(1,100)，∴ω≥200π，∴正整数ω的最小值为629.INCLUDEPICTURE"预习.EPS"　　能力提升12．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧false的长为l，弦AB的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　)INCLUDEPICTURE"境80.EPS"*：C解析：令false所对的圆心角为θ，由|OA|＝1，得l＝θ.又∵sineq\f(θ,2)＝eq\f(d,2)，∴d＝2sineq\f(θ,2)＝2sineq\f(l,2).∴d＝f(l)＝2sineq\f(l,2)(0≤l≤2π)，它的图象为C.13．节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB＝30km，BC＝15km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上(含边界)，且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO.设∠BAO＝x(弧度)，排污管道的总长度为ykm.INCLUDEPICTURE"新新1.tif"(1)将y表示为x的函数；(2)试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数(精确到0.01km)．分析：(1)直接由已知条件求出AO、BO、OP的长度，即可得到所求函数关系式；(2)记p＝eq\f(2－sinx,cosx)，则sinx＋pcosx＝2，求出p的范围，即可得出结论．解：(1)由已知得y＝2×eq\f(15,cosx)＋15－15tanx，即y＝15＋15×eq\f(2－sinx,cosx)(其中0≤x≤eq\f(π,4))(2)记p＝eq\f(2－sinx,cosx)，则sinx＋pcosx＝2，则有eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(1＋p2))))≤1，解得p≥eq\r(3)或p≤－eq\r(3)由于y>0，所以，当x＝eq\f(π,6)，即点O在CD中垂线上离点P距离为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(15\r(3),3)))km处，y取得最小值15＋15eq\r(3)≈40.98km.