高中_数学_数学必修_必修四_高中数学人教A版必修4课时达标检测含解析_高中数学人教A版必修4课时达标检测（二十二）平面向量数量积的物理背景及其含义含解析

.ks5u.课时达标检测（二十二）平面向量数量积的物理背景及其含义一、选择题1．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为(　　)A．30°　　　　　　　　B．60°C．120°D．150°*：C2．在四边形ABCD中，false＝false，且false·false＝0，则四边形ABCD是(　　)A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形*：B3．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，则|a－c|的最小值为(　　)A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4)D.eq\f(\r(3),2)*：D4．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足false＝2false，则false·(false＋false)等于(　　)A.eq\f(4,9)B.eq\f(4,3)C．－eq\f(4,3)D．－eq\f(4,9)*：A5.如图，在△ABC中，AD⊥AB，false＝eq\r(3)false，|false|＝1，则false·false等于(　　)A．2eq\r(3)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\r(3)*：D二、填空题6．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则false·false＝________.*：167．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝eq\r(7)，则a与b的夹角θ为________．*：eq\f(2π,3)8．已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则eq\f(|a|,|b|)＝________.*：eq\f(2\r(3),3)三、解答题9．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)；(4)|a＋b|.解：(1)a·b＝|a||b|cos120°＝2×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－3；(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5；(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a|·|b|cos120°－3|b|2＝8－15－27＝－34；(4)|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(4－6＋9)＝eq\r(7).10．已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a＋b|＝eq\r(3)|a－b|成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在满足条件的θ，∵|a＋b|＝eq\r(3)|a－b|，∴(a＋b)2＝3(a－b)2.∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝3(|a|2－2a·b＋|b|2)．∴|a|2－4a·b＋|b|2＝0.∴|a|2－4|a||b|cosθ＋|b|2＝0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosθ>0，,Δ＝4|b|cosθ2－4|b|2≥0，))解得cosθ∈[eq\f(1,2)，1]．又∵θ∈[0，π]，∴θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))).故当θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))时，|a＋b|＝eq\r(3)|a－b|成立．INCLUDEPICTURE"能力提升*.TIF"\*MERGEFORMAT11．已知|a|＝1，a·b＝eq\f(1,4)，(a＋b)·(a－b)＝eq\f(1,2).(1)求|b|的值；(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．解：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝eq\f(1,2).∵|a|＝1，∴1－|b|2＝eq\f(1,2)，∴|b|＝eq\f(\r(2),2).(2)∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝2，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝1，∴|a＋b|＝eq\r(2)，|a－b|＝1.令a＋b与a－b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a＋b·a－b,|a＋b||a－b|)＝eq\f(\f(1,2),\r(2)×1)＝eq\f(\r(2),4)，即向量a－b与a＋b夹角的余弦值是eq\f(\r(2),4).