高中_数学_数学选修_选修1-1_高中数学人教A版选修1-1学业分层测评含*_高中数学人教A版选修1-1第二章圆锥曲线与方程学业分层测评10含*

.ks5u.学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的渐近线方程是(　　)A．4x±3y＝0　　　　　　B．16x±9y＝0C．3x±4y＝0D．9x±16y＝0【解析】　由题意知，双曲线焦点在x轴上，且a＝3，b＝4，∴渐近线方程为y＝±eq\f(4,3)x，即4x±3y＝0.【*】　A2．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是(　　)A．x2－y2＝8B．x2－y2＝4C．y2－x2＝8D．y2－x2＝4【解析】　令y＝0，得x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，∴c＝4，a2＝b2＝eq\f(1,2)c2＝eq\f(1,2)×16＝8，故选A.【*】　A3．设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2eq\r(3)，则双曲线的渐近线方程为(　　)A．y＝±eq\r(2)xB．y＝±2xC．y＝±eq\f(\r(2),2)xD．y＝±eq\f(1,2)x【解析】　由已知，得b＝1，c＝eq\r(3)，a＝eq\r(c2－b2)＝eq\r(2).因为双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(\r(2),2)x.【*】　C4．(2014·全国卷Ⅰ)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　)A．2B.eq\f(\r(6),2)C.eq\f(\r(5),2)D．1【解析】　由题意得e＝eq\f(\r(a2＋3),a)＝2，∴eq\r(a2＋3)＝2a，∴a2＋3＝4a2，∴a2＝1，∴a＝1.【*】　D5．与曲线eq\f(x2,24)＋eq\f(y2,49)＝1共焦点，且与曲线eq\f(x2,36)－eq\f(y2,64)＝1共渐近线的双曲线的方程为(　　)A.eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1B.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1D.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1【解析】　根据椭圆方程可知焦点为(0，－5)，(0,5)．设所求双曲线方程为eq\f(x2,36)－eq\f(y2,64)＝λ(λ＜0)，即eq\f(y2,－64λ)－eq\f(x2,－36λ)＝1.由－64λ＋(－36λ)＝25，得λ＝－eq\f(1,4).故所求双曲线的方程为eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1.【*】　A二、填空题6．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．【解析】　由三角形相似或平行线分线段成比例定理得eq\f(2,6)＝eq\f(a,c)，∴eq\f(c,a)＝3，即e＝3.【*】　37．直线eq\r(3)x－y＋eq\r(3)＝0被双曲线x2－y2＝1截得的弦AB的长是________．【解析】　联立消去y，得x2＋3x＋2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－3，x1x2＝2，∴|AB|＝eq\r(1＋\r(3)2)·eq\r(－32－4×2)＝2.【*】　28．若直线x＝2与双曲线x2－eq\f(y2,b2)＝1(b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B，且△AOB的面积为8，则焦距为________.【导学号：26160051】【解析】　由双曲线为x2－eq\f(y2,b2)＝1得渐近线为y＝±bx，则交点A(2,2b)，B(2，－2b)．∵S△AOB＝eq\f(1,2)×2×4b＝8，∴b＝2.又a2＝1，∴c2＝a2＋b2＝5.∴焦距2c＝2eq\r(5).【*】　2eq\r(5)三、解答题9．已知双曲线C的方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，离心率e＝eq\f(\r(5),2)，顶点到渐近线的距离为eq\f(2\r(5),5)，求双曲线C的方程．【解】　依题意，双曲线的焦点在y轴上，顶点坐标为(0，a)，渐近线方程为y＝±eq\f(a,b)x，即ax±by＝0，所以eq\f(ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(ab,c)＝eq\f(2\r(5),5).又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),2)，所以b＝1，即c2－a2＝1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)a))2－a2＝1，解得a2＝4，故双曲线方程为eq\f(y2,4)－x2＝1.10．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在点P，使|PF1|＝2|PF2|，试确定双曲线离心率的取值范围．【解】　由题意知在双曲线上存在一点P，使得|PF1|＝2|PF2|，如图所示．INCLUDEPICTURE"XTX16222.TIF"\*MERGEFORMAT又∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2a，即在双曲线右支上恒存在点P，使得|PF2|＝2a，即|AF2|≤2a.∴|OF2|－|OA|＝c－a≤2a，∴c≤3a.又∵c＞a，∴a＜c≤3a，∴1＜eq\f(c,a)≤3，即1＜e≤3.[能力提升]1．双曲线eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,k)＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是(　　)A．(－10,0)　　　　　　B．(－12,0)C．(－3,0)D．(－60，－12)【解析】　双曲线方程化为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,－k)＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(4－k),2)，又∵e∈(1,2)，∴1<eq\f(\r(4－k),2)<2，解得－12<k<0.【*】　B2．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)A.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1D.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1【解析】　设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)－\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),a2)－\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，))两式作差得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(b2x1＋x2,a2y1＋y1)＝eq\f(－12b2,－15a2)＝eq\f(4b2,5a2)，又AB的斜率是eq\f(－15－0,－12－3)＝1，所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1.【*】　B3．已知双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的最小值为________．【解析】　由题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x≥1)，则eq\o(PA1,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)，eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，∴eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2－x－2＋y2，由双曲线方程得y2＝3x2－3，代入上式得eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝4x2－x－5＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,8)))2－eq\f(81,16)，又x≥1，所以当x＝1时，eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))取得最小值，且最小值为－2.【*】　－24．(2016·荆州高二检测)双曲线C的中点在原点，右焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\r(3)，0))，渐近线方程为y＝±eq\r(3)x.(1)求双曲线C的方程；【导学号：26160052】(2)设直线L：y＝kx＋1与双曲线交于A，B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点？【解】　(1)设双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，由焦点坐标得c＝eq\f(2,3)eq\r(3)，渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(3)x，结合c2＝a2＋b2得a2＝eq\f(1,3)，b2＝1，所以双曲线C的方程为eq\f(x2,\f(1,3))－y2＝1，即3x2－y2＝1.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,3x2－y2＝1，))得(3－k2)x2－2kx－2＝0，由Δ>0，且3－k2≠0，得－eq\r(6)<k<eq\r(6)，且k≠±eq\r(3).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0.又x1＋x2＝eq\f(－2k,k2－3)，x1x2＝eq\f(2,k2－3)，所以y1y2＝(kx1＋1)·(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝1，所以eq\f(2,k2－3)＋1＝0，解得k＝±1.