高中_数学_数学选修_选修1-1_高中数学人教A版选修1-1学业分层测评含*_高中数学人教A版选修1-1第二章圆锥曲线与方程学业分层测评8含*

.ks5u.学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．点A(a,1)在椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1的内部，则a的取值范围是(　　)A．－eq\r(2)＜a＜eq\r(2)　　　　　B．a＜－eq\r(2)或a＞eq\r(2)C．－2＜a＜2D．－1＜a＜1【解析】　∵点A(a,1)在椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1内部，∴eq\f(a2,4)＋eq\f(1,2)＜1.∴eq\f(a2,4)＜eq\f(1,2).则a2＜2，∴－eq\r(2)＜a＜eq\r(2).【*】　A2．已知直线y＝kx＋1和椭圆x2＋2y2＝1有公共点，则k的取值范围是(　　)A．k＜－eq\f(\r(2),2)或k＞eq\f(\r(2),2)B．－eq\f(\r(2),2)＜k＜eq\f(\r(2),2)C．k≤－eq\f(\r(2),2)或k≥eq\f(\r(2),2)D．－eq\f(\r(2),2)≤k≤eq\f(\r(2),2)【解析】　由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＋2y2＝1，))得(2k2＋1)x2＋4kx＋1＝0.∵直线与椭圆有公共点．∴Δ＝16k2－4(2k2＋1)≥0，则k≥eq\f(\r(2),2)或k≤－eq\f(\r(2),2).【*】　C3．(2016·重庆高二检测)过椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的一个焦点F作垂直于长轴的弦，则此弦长为(　　)A.eq\f(3,4)B．3C．2eq\r(3)D.eq\f(8\r(3),3)【解析】　因为F(±1,0)，所以过椭圆的焦点F且垂直于长轴的弦与椭圆的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±1，±\f(3,2)))，所以弦长为3.【*】　B4．直线y＝x＋1被椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1所截得线段的中点的坐标是(　　)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(5,3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(7,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(1,3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,2)，－\f(17,2)))【解析】　联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))消去y，得3x2＋4x－2＝0.设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)．∴x1＋x2＝－eq\f(4,3)，x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(2,3)，y0＝x0＋1＝eq\f(1,3)，∴中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(1,3))).【*】　C5．经过椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点，O为坐标原点，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(　　)【导学号：26160041】A．－3B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)或－3D．±eq\f(1,3)【解析】　椭圆右焦点为(1,0)，设l：y＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝x－1代入eq\f(x2,2)＋y2＝1，得3x2－4x＝0.∴A(0，－1)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(1,3)))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3).【*】　B二、填空题6．直线l过定点A(－3,0)，则过点A的直线与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的交点个数为________．【解析】　∵A(－3,0)为椭圆长轴一个顶点，∴当过点A作椭圆切线时，直线与椭圆有一个公共点(即切点)；当过点A作与椭圆相交的直线时，二者有两个交点，故填1或2.【*】　1或27．已知动点P(x，y)在椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上，若A点坐标为(3,0)，|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝1，且Peq\o(M,\s\up6(→))·Aeq\o(M,\s\up6(→))＝0，则|Peq\o(M,\s\up6(→))|的最小值是________．【解析】　易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．∵Peq\o(M,\s\up6(→))·Aeq\o(M,\s\up6(→))＝0，∴Aeq\o(M,\s\up6(→))⊥Peq\o(M,\s\up6(→)).∴|Peq\o(M,\s\up6(→))|2＝|Aeq\o(P,\s\up6(→))|2－|Aeq\o(M,\s\up6(→))|2＝|Aeq\o(P,\s\up6(→))|2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故|Aeq\o(P,\s\up6(→))|min＝2，∴|Peq\o(M,\s\up6(→))|min＝eq\r(3).【*】　eq\r(3)8．过椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．【解析】　由题意知，右焦点坐标为(1,0)，直线的方程为y＝2(x－1)，将其与eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1联立，消去y，得3x2－5x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(5,3)，x1x2＝0，所以|AB|＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\r(1＋22)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))2－4×0)＝eq\f(5\r(5),3).设原点到直线的距离为d，则d＝eq\f(|2|,\r(12＋22))＝eq\f(2,\r(5)).所以S△OAB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×eq\f(5\r(5),3)×eq\f(2,\r(5))＝eq\f(5,3).【*】　eq\f(5,3)三、解答题9．已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，直线l：y＝4x＋eq\f(1,2)，若椭圆上存在两点P、Q关于直线l对称，求直线PQ的方程．【解】　法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则kPQ＝－eq\f(1,4).设PQ所在直线方程为y＝－eq\f(x,4)＋b.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(x,4)＋b，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))消去y，得13x2－8bx＋16b2－48＝0.∴Δ＝(－8b)2－4×13×(16b2－48)＞0.解得b2＜eq\f(13,4)，x1＋x2＝eq\f(8b,13)，设PQ中点为M(x0，y0)，则有x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(4b,13)，y0＝－eq\f(1,4)·eq\f(4b,13)＋b＝eq\f(12b,13).∵点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4b,13)，\f(12b,13)))在直线y＝4x＋eq\f(1,2)上，∴eq\f(12b,13)＝4·eq\f(4b,13)＋eq\f(1,2)，∴b＝－eq\f(13,8).直线PQ的方程为y＝－eq\f(1,4)x－eq\f(13,8)，即2x＋8y＋13＝0.法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)是PQ的中点．则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x\o\al(2,1)＋4y\o\al(2,1)＝12，,3x\o\al(2,2)＋4y\o\al(2,2)＝12，))两式相减，得3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0.∵x1≠x2，x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，∴eq\f(3x0,4y0)＝－eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－kPQ.∵kPQ＝－eq\f(1,4)，∴y0＝3x0.代入直线y＝4x＋eq\f(1,2)，得x0＝－eq\f(1,2)，y0＝－eq\f(3,2)，则直线PQ的方程为y＋eq\f(3,2)＝－eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，即2x＋8y＋13＝0.10．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值．【解】　(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝eq\f(4,3).(2)直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝eq\r(1－b2).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋c，,x2＋\f(y2,b2)＝1，))化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.则由根与系数的关系，得x1＋x2＝eq\f(－2c,1＋b2)，x1x2＝eq\f(1－2b2,1＋b2).因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝eq\r(2)|x1－x2|，即eq\f(4,3)＝eq\r(2)|x1－x2|.所以(x1＋x2)2－4x1x2＝eq\f(8,9)，即eq\f(41－b2,1＋b22)－eq\f(41－2b2,1＋b2)＝eq\f(8b4,1＋b22)＝eq\f(8,9)，解得b2＝eq\f(1,2)或b2＝－eq\f(1,4)(舍去)，又b＞0，∴b＝eq\f(\r(2),2).[能力提升]1．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，A(－a,0)，B(0，b)为椭圆的两个顶点，若点F到AB的距离为eq\f(b,\r(7))，则椭圆的离心率为(　　)A.eq\f(7－\r(7),7)　　　　　　　　B.eq\f(7－2\r(7),7)C.eq\f(1,2)D.eq\f(4,5)【解析】　直线AB的方程是eq\f(x,－a)＋eq\f(y,b)＝1，即bx－ay＋ab＝0.因为点F的坐标为(－c,0)，所以eq\f(|－bc＋ab|,\r(a2＋b2))＝eq\f(b,\r(7))，化简，得8c2－14ac＋5a2＝0，两端同除以a2，得8e2－14e＋5＝0，解得e＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e＝\f(5,4)舍去)).【*】　C2．已知椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若Feq\o(A,\s\up6(→))＝3Feq\o(B,\s\up6(→))，则|Aeq\o(F,\s\up6(→))|＝(　　)A.eq\r(2)B．2C.eq\r(3)D．3【解析】　设点A(2，n)，B(x0，y0)．由椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，∴c2＝1，即c＝1，∴右焦点F(1,0)．由Feq\o(A,\s\up6(→))＝3Feq\o(B,\s\up6(→))，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.∴x0＝eq\f(4,3)，y0＝eq\f(1,3)n.将x0，y0代入eq\f(x2,2)＋y2＝1，得eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)n))2＝1.解得n2＝1，∴|Aeq\o(F,\s\up6(→))|＝eq\r(2－12＋n2)＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2).【*】　A3．若直线y＝kx＋1与曲线x＝eq\r(1－4y2)有两个不同的交点，则k的取值范围是________．【解析】　由x＝eq\r(1－4y2)，得x2＋4y2＝1(x≥0)，又∵直线y＝kx＋1过定点(0,1)，故问题转化为过定点(0,1)的直线与椭圆在y轴右侧的部分有两个公共点，当直线与椭圆(右侧部分)相切时，INCLUDEPICTURE"XTX16213.TIF"\*MERGEFORMATk＝－eq\f(\r(3),2)，则相交时k＜－eq\f(\r(3),2).【*】　eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),2)))4．设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，Aeq\o(F,\s\up6(→))＝2Feq\o(B,\s\up6(→)).(1)求椭圆C的离心率；【导学号：26160042】(2)如果|AB|＝eq\f(15,4)，求椭圆C的标准方程．【解】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1<0，y2>0.(1)直线l的方程为y＝eq\r(3)(x－c)，其中c＝eq\r(a2－b2).联立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－c，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消去x，得(3a2＋b2)y2＋2eq\r(3)b2cy－3b4＝0.解得y1＝eq\f(－\r(3)b2c＋2a,3a2＋b2)，y2＝eq\f(－\r(3)b2c－2a,3a2＋b2)因为Aeq\o(F,\s\up6(→))＝2Feq\o(B,\s\up6(→))，所以－y1＝2y2，即eq\f(\r(3)b2c＋2a,3a2＋b2)＝2·eq\f(－\r(3)b2c－2a,3a2＋b2)，得离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,3).(2)因为|AB|＝eq\r(1＋\f(1,3))|y2－y1|，所以eq\f(2,\r(3))·eq\f(4\r(3)ab2,3a2＋b2)＝eq\f(15,4).由eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)，得b＝eq\f(\r(5),3)a，所以eq\f(5,4)a＝eq\f(15,4)，所以a＝3，b＝eq\r(5).所以椭圆C的标准方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1.