高中_数学_数学选修_选修2-2_高中数学新人教版选修2-2课时作业含解析_高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章推理与*2.3数学归纳法含解析

【创新设计】20162017学年高中数学第二章推理与*2.3数学归纳法课时作业新人教版选修22明目标、知重点1．了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法*一些简单的数学命题．1．数学归纳法*一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)*当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，*当n＝k＋1时命题也成立．2．应用数学归纳法时特别注意：(1)用数学归纳法*的对象是与正整数n有关的命题．(2)在用数学归纳法*中，两个基本步骤缺一不可．(3)步骤②的*必须以“假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”为条件．情境导学]多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按一定间距排列成行，保*任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…，最后不论有多少块骨牌都能全部倒下．请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎样的原理？探究点一　数学归纳法的原理思考1　多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？答　(1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．所有的骨牌都倒下，条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础．思考2　对于数列{an}，已知a1＝1，an＋1＝eq\f(an,1＋an)，试写出a1，a2，a3，a4，并由此作出猜想．请问这个结论正确吗？怎样*？答　a1＝1，a2＝eq\f(1,2)，a3＝eq\f(1,3)，a4＝eq\f(1,4)，猜想an＝eq\f(1,n)(n∈N*)．以下为*过程：(1)当n＝1时，a1＝1＝eq\f(1,1)，所以结论成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝eq\f(1,k)，则当n＝k＋1时ak＋1＝eq\f(ak,1＋ak)(已知)＝eq\f(\f(1,k),1＋\f(1,k))(代入假设)＝eq\f(\f(1,k),\f(k＋1,k))(变形)＝eq\f(1,k＋1)(目标)即当n＝k＋1时，结论也成立．由(1)(2)可得，对任意的正整数n都有an＝eq\f(1,n)成立．思考3　你能否总结出上述*方法的一般模式？答　一般地，*一个与正整数n有关的命题P(n)，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)*当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，*当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述*方法叫做数学归纳法．思考4　用数学归纳法*1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，如采用下面的*法，对吗？若不对请改正．*：(1)n＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立．(2)假设n＝k时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2，则当n＝k＋1时，1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝eq\f(k＋1×[1＋2k＋1],2)＝(k＋1)2等式也成立．由(1)和(2)可知对任何n∈N*等式都成立．答　*方法不是数学归纳法，因为第二步*时，未用到归纳假设．从形式上看这种*法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为*n＝k＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式．探究点二　用数学归纳法*等式例1　用数学归纳法*12＋22＋…＋n2＝eq\f(nn＋12n＋1,6)(n∈N*)．*　(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝eq\f(1×1＋1×2×1＋1,6)＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即12＋22＋…＋k2＝eq\f(kk＋12k＋1,6)，那么，12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝eq\f(kk＋12k＋1,6)＋(k＋1)2＝eq\f(kk＋12k＋1＋6k＋12,6)＝eq\f(k＋12k2＋7k＋6,6)＝eq\f(k＋1k＋22k＋3,6)＝eq\f(k＋1[k＋1＋1][2k＋1＋1],6)，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．反思与感悟　(1)用数学归纳法*与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．跟踪训练1　求*：1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N*)．*　当n＝1时，左边＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，右边＝eq\f(1,2)，所以等式成立．假设n＝k(k∈N*)时，1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2k－1)－eq\f(1,2k)＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,2k)成立．那么当n＝k＋1时，1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2k－1)－eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1－1)－eq\f(1,2k＋1)＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2k＋1)＝eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,k＋1)－eq\f(1,2k＋1)]＝eq\f(1,k＋1＋1)＋eq\f(1,k＋1＋2)＋…＋eq\f(1,k＋1＋k)＋eq\f(1,2k＋1)，所以n＝k＋1时，等式也成立．综上所述，对于任何n∈N*，等式都成立．探究点三　用数学归纳法*数列问题例2　已知数列eq\f(1,1×4)，eq\f(1,4×7)，eq\f(1,7×10)，…，eq\f(1,3n－23n＋1)，…，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行*．解　S1＝eq\f(1,1×4)＝eq\f(1,4)；S2＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4×7)＝eq\f(2,7)；S3＝eq\f(2,7)＋eq\f(1,7×10)＝eq\f(3,10)；S4＝eq\f(3,10)＋eq\f(1,10×13)＝eq\f(4,13).可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1.于是可以猜想Sn＝eq\f(n,3n＋1).下面我们用数学归纳法*这个猜想．(1)当n＝1时，左边＝S1＝eq\f(1,4)，右边＝eq\f(n,3n＋1)＝eq\f(1,3×1＋1)＝eq\f(1,4)，猜想成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即eq\f(1,1×4)＋eq\f(1,4×7)＋eq\f(1,7×10)＋…＋eq\f(1,3k－23k＋1)＝eq\f(k,3k＋1)，那么，eq\f(1,1×4)＋eq\f(1,4×7)＋eq\f(1,7×10)＋…＋eq\f(1,3k－23k＋1)＋eq\f(1,[3k＋1－2][3k＋1＋1])＝eq\f(k,3k＋1)＋eq\f(1,3k＋13k＋4)＝eq\f(3k2＋4k＋1,3k＋13k＋4)＝eq\f(3k＋1k＋1,3k＋13k＋4)＝eq\f(k＋1,3k＋1＋1)，所以，当n＝k＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N*都成立．反思与感悟　归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予*，这就是“归纳——猜想——*”的基本思想．跟踪训练2　数列{an}满足Sn＝2n－an(Sn为数列{an}的前n项和)，先计算数列的前4项，再猜想an，并*．解　由a1＝2－a1，得a1＝1；由a1＋a2＝2×2－a2，得a2＝eq\f(3,2)；由a1＋a2＋a3＝2×3－a3，得a3＝eq\f(7,4)；由a1＋a2＋a3＋a4＝2×4－a4，得a4＝eq\f(15,8).猜想an＝eq\f(2n－1,2n－1).下面*猜想正确：(1)当n＝1时，由上面的计算可知猜想成立．(2)假设当n＝k时猜想成立，则有ak＝eq\f(2k－1,2k－1)，当n＝k＋1时，Sk＋ak＋1＝2(k＋1)－ak＋1，∴ak＋1＝eq\f(1,2)2(k＋1)－Sk]＝k＋1－eq\f(1,2)(2k－eq\f(2k－1,2k－1))＝eq\f(2k＋1－1,2k＋1－1)，所以，当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)和(2)可知，an＝eq\f(2n－1,2n－1)对任意正整数n都成立．1．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有(　　)A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法都不正确*　C解析　由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.2．用数学归纳法*“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝eq\f(1－a2n＋2,1－a)(a≠1)”．在验*n＝1时，左端计算所得项为(　　)A．1＋aB．1＋a＋a2C．1＋a＋a2＋a3D．1＋a＋a2＋a3＋a4*　C解析　将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.3．用数学归纳法*1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝eq\f(1－2k＋1,1－2)＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立．上述*的错误是________．*　未用归纳假设解析　本题在由n＝k成立，*n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．4．用数学归纳法*1＋eq\f(n,2)≤1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n)≤eq\f(1,2)＋n(n∈N*)*　(1)当n＝1时，左式＝1＋eq\f(1,2)，右式＝eq\f(1,2)＋1，所以eq\f(3,2)≤1＋eq\f(1,2)≤eq\f(3,2)，命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，即1＋eq\f(k,2)≤1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k)≤eq\f(1,2)＋k，则当n＝k＋1时，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)＋…＋eq\f(1,2k＋2k)>1＋eq\f(k,2)＋2k·eq\f(1,2k＋1)＝1＋eq\f(k＋1,2).又1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)＋…＋eq\f(1,2k＋2k)<eq\f(1,2)＋k＋2k·eq\f(1,2k)＝eq\f(1,2)＋(k＋1)，即当n＝k＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N*都成立．呈重点、现规律]在应用数学归纳法*题时应注意以下几点：(1)验*是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验*的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功*问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步*中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法*的核心环节，否则这样的*就不是数学归纳法*.一、基础过关1．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时，该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题成立，那么可推导出(　　)A．当n＝6时命题不成立B．当n＝6时命题成立C．当n＝4时命题不成立D．当n＝4时命题成立*　B2．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则(　　)A．该命题对于n>2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取值无关D．以上*都不对*　B解析　由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立．且n＝2，故对所有的正偶数都成立．3．在应用数学归纳法*凸n边形的对角线为eq\f(1,2)n(n－3)条时，第一步验*n等于(　　)A．1B．2C．3D．0*　C解析　因为是*凸n边形，所以应先验*三角形，故选C.4．若f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n＋1)(n∈N*)，则n＝1时f(n)是(　　)A．1B.eq\f(1,3)C．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)D．以上*均不正确*　C5．已知f(n)＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n2)，则(　　)A．f(n)*有n项，当n＝2时，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)B．f(n)*有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)C．f(n)*有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)D．f(n)*有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)*　D解析　观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，∴项数为n2－n＋1.6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝eq\f(an,3an＋1)(n∈N*)，依次计算a2，a3，a4，归纳推测出an的通项表达式为(　　)A.eq\f(2,4n－3)B.eq\f(2,6n－5)C.eq\f(2,4n＋3)D.eq\f(2,2n－1)*　B解析　a1＝2，a2＝eq\f(2,7)，a3＝eq\f(2,13)，a4＝eq\f(2,19)，…，可推测an＝eq\f(2,6n－5)，故选B.7．用数学归纳法*(1－eq\f(1,3))(1－eq\f(1,4))(1－eq\f(1,5))…(1－eq\f(1,n＋2))＝eq\f(2,n＋2)(n∈N*)．*　(1)当n＝1时，左边＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，右边＝eq\f(2,1＋2)＝eq\f(2,3)，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即(1－eq\f(1,3))(1－eq\f(1,4))(1－eq\f(1,5))…(1－eq\f(1,k＋2))＝eq\f(2,k＋2)，当n＝k＋1时，(1－eq\f(1,3))(1－eq\f(1,4))(1－eq\f(1,5))…(1－eq\f(1,k＋2))·(1－eq\f(1,k＋3))＝eq\f(2,k＋2)(1－eq\f(1,k＋3))＝eq\f(2k＋2,k＋2k＋3)＝eq\f(2,k＋3)＝eq\f(2,k＋1＋2)，所以当n＝k＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对于任意n∈N*等式都成立．二、能力提升8．用数学归纳法*等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从k到k＋1左端需要增乘的代数式为(　　)A．2k＋1B．2(2k＋1)C.eq\f(2k＋1,k＋1)D.eq\f(2k＋3,k＋1)*　B解析　n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)…(k＋1)＋(k－1)]·(k＋1)＋k]·(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·(2k＋1)·2，∴应增乘2(2k＋1)．9．已知f(n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,3n－1)(n∈N*)，则f(k＋1)＝________.*　f(k)＋eq\f(1,3k)＋eq\f(1,3k＋1)＋eq\f(1,3k＋2)－eq\f(1,k＋1)10．*：假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N*等式都成立．以上用数学归纳法*“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N*)”的过程中的错误为________．*　缺少步骤归纳奠基11．用数学归纳法*12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·eq\f(nn＋1,2).*　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝(－1)1－1×eq\f(1×2,2)＝1，结论成立．(2)假设当n＝k时，结论成立．即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·eq\f(kk＋1,2)，那么当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1·eq\f(kk＋1,2)＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k·(k＋1)eq\f(－k＋2k＋2,2)＝(－1)k·eq\f(k＋1k＋2,2).即n＝k＋1时结论也成立．由(1)(2)可知，对一切正整数n都有此结论成立．12．已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)，Sn为数列{an}的前n项和．(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法*{an}的通项公式．(1)解　a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，猜想an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5　　　　　　　n＝1,5×2n－2，n≥2，n∈N*)).(2)*　①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，公式成立．②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时成立，即ak＝5×2k－2，当n＝k＋1时，由已知条件和假设有ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋a3＋…＋ak＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2.＝5＋eq\f(51－2k－1,1－2)＝5×2k－1.故n＝k＋1时公式也成立．由①②可知，对n≥2，n∈N*，有an＝5×2n－2.所以数列{an}的通项公式为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5　　　　　　　　　n＝1,5×2n－2n≥2，n∈N*)).三、探究与拓展13．已知数列{an}的前n项和Sn＝1－nan(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法*你的结论．解　(1)计算得a1＝eq\f(1,2)；a2＝eq\f(1,6)；a3＝eq\f(1,12)；a4＝eq\f(1,20).(2)猜想：an＝eq\f(1,nn＋1).下面用数学归纳法*①当n＝1时，猜想显然成立．②假设n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即ak＝eq\f(1,kk＋1).那么，当n＝k＋1时Sk＋1＝1－(k＋1)ak＋1，即Sk＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1.又Sk＝1－kak＝eq\f(k,k＋1)，所以eq\f(k,k＋1)＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1，从而ak＋1＝eq\f(1,k＋1k＋2)＝eq\f(1,k＋1[k＋1＋1]).即n＝k＋1时，猜想也成立．故由①和②，可知猜想成立．