高中_数学_数学选修_选修2-2_高中数学新人教版选修2-2课时作业含解析_高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章推理与*章末复习课含解析

【创新设计】20162017学年高中数学第二章推理与*章末复习课新人教版选修22题型一　合情推理与演绎推理1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步*．2．演绎推理与合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是数学中*的基本推理形式，也是公理化体系所采用的推理形式．另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论*前者的可靠*．例1　(1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…试观察每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关系式为________．(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则①a2＋b2＝c2；②cos2A＋cos2B＝1；③Rt△ABC的外接圆半径为r＝eq\f(\r(a2＋b2),2).把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；如果你能*，写出*过程；如果在直角三角形中你还发现了异于上面的结论，试试看能否类比到空间？(1)*　f(n)＝n3解析　由于1＝13,3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.(2)解　选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3)＝S2.②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球的半径为R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2).反思与感悟　(1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法．(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索*．跟踪训练1　(1)下列推理是归纳推理的是________，是类比推理的是________．①A、B为定点，若动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则点P的轨迹是椭圆；②由a1＝1，an＋1＝3an－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的通项an和Sn的表达式；③由圆x2＋y2＝1的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．*　②　③④(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4，______，______，eq\f(T16,T12)成等比数列．*　eq\f(T8,T4)　eq\f(T12,T8)解析　等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比数列．题型二　综合法与分析法综合法和分析法是直接*中的两种最基本的*方法，但两种*方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的*过程，分析法与综合法可相互转换，相互渗透，要充分利用这一辩*关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．一般以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示*过程．例2　用综合法和分析法*．已知α∈(0，π)，求*：2sin2α≤eq\f(sinα,1－cosα).*　(分析法)要*2sin2α≤eq\f(sinα,1－cosα)成立．只要*4sinαcosα≤eq\f(sinα,1－cosα).∵α∈(0，π)，∴sinα>0.只要*4cosα≤eq\f(1,1－cosα).上式可变形为4≤eq\f(1,1－cosα)＋4(1－cosα)．∵1－cosα>0，∴eq\f(1,1－cosα)＋4(1－cosα)≥2eq\r(\f(1,1－cosα)·41－cosα)＝4，当且仅当cosα＝eq\f(1,2)，即α＝eq\f(π,3)时取等号．∴4≤eq\f(1,1－cosα)＋4(1－cosα)成立．∴不等式2sin2α≤eq\f(sinα,1－cosα)成立．(综合法)∵eq\f(1,1－cosα)＋4(1－cosα)≥4，(1－cosα>0，当且仅当cosα＝eq\f(1,2)，即α＝eq\f(π,3)时取等号)∴4cosα≤eq\f(1,1－cosα).∵α∈(0，π)，∴sinα>0.∴4sinαcosα≤eq\f(sinα,1－cosα).∴2sin2α≤eq\f(sinα,1－cosα).跟踪训练2　求*：eq\f(sin2α＋β,sinα)－2cos(α＋β)＝eq\f(sinβ,sinα).*　∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)－α]＝sinβ，两边同除以sinα得eq\f(sin2α＋β,sinα)－2cos(α＋β)＝eq\f(sinβ,sinα).题型三　反*法反*法是一种间接*命题的方法，它从命题结论的反面出发引出矛盾，从而肯定命题的结论．反*法的理论基础是互为逆否命题的等价*，从逻辑角度看，命题：“若p则q”的否定是“若p则綈q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p则綈q”为假，从而可以导出“若p则q”为真，从而达到*的目的．例3　若x，y都是正实数，且x＋y>2，求*：eq\f(1＋x,y)<2或eq\f(1＋y,x)<2中至少有一个成立．*　假设eq\f(1＋x,y)<2和eq\f(1＋y,x)<2都不成立，则有eq\f(1＋x,y)≥2和eq\f(1＋y,x)≥2同时成立．因为x>0且y>0，所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2.这与已知x＋y>2矛盾．故eq\f(1＋x,y)<2与eq\f(1＋y,x)<2至少有一个成立．反思与感悟　反*法常用于直接*困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反*法．跟踪训练3　已知：ac≥2(b＋d)．求*：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根．*　假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a2－4b<0与Δ2＝c2－4d<0，有a2＋c2<4(b＋d)，而a2＋c2≥2ac，从而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题成立．题型四　数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论*的基础保*，即通过验*落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递*的保*，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中*“当n＝k＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．例4　用数学归纳法*当n∈N*时，1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－2)·3＋(n－1)·2＋n·1＝eq\f(1,6)n(n＋1)·(n＋2)．*　(1)当n＝1时，1＝eq\f(1,6)·1·2·3，结论成立．(2)假设n＝k时结论成立，即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k－2)·3＋(k－1)·2＋k·1＝eq\f(1,6)k(k＋1)(k＋2)．当n＝k＋1时，则1·(k＋1)＋2·k＋3·(k－1)＋…＋(k－1)·3＋k·2＋(k＋1)·1＝1·k＋2·(k－1)＋…＋(k－1)·2＋k·1＋1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)]＝eq\f(1,6)k(k＋1)(k＋2)＋eq\f(1,2)(k＋1)(k＋2)＝eq\f(1,6)(k＋1)(k＋2)(k＋3)，即当n＝k＋1时结论也成立．综合上述，可知结论对一切n∈N*都成立．跟踪训练4　数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝eq\f(1,2)an＋1.(1)写出a2，a3，a4.(2)求数列{an}的通项公式．解　(1)因为a1＝1，an＋1＝eq\f(1,2)an＋1，所以a2＝eq\f(1,2)a1＋1＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).a3＝eq\f(1,2)a2＋1＝eq\f(1,2)·eq\f(3,2)＋1＝eq\f(7,4).a4＝eq\f(1,2)a3＋1＝eq\f(1,2)·eq\f(7,4)＋1＝eq\f(15,8).(2)*　方法一　猜想an＝eq\f(2n－1,2n－1).下面用数学归纳法*，(1)当n＝1时，a1＝eq\f(21－1,21－1)＝1，满足上式，显然成立；(2)假设当n＝k时ak＝eq\f(2k－1,2k－1)，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝eq\f(1,2)ak＋1＝eq\f(1,2)·eq\f(2k－1,2k－1)＋1＝eq\f(2k－1,2k)＋1＝eq\f(2k－1＋2k,2k)＝eq\f(2k＋1－1,2k)满足上式，即当n＝k＋1时猜想也成立，由(1)(2)可知，对于n∈N*都有an＝eq\f(2n－1,2n－1).方法二　因为an＋1＝eq\f(1,2)an＋1，所以an＋1－2＝eq\f(1,2)an＋1－2，即an＋1－2＝eq\f(1,2)(an－2)，设bn＝an－2，则bn＋1＝eq\f(1,2)bn，即{bn}是以b1＝－1，eq\f(1,2)为公比的等比数列，所以bn＝b1·qn－1＝－eq\f(1,2n－1)，所以an＝bn＋2＝eq\f(2n－1,2n－1).呈重点、现规律]1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步*．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中*的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论*前者的可靠*．3．直接*和间接*是数学*的两类基本*方法．直接*的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的*方法；分析法是由结论追溯到条件的*方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接*法的一种方法是反*法，反*法是从结论反面成立出发，推出矛盾的*方法．4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．*时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立．第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立．数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)*出无限的命题成立．