高中_数学_数学选修_选修2-3_高中数学人教A版选修2-3学业分层测评含*_高中数学人教A版选修2-3第一章计数原理1.3-1.3.1学业分层测评含*

.ks5u.学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于(　　)A．(x－1)3　　　　　　B．(x－2)3C．x3D．(x＋1)3【解析】　S＝[(x－1)＋1]3＝x3.【*】　C2．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))7的展开式的第4项等于5，则x等于(　　)A.eq\f(1,7)B．－eq\f(1,7)C．7D．－7【解析】　T4＝Ceq\o\al(3,7)x4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))3＝5，则x＝－eq\f(1,7).【*】　B3．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为(　　)A．3B．6C．9D．12【解析】　x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝Ceq\o\al(2,3)×2＝6.【*】　B4．使eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(1,x\r(x))))n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　)A．4B．5C．6D．7【解析】　Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)(3x)n－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x\r(x))))r＝Ceq\o\al(r,n)3n－rxn－eq\f(5,2)r，当Tr＋1是常数项时，n－eq\f(5,2)r＝0，当r＝2，n＝5时成立．【*】　B5．(x2＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－1))5的展开式的常数项是(　　)A．－3B．－2C．2D．3【解析】　二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－1))5展开式的通项为：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))5－r·(－1)r＝Ceq\o\al(r,5)·x2r－10·(－1)r.当2r－10＝－2，即r＝4时，有x2·Ceq\o\al(4,5)x－2·(－1)4＝Ceq\o\al(4,5)×(－1)4＝5；当2r－10＝0，即r＝5时，有2·Ceq\o\al(5,5)x0·(－1)5＝－2.∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D.【*】　D二、填空题6．(2016·安徽淮南模拟)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中eq\f(1,x2)的系数为________．【解析】　由题意知，Ceq\o\al(2,n)＝Ceq\o\al(6,n)，∴n＝8.∴Tk＋1＝Ceq\o\al(k,8)·x8－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))k＝Ceq\o\al(k,8)·x8－2k，当8－2k＝－2时，k＝5，∴eq\f(1,x2)的系数为Ceq\o\al(5,8)＝56.【*】　567．设二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,\r(x))))6(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．【解析】　对于Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－r(－ax－eq\f(1,2))r＝Ceq\o\al(r,6)(－a)r·x6－eq\f(3,2)r，B＝Ceq\o\al(4,6)(－a)4，A＝Ceq\o\al(2,6)(－a)2.∵B＝4A，a>0，∴a＝2.【*】　28．9192被100除所得的余数为________．【解析】　法一：9192＝(100－9)92＝Ceq\o\al(0,92)·10092－Ceq\o\al(1,92)·10091·9＋Ceq\o\al(2,92)·10090·92－…＋Ceq\o\al(92,92)992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝Ceq\o\al(0,92)·1092－Ceq\o\al(1,92)·1091＋…＋Ceq\o\al(90,92)·102－Ceq\o\al(91,92)·10＋1，前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为1000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.法二：9192＝(90＋1)92＝Ceq\o\al(0,92)·9092＋Ceq\o\al(1,92)·9091＋…＋Ceq\o\al(90,92)·902＋Ceq\o\al(91,92)·90＋Ceq\o\al(92,92).前91项均能被100整除，剩下两项和为92×90＋1＝8281，显然8281除以100所得余数为81.【*】　81三、解答题9．化简：S＝1－2Ceq\o\al(1,n)＋4Ceq\o\al(2,n)－8Ceq\o\al(3,n)＋…＋(－2)nCeq\o\al(n,n)(n∈N*)．【解】　将S的表达式改写为：S＝Ceq\o\al(0,n)＋(－2)Ceq\o\al(1,n)＋(－2)2Ceq\o\al(2,n)＋(－2)3Ceq\o\al(3,n)＋…＋(－2)nCeq\o\al(n,n)＝[1＋(－2)]n＝(－1)n.∴S＝(－1)n＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n为偶数时，,－1，n为奇数时.))10．(2016·淄博高二检测)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)－\f(1,\r(x))))6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数；(2)含x2的项．【解】　(1)第3项的二项式系数为Ceq\o\al(2,6)＝15，又T3＝Ceq\o\al(2,6)(2eq\r(x))4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))2＝24·Ceq\o\al(2,6)x，所以第3项的系数为24Ceq\o\al(2,6)＝240.(2)Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)(2eq\r(x))6－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))k＝(－1)k26－kCeq\o\al(k,6)x3－k，令3－k＝2，得k＝1.所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.[能力提升]1．(2016·吉林长春期末)若Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn能被7整除，则x，n的值可能为(　　)A．x＝4，n＝3B．x＝4，n＝4C．x＝5，n＝4D．x＝6，n＝5【解析】　Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn＝(1＋x)n－1，分别将选项A、B、C、D代入检验知，仅C适合．【*】　C2．已知二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x)2＋(1－x)3＋…＋(1－x)n中x2项的系数为(　　)A．－19　　　B．19C．20　　　D．－20【解析】　eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)(eq\r(x))n－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))r＝Ceq\o\al(r,n)xeq\f(n,2)－eq\f(5r,6)，由题意知eq\f(n,2)－eq\f(5×3,6)＝0，得n＝5，则所求式子中的x2项的系数为Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＝1＋3＋6＋10＝20.故选C.【*】　C3．对于二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋x3))n(n∈N*)，有以下四种判断：①存在n∈N*，展开式中有常数项；②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；③对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N*，展开式中有x的一次项．其中正确的是________．【解析】　二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋x3))n的展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)x4r－n，由通项公式可知，当n＝4r(r∈N*)和n＝4r－1(r∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项．【*】　①与④4．求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)＋\r(2)))5的展开式的常数项.【导学号：97270023】【解】　法一：由二项式定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)＋\r(2)))5＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)))＋\r(2)))5＝Ceq\o\al(0,5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)))5＋Ceq\o\al(1,5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)))4·eq\r(2)＋Ceq\o\al(2,5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)))3·(eq\r(2))2＋Ceq\o\al(3,5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)))2·(eq\r(2))3＋Ceq\o\al(4,5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)))·(eq\r(2))4＋Ceq\o\al(5,5)·(eq\r(2))5.其中为常数项的有：Ceq\o\al(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)))4·eq\r(2)中的第3项：Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2·eq\r(2)；Ceq\o\al(3,5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)))2·(eq\r(2))3中的第2项：Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)·eq\f(1,2)·(eq\r(2))3；展开式的最后一项Ceq\o\al(5,5)·(eq\r(2))5.综上可知，常数项为Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2·eq\r(2)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)·eq\f(1,2)·(eq\r(2))3＋Ceq\o\al(5,5)·(eq\r(2))5＝eq\f(63\r(2),2).法二：原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋2\r(2)x＋2,2x)))5＝eq\f(1,32x5)·[(x＋eq\r(2))2]5＝eq\f(1,32x5)·(x＋eq\r(2))10.求原式中展开式的常数项，转化为求(x＋eq\r(2))10的展开式中含x5的项的系数，即Ceq\o\al(5,10)·(eq\r(2))5，所以所求的常数项为eq\f(C\o\al(5,10)·\r(2)5,32)＝eq\f(63\r(2),2).