高中_数学_数学选修_选修2-3_高中数学人教A版选修2-3学业分层测评含*_高中数学人教A版选修2-3第二章随机变量及其分布2.3-2.3.2学业分层测评含*

.ks5u.学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．有*、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X*)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计(　　)A．*种水稻比乙种水稻分蘖整齐B．乙种水稻比*种水稻分蘖整齐C．*、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D．*、乙两种水稻分蘖整齐不能比较【解析】　∵D(X*)>D(X乙)，∴乙种水稻比*种水稻整齐．【*】　B2．设二项分布B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n，p的值为(　　)A．n＝4，p＝0.6　　　　B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3D．n＝24，p＝0.1【解析】　由题意得，np＝2.4，np(1－p)＝1.44，∴1－p＝0.6，∴p＝0.4，n＝6.【*】　B3．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(1,3)，k＝3,6,9.则D(X)等于(　　)A．6　　　　B．9　　　　C．3　　　　D．4【解析】　E(X)＝3×eq\f(1,3)＋6×eq\f(1,3)＋9×eq\f(1,3)＝6.D(X)＝(3－6)2×eq\f(1,3)＋(6－6)2×eq\f(1,3)＋(9－6)2×eq\f(1,3)＝6.【*】　A4．同时抛掷两枚均匀的硬*10次，设两枚硬*同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)＝(　　)A.eq\f(15,8)B.eq\f(15,4)C.eq\f(5,2)D．5【解析】　两枚硬*同时出现反面的概率为eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，故ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,4)))，因此D(ξ)＝10×eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(15,8).故选A.【*】　A5．已知X的分布列为(　　)X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)则①E(X)＝－eq\f(1,3)，②D(X)＝eq\f(23,27)，③P(X＝0)＝eq\f(1,3).其中正确的个数为(　　)A．0B．1C．2D．3【解析】　E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，故①正确；D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,3)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))2×eq\f(1,6)＝eq\f(5,9)，故②不正确；③P(X＝0)＝eq\f(1,3)显然正确．【*】　C二、填空题6．(2014·浙*高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.【解析】　设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)＋a＋b＝1，,a＋2b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,5)，,b＝\f(1,5)，))所以D(ξ)＝eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)×0＋eq\f(1,5)×1＝eq\f(2,5).【*】　eq\f(2,5)7．(2016·扬州高二检测)设一次试验成功的概率为p，进行100次*重复试验，当p＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．【解析】　由*重复试验的方差公式可以得到D(ξ)＝np(1－p)≤neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋1－p,2)))2＝eq\f(n,4)，等号在p＝1－p＝eq\f(1,2)时成立，所以D(ξ)max＝100×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝25，eq\r(Dξmax)＝eq\r(25)＝5.【*】　eq\f(1,2)　58．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个*选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________．【解析】　设该学生在这次数学测验中选对*的题目的个数为X，所得的分数(成绩)为Y，则Y＝4X.由题知X～B(25,0.6)，所以E(X)＝25×0.6＝15，D(X)＝25×0.6×0.4＝6，E(Y)＝E(4X)＝4E(X)＝60，D(Y)＝D(4X)＝42×D(X)＝16×6＝96，所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.【*】　60,96三、解答题9．海关大楼顶端镶有A、B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：X1－2－1012P0.050.050.80.050.05X2－2－1012P0.10.20.40.20.1根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量．【解】　∵E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2)．∵D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5；D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.∴D(X1)<D(X2)．由上可知，A面大钟的质量较好．10．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．【解】　(1)X的分布列为：X01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)∴E(X)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝1.5.D(X)＝(0－1.5)2×eq\f(1,2)＋(1－1.5)2×eq\f(1,20)＋(2－1.5)2×eq\f(1,10)＋(3－1.5)2×eq\f(3,20)＋(4－1.5)2×eq\f(1,5)＝2.75.(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，得a＝±2.又∵E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4))即为所求．[能力提升]1．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝eq\f(2,3)，P(X＝x2)＝eq\f(1,3)，且x1＜x2，又已知E(X)＝eq\f(4,3)，D(X)＝eq\f(2,9)，则x1＋x2的值为(　　)A.eq\f(5,3)B.eq\f(7,3)C．3D.eq\f(11,3)【解析】　∵E(X)＝eq\f(2,3)x1＋eq\f(1,3)x2＝eq\f(4,3).∴x2＝4－2x1，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－x1))2×eq\f(2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－x2))2×eq\f(1,3)＝eq\f(2,9).∵x1＜x2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝2，))∴x1＋x2＝3.【*】　C2．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－k，k＝0,1,2，…，n，且E(ξ)＝24，则D(ξ)的值为(　　)【导学号：97270052】A．8B．12C.eq\f(2,9)D．16【解析】　由题意可知ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(2,3)))，∴eq\f(2,3)n＝E(ξ)＝24，∴n＝36.又D(ξ)＝n×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(2,9)×36＝8.【*】　A3．变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝eq\f(1,3)，则D(ξ)的值是________．【解析】　由a，b，c成等差数列可知2b＝a＋c，又a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝eq\f(1,3)，a＋c＝eq\f(2,3).又E(ξ)＝－a＋c＝eq\f(1,3)，∴a＝eq\f(1,6)，c＝eq\f(1,2)，故分布列为ξ－101Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,2)∴D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,3)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(5,9).【*】　eq\f(5,9)4．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图2­3­3所示．INCLUDEPICTURE"XTA120.TIF"\*MERGEFORMAT图2­3­3将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互*．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．【解】　(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个．”因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)·0.63＝0.216，则X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为X～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.