高中_数学_数学选修_选修4-4_人教版高中数学选修4-4练习含解析_人教版高中数学选修4-4练习：第一讲三简单曲线的极坐标方程含解析

第一讲坐标系三、简单曲线的极坐标方程INCLUDEPICTURE"课后作业.tif"A级　基础巩固一、选择题1．极坐标方程ρcosθ＝－6表示(　　)A．过点(6，π)垂直于极轴的直线B．过点(6，0)垂直于极轴的直线C．圆心为(3，π)，半径为3的圆D．圆心为(3，0)，半径为3的圆解析：将ρcosθ＝－6化为直角坐标方程是：x＝－6，它表示过点(6，π)垂直于极轴的直线．*：A2．圆ρ＝eq\r(2)(cosθ＋sinθ)的圆心的极坐标是(　　)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,4)))　　　　　　B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(π,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4)))解析：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程是x2＋y2－eq\r(2)x－eq\r(2)y＝0，圆心的直角坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，化为极坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,4))).*：A3．在极坐标系中与圆ρ＝4sinθ相切的一条直线的方程为(　　)A．ρcosθ＝2B．ρsinθ＝2C．ρ＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))D．ρ＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))解析：将圆ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，它与直线x－2＝0相切，将x－2＝0化为极坐标方程为ρcosθ＝2.*：A4．已知点P的极坐标是(1，π)，则过点P且垂直于极轴的直线的方程是(　　)A．ρ＝1B．ρ＝cosθC．ρ＝－eq\f(1,cosθ)D．ρ＝eq\f(1,cosθ)解析：设M为所求直线上任意一点(除P外)，其极坐标为(ρ，θ)，在直角三角形OPM中(O为极点)，ρcos|π－θ|＝1，即ρ＝－eq\f(1,cosθ).经检验，(1，π)也适合上述方程．*：C5．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为(　　)[来源:学&科&网]A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2B．θ＝eq\f(π,2)(ρ∈R)和ρcosθ＝2C．θ＝eq\f(π,2)(ρ∈R)和ρcosθ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1解析：由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x＝0和x＝2，相应的极坐标方程为θ＝eq\f(π,2)(ρ∈R)和ρcosθ＝2.*：B二、填空题6．直线eq\f(\r(3),3)x－y＝0的极坐标方程为__________________．解析：直线方程eq\f(\r(3),3)x－y＝0变为极坐标方程为eq\f(\r(3),3)ρcosθ－ρsinθ＝0，即eq\f(\r(3),3)cosθ－sinθ＝0，故tanθ＝eq\f(\r(3),3)，故θ＝eq\f(π,6)或θ＝eq\f(7,6)π，所以直线eq\f(\r(3),3)x－y＝0的极坐标方程为θ＝eq\f(π,6)或θ＝eq\f(7π,6).*：θ＝eq\f(π,6)或eq\f(7π,6)[来源:Zxxk.]7．圆心为Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,6)))，半径为3的圆的极坐标方程为___________．解析：将圆心的极坐标化为直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)，\f(3,2))).因为圆的半径为3，故圆的直角坐标方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝9，化为极坐标方程为ρ＝6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6))).*：ρ＝6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))[来源:学#科#网]8．已知直线l的极坐标方程为2ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\r(2)，点A的极坐标为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(7π,4)))，则点A到直线l的距离为________．解析：将直线l的极坐标方程2ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\r(2)化为直角坐标方程为x－y＋1＝0.由Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(7π,4)))得A点的直角坐标为(2，－2)，从而点A到直线l的距离d＝eq\f(|2＋2＋1|,\r(12＋（－1）2))＝eq\f(5\r(2),2).*：eq\f(5\r(2),2)三、解答题9．在极坐标系中，已知点P为圆ρ2＋2ρsinθ－7＝0上任意一点．求点P到直线ρcosθ＋ρsinθ－7＝0的距离的最小值与最大值．解：圆ρ2＋2ρsinθ－7＝0的直角坐标方程为x2＋y2＋2y－7＝0，即x2＋(y＋1)2＝8，[来源:学*科*网Z*X*X*K]直线ρcosθ＋ρsinθ－7＝0的直角坐标方程为x＋y－7＝0.根据题意可设点P(2eq\r(2)cosα，2eq\r(2)sinα－1)，则点P到直线x＋y－7＝0的距离d＝eq\f(|2\r(2)cosα＋2\r(2)sinα－8|,\r(2))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－8)),\r(2))，当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝1时，dmin＝eq\f(4,\r(2))＝2eq\r(2)；当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－1时，dmax＝eq\f(12,\r(2))＝6eq\r(2).10．已知两个圆的极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ.(1)求两个圆的圆心距；(2)求经过两圆的交点的直线的极坐标方程．解：两个圆的直角坐标方程分别是x2＋y2－x＝0，x2＋y2－y＝0.[来源:学科网ZXXK](1)两个圆的圆心坐标分别是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，所以两圆的圆心距是eq\f(\r(2),2).(2)易得经过两圆的交点的直线的直角坐标方程是x－y＝0，故它的极坐标方程是θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)．B级　能力提升1．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)A．ρ＝eq\f(1,cosθ＋sinθ)，0≤θ≤eq\f(π,2)B．ρ＝eq\f(1,cosθ＋sinθ)，0≤θ≤eq\f(π,4)C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤eq\f(π,2)D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤eq\f(π,4)解析：因为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，))所以y＝1－x化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρ＝eq\f(1,cosθ＋sinθ).因为0≤x≤1，0≤y≤1，所以线段在第一象限内(含端点)，所以0≤θ≤eq\f(π,2).*：A2．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为______________．解析：因为ρ＝2sinθ，所以ρ2＝2ρsinθ，所以x2＋y2＝2y，即x2＋y2－2y＝0.*：x2＋y2－2y＝03．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1与ρ(sinθ－cosθ)＝1的交点的极坐标．解：曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，曲线ρ(sinθ－cosθ)＝1化为直角坐标方程为y－x＝1，联立方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,y－x＝1))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1.))则交点为(0，1)，对应的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2))).