高中_数学_数学选修_选修4-4_人教版高中数学选修4-4练习含解析_人教版高中数学选修4-4评估验收卷（二）含解析

评估验收卷(二)(时间：120分钟　满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列点不在直线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1－\f(\r(2),2)t，,y＝2＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)上的是(　　)A．(－1，2)　　　　　B．(2，－1)C．(3，－2)D．(－3，2)解析：直线l的普通方程为x＋y－1＝0，因此点(－3，2)的坐标不适合方程x＋y－1＝0.*：D2．直线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t，,y＝－3\r(3)＋\f(\r(3),2)t))(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为(　　)[来源:学.科.网]A．(3，－3)B．(－eq\r(3)，3)C．(eq\r(3)，3)D．(3，－eq\r(3))解析：把eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t，,y＝\r(3)（－3＋\f(1,2)t）))(t为参数)代入x2＋y2＝16中，得1＋t＋eq\f(1,4)t2＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－3t＋\f(1,4)t2))＝16，即t2－8t＋12＝0.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝8，所以AB的中点对应的参数t＝eq\f(t1＋t2,2)＝4.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)×4＝3，,y＝－3\r(3)＋\f(\r(3),2)×4＝－\r(3)，))即AB的中点坐标为(3，－eq\r(3))．*：D3．已知某曲线的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))，,y＝\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a)))))(其中a是参数)，则该曲线是(　　)A．线段B．圆C．双曲线D．圆的一部分解析：消参可得x2－y2＝1，又|x|＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))≥1，当且仅当a＝eq\f(1,a)时“＝”成立，所以x≤－1或x≥1，该曲线为双曲线．*：C4．设r>0，那么直线xcosθ＋ysinθ＝r与圆eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝rcosφ，,y＝rsinφ))(φ是参数)的位置关系是(　　)A．相交B．相切C．相离D．视r的大小而定解析：易知圆的圆心在原点，半径是r，则圆心(0，0)到直线的距离为d＝eq\f(|0＋0－r|,\r(cos2θ＋sin2θ))＝r，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切．*：B5．直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋t，,y＝b＋t))(t为参数)，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与点P(a，b)之间的距离是(　　)A．|t1|B．2|t1|C.eq\r(2)|t1|D.eq\f(\r(2),2)|t1|解析：点P1与点P之间的距离为eq\r(（a＋t1－a）2＋（b＋t1－b）2)＝eq\r(teq\o\al(2,1)＋teq\o\al(2,1))＝eq\r(2)|t1|.[来源:学|科|网Z|X|X|K]*：C6．已知圆的渐开线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝r（cosφ＋φsinφ），,y＝r（sinφ－φcosφ）))(φ为参数)上有一点的坐标为(3，0)，则渐开线对应的基圆的面积为(　　)A．πB．3πC．4πD．9π解析：把已知点(3，0)代入参数方程得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＝r（cosφ＋φsinφ），　　　　　　　　　　　　　①,0＝r（sinφ－φcosφ），　　　　　　　　　　　　　②))由②可得φ＝0，则把φ＝0代入①得r＝3，所以基圆的面积为9π.*：D7．已知圆C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋cosα，,y＝1＋sinα))(α为参数)，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为(　　)A.eq\f(1,3)　　　　B.eq\f(1,5)　　　　C．－eq\f(1,3)　　　　D．－eq\f(1,5)解析：圆C的普通方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C(－1，1)．直线kx＋y＋4＝0过定点A(0，－4)，故当CA与直线kx＋y＋4＝0垂直时，圆心C到直线的距离最大，因为kCA＝－5，所以－k＝eq\f(1,5)，所以k＝－eq\f(1,5).*：D8．曲线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋5t，,y＝1－2t))(t为参数)与坐标轴的交点是(　　)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,5)))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,5)))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C．(0，－4)、(8，0)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,9)))、(8，0)解析：当x＝0时，t＝eq\f(2,5)，而y＝1－2t，即y＝eq\f(1,5)，故曲线与y轴的交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,5)))；当y＝0时，t＝eq\f(1,2)，而x＝－2＋5t，即x＝eq\f(1,2)，故曲线与x轴的交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).[来源:Z§xx§k.]*：B9．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝t－3))(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为(　　)A.eq\r(14)B．2eq\r(14)C.eq\r(2)D．2eq\r(2)解析：由题意得，直线l的普通方程为y＝x－4，圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心到直线l的距离d＝eq\f(|2－0－4|,\r(2))＝eq\r(2)，直线l被圆C截得的弦长为2eq\r(22－（\r(2)）2)＝2eq\r(2).[来源:学科网]*：D10．若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4t2，,y＝4t))(t为参数)上，则|PF|等于(　　)A．2B．3C．4D．5解析：消参得抛物线的普通方程为y2＝4x，所以其焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，由抛物线的定义，得|PF|＝3－(－1)＝4.*：C11．已知在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,3)＝1上的一个动点，则S＝x＋y的取值范围为(　　)A．[eq\r(5)，5]B．[－eq\r(5)，5]C．[－5，－eq\r(5)]D．[－eq\r(5)，eq\r(5)]解析：因椭圆eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,3)＝1的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)cosφ，,y＝\r(3)sinφ))(φ为参数)，故可设动点P的坐标为(eq\r(2)cosφ，eq\r(3)sinφ)，因此S＝x＋y＝eq\r(2)cosφ＋eq\r(3)sinφ＝eq\r(5)(eq\f(\r(2),\r(5))cosφ＋eq\f(\r(3),\r(5))sinφ)＝eq\r(5)sin(φ＋γ)，其中tanγ＝eq\f(\r(6),3)，所以S的取值范围是[－eq\r(5)，eq\r(5)]，故选D.*：D12．已知直线l的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ＋4sinθ，则直线l被圆所截得的弦长为(　　)A．1B．2C．3D．4解析：由题意知，直线l的普通方程为eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0，由极坐标与直角坐标的关系知，圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.设直线l与圆C交于A、B两点，AB的中点为M，则在Rt△AMC中，|AC|＝eq\r(5)，|CM|＝eq\f(|\r(3)－2－\r(3)|,\r(3＋1))＝1，所以|AM|＝eq\r(5－1)＝2，所以|AB|＝2|AM|＝4.故截得的弦长为4.*：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把*填在题中横线上)13．曲线C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝3sinθ))(θ为参数)上的点到其焦点的距离的最小值为________．解析：曲线C的普通方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，所以a＝3，b＝2，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(5)，所以椭圆C上的点到焦点的距离的最小值为3－eq\r(5).*：3－eq\r(5)14．在直角坐标系Oxy中，已知曲线C的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ＋1))(θ为参数)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为____________________．解析：由题意知曲线C：x2＋(y－1)2＝1，即x2＋y2－2y＝0，由x2＋y2＝ρ2，y＝ρsinθ得ρ2－2ρsinθ＝0，化简得ρ＝2sinθ.*：ρ＝2sinθ15．在圆的摆线上有一点(π，0)，那么在满足条件的摆线的参数方程中，使圆的半径最大的摆线上，参数φ＝eq\f(π,4)对应的点的坐标为__________________．解析：摆线方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝r（φ－sinφ），,y＝r（1－cosφ）))(φ为参数)，将点(π，0)代入可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(π＝r（φ－sinφ），,0＝r（1－cosφ）))得cosφ＝1，则φ＝2kπ，k∈Z.故r＝eq\f(π,2kπ)＝eq\f(1,2k)(k∈Z)，又r>0，所以k∈N*，当k＝1时，r最大为eq\f(1,2)，再把φ＝eq\f(π,4)代入摆线方程得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－sin\f(π,4)))，,y＝\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－cos\f(π,4)))，))故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(π－2\r(2),8)，,y＝\f(2－\r(2),4).))*：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π－2\r(2),8)，\f(2－\r(2),4)))16．在直角坐标系Oxy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋cosθ，,y＝4＋sinθ))(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．解析：因为C1：(x－3)2＋(y－4)2＝1，C2：x2＋y2＝1，所以两圆圆心之间的距离为d＝eq\r(32＋42)＝5.因为A在曲线C1上，B在曲线C2上，所以|AB|min＝5－2＝3.*：3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、*过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知某圆的极坐标方程为ρ2－4eq\r(2)ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＋6＝0.(1)求圆的直角坐标方程和一个参数方程；(2)设P(x，y)为圆上任意点，求xy的最大值，最小值．解：(1)圆的极坐标方程可化为ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0，化为直角坐标方程为x2＋y2－4x－4y＋6＝0，变为标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2，圆心为(2，2)，半径为eq\r(2).故其一个参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\r(2)cosθ，,y＝2＋\r(2)sinθ))(θ为参数)．(2)由(1)可得xy＝(2＋eq\r(2)cosθ)(2＋eq\r(2)sinθ)＝4＋2eq\r(2)(sinθ＋cosθ)＋2sinθcosθ.令sinθ＋cosθ＝t，t∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]，则2sinθcosθ＝t2－1，则xy＝t2＋2eq\r(2)t＋3＝(t＋eq\r(2))2＋1，t∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]，故当t＝－eq\r(2)时，xy取得最小值1，当t＝eq\r(2)时，xy取得最大值9.18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2t，,y＝1－t))(t为参数)，椭圆C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝sinθ))(θ为参数)，试在椭圆上求一点P，使得点P到直线l的距离最小．解：直线l的普通方程为x＋2y－4＝0，设P(2cosθ，sinθ)，则点P到直线l的距离为d＝eq\f(|2cosθ＋2sinθ－4|,\r(5))＝eq\f(1,\r(5))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4－2\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))))，所以当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝1时，d有最小值．此时sinθ＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))coseq\f(π,4)－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).cosθ＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－\f(π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))coseq\f(π,4)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).所以点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(\r(2),2)))，故所求点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(\r(2),2))).19．(本小题满分12分)已知曲线C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，直线l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t为参数)．[来源:学§科§网Z§X§X§K](1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．解：(1)曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝3sinθ))(θ为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ＋3sinθ－6|，则|PA|＝eq\f(d,sin30°)＝eq\f(2\r(5),5)|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝eq\f(4,3).当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为eq\f(22\r(5),5).当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为eq\f(2\r(5),5).20．(本小题满分12分)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2sinθ，设直线l的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,5)t＋2，,y＝\f(4,5)t))(t为参数)．(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值．解：(1)曲线C的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsinθ.又x2＋y2＝ρ2，y＝ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.(2)将直线l的参数方程化为普通方程，得y＝－eq\f(4,3)(x－2)．令y＝0，得x＝2，即M点的直角坐标为(2，0)．因为曲线C为圆，圆心C的直角坐标为(0，1)，半径r＝1，则|MC|＝eq\r(5).所以|MN|≤|MC|＋r＝eq\r(5)＋1.故|MN|的最大值为eq\r(5)＋1.21．(本小题满分12分)已知直线l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝m＋tcosα，,y＝tsinα))(t为参数)经过椭圆C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ，,y＝\r(3)sinφ))(φ为参数)的左焦点F.(1)求m的值；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的最大值，最小值．解：(1)椭圆的参数方程化为普通方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，则F的坐标为(－1，0)，又直线l过点(m，0)，故m＝－1.(2)把x＝m＋tcosα，y＝tsinα代入椭圆C的普通方程，化简得(3cos2α＋4sin2α)t2－6tcosα－9＝0，设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则|FA|·|FB|＝|t1·t2|＝eq\f(9,3cos2α＋4sin2α)＝eq\f(9,3＋sin2α)，故当sinα＝0时，|FA|·|FB|取最大值3，当sinα＝1时，|FA|·|FB|取最小值eq\f(9,4).22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知两圆C1：(x－1)2＋y2＝25和C2：(x＋1)2＋y2＝1，动圆在C1内部且和圆C1相内切并和圆C2相外切，动圆圆心的轨迹为E.(1)求E的标准方程；(2)点P为E上一动点，点Q为坐标原点，曲线E的右焦点为F，求|PO|2＋|PF|2的最小值．解：(1)设动圆圆心D(x，y)，半径为r，由题意|DC1|＝5－r，|DC2|＝1＋r，所以|DC1|＋|DC2|＝6>|C1C2|＝2，所以D点的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆．其中2a＝6，c＝1，所以a＝3，b2＝a2－c2＝8，故D点的轨迹方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.(2)易知F(1，0)，由点P在E上，设P(3cosθ，2eq\r(2)sinθ)，θ∈[0，2π)．则|PF|2＝(3cosθ－1)2＋(2eq\r(2)sinθ)2＝9cos2θ－6cosθ＋1＋8sin2θ＝cos2θ－6cosθ＋9.|PO|2＝(3cosθ)2＋(2eq\r(2)sinθ)2＝cos2θ＋8，故|PF|2＋|PO|2＝2cos2θ－6cosθ＋17＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(25,2)，因为cosθ∈[－1，1]，当cosθ＝1时，|PF|2＋|PO|2取最小值为13.