高中_数学_数学选修_选修4-4_高中数学人教A版选修4-4课时跟踪检测含解析_高中数学人教A版选修4-4阶段质量检测（二）A卷含解析

阶段质量检测（二）A卷一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知曲线的方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2t，,y＝t))(t为参数)，则下列点中在曲线上的是(　　)A．(1,1)B．(2,2)C．(0,0)D．(1,2)解析：选C　当t＝0时，x＝0且y＝0，即点(0,0)在曲线上．2．(*高考)曲线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋cosθ，,y＝2＋sinθ))(θ为参数)的对称中心(　　)A．在直线y＝2x上B．在直线y＝－2x上C．在直线y＝x－1上D．在直线y＝x＋1上解析：选B　曲线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋cosθ，,y＝2＋sinθ))(θ为参数)的普通方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，该曲线为圆，圆心(－1,2)为曲线的对称中心，其在直线y＝－2x上，故选B.3．直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a＋t,y＝b＋t))(t为参数)，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P(a，b)之间的距离是(　　)A．|t1|B．2|t1|C.eq\r(2)|t1|D.eq\f(\r(2),2)|t1|解析：选C　∵P1(a＋t1，b＋t1)，P(a，b)，∴|P1P|＝eq\r(a＋t1－a2＋b＋t1－b2)＝eq\r(t\o\al(2,1)＋t\o\al(2,1))＝eq\r(2)|t1|.4．已知三个方程：①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝t2，))②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tant，,y＝tan2t，))③eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝sint，,y＝sin2t))(都是以t为参数)．那么表示同一曲线的方程是(　　)A．①②③B．①②C．①③D．②③解析：选B　①②③的普通方程都是y＝x2，但①②中x的取值范围相同，都是x∈R，而③中x的取值范围是－1≤x≤1.5．参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋\f(1,t),y＝－2))(t为参数)所表示的曲线是(　　)A．一条*线B．两条*线C．一条直线D．两条直线解析：选B　因为x＝t＋eq\f(1,t)∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，即x≤－2或x≥2，故是两条*线．6．已知曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6＋\f(4,cosθ),y＝5tanθ－3))(θ为参数，π≤θ＜2π)．已知点M(14，a)在曲线C上，则a＝(　　)A．－3－5eq\r(3)B．－3＋5eq\r(3)C．－3＋eq\f(5,3)eq\r(3)D．－3－eq\f(5,3)eq\r(3)解析：选A　∵(14，a)在曲线C上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(14＝6＋\f(4,cosθ)　　　①,a＝5tanθ－3②))由①得：cosθ＝eq\f(1,2)，又π≤θ＜2π.∴sinθ＝－eq\r(1－\f(1,2)2)＝－eq\f(\r(3),2)，∴tanθ＝－eq\r(3).∴a＝5·(－eq\r(3))－3＝－3－5eq\r(3).7．直线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2－\r(2)t，,y＝3＋\r(2)t))(t为参数)上与点P(－2,3)的距离等于eq\r(2)的点的坐标是(　　)A．(－4,5)B．(－3,4)C．(－3,4)或(－1,2)D．(－4,5)或(0,1)解析：选C　可以把直线的参数方程转化成标准式，或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得eq\r(－\r(2)2＋\r(2)2)·|t|＝eq\r(2)，解得t＝±eq\f(\r(2),2)，将t代入原方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2，))所以所求点的坐标为(－3，4)或(－1,2)．8．若圆的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋2cosθ，,y＝3＋2sinθ))(θ为参数)，直线的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2t－1，,y＝6t－1))(t为参数)，则直线与圆的位置关系是(　　)A．过圆心B．相交而不过圆心C．相切D．相离解析：选B　将圆、直线的参数方程化成普通方程，利用圆心到直线的距离与圆的半径进行比较，可知圆心到直线的距离小于半径，并且圆心不在直线上．9．设F1和F2是双曲线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2secθ，,y＝tanθ))(θ为参数)的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，那么△F1PF2的面积是(　　)A．1B.eq\f(\r(5),2)C．2D．5解析：选A　方程化为普通方程是eq\f(x2,4)－y2＝1，∴b＝1.由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，,|PF1|－|PF2|2＝4a2.))∴2|PF1|·|PF2|＝4b2.∴S＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝b2＝1.10．已知方程x2－ax＋b＝0的两根是sinθ和cosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|θ|≤\f(π,4)))，则点(a，b)的轨迹是(　　)A．椭圆弧B．圆弧C．双曲线弧D．抛物线弧解析：选D　由题知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＋cosθ＝a，,sinθ·cosθ＝b，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝sinθ＋cosθ，,b＝sinθ·cosθ.))a2－2b＝(sinθ＋cosθ)2－2sinθ·cosθ＝1.又|θ|≤eq\f(π,4).∴表示抛物线弧．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把*填写在题中的横线上)11．若直线l：y＝kx与曲线C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋cosθ，,y＝sinθ))(参数θ∈R)有唯一的公共点，则实数k＝________.解析：曲线C的普通方程为(x－2)2＋y2＝1，由题意知，eq\f(|2k－0|,\r(1＋k2))＝1，∴k＝±eq\f(\r(3),3).*：±eq\f(\r(3),3)12．(湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝t－a))(t为参数)过椭圆C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosφ，,y＝2sinφ))(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．解析：由直线l的参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝t－a))(t为参数)消去参数t得直线l的一般方程：y＝x－a，由椭圆的参数方程可知其右顶点为(3,0)．因为直线l过椭圆的右顶点，所以3－a＝0，即a＝3.*：313．已知点P在直线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋4t，,y＝1＋3t))(t为参数)上，点Q为曲线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,3)cosθ，,y＝3sinθ))(θ为参数)上的动点，则|PQ|的最小值等于________．解析：直线方程为3x－4y－5＝0，由题意，点Q到直线的距离d＝eq\f(|5cosθ－12sinθ－5|,5)＝eq\f(|13cosθ＋φ－5|,5)，∴dmin＝eq\f(8,5)，即|PQ|min＝eq\f(8,5).*：eq\f(8,5)14．(天津高考)已知抛物线的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t为参数)，其中p>0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.解析：由题意知，抛物线的普通方程为y2＝2px(p>0)，焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，准线x＝－eq\f(p,2)，设准线与x轴的交点为A.由抛物线定义可得|EM|＝|MF|，所以△MEF是正三角形，在Rt△EFA中，|EF|＝2|FA|，即3＋eq\f(p,2)＝2p，得p＝2.*：2三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、*过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)求曲线C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,t2＋1)，,y＝\f(2t,t2＋1).))(t为参数)被直线l：y＝x－eq\f(1,2)所截得的线段长．解：曲线C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,t2＋1)，①,y＝\f(2t,t2＋1)，②))eq\f(②,①)得t＝eq\f(y,x)，代入①，化简得x2＋y2＝2x.又x＝eq\f(2,t2＋1)≠0，∴C1的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠0)．圆C1的圆心到直线l：y＝x－eq\f(1,2)的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－0－\f(1,2))),\r(2))＝eq\f(1,2\r(2)).所求弦长为2eq\r(1－d2)＝eq\f(\r(14),2).16．(本小题满分12分)已知实数x，y满足x2＋(y－1)2＝1，求t＝x＋y的最大值．解：方程x2＋(y－1)2＝1表示以(0,1)为圆心，以1为半径的圆．∴其参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝1＋sinθ.))∴t＝x＋y＝cosθ＋sinθ＋1＝eq\r(2)sin(θ＋eq\f(π,4))＋1∴当sin(θ＋eq\f(π,4))＝1时tmax＝eq\r(2)＋1.17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosφ，,y＝sinφ，))(φ为参数)，曲线C2的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ，))(a＞b＞0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，*线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝eq\f(π,2)时，这两个交点重合．(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；(2)设当α＝eq\f(π,4)时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－eq\f(π,4)时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．解：(1)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1.因此C1是圆，C2是椭圆．当α＝0时，*线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.当α＝eq\f(π,2)时，*线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.(2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和eq\f(x2,9)＋y2＝1.当α＝eq\f(π,4)时，*线l与C1交点A1的横坐标为x＝eq\f(\r(2),2)，与C2交点B1的横坐标为x′＝eq\f(3\r(10),10).当α＝－eq\f(π,4)时，*线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形，故四边形A1A2B2B1的面积为eq\f(2x′＋2xx′－x,2)＝eq\f(2,5).18．(本小题满分12分)舰A在舰B的正东，距离6千米；舰C在舰B的北偏西30°，距离4千米．它们准备围捕海中某动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A于是发****，假设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，**初速度为eq\r(\f(20\r(3)g,3))千米/秒，其中g为重力加速度，空气阻力不计，求舰A*击的方位角与仰角．解：以BA为x轴，BA中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，则B(－3，0)，A(3,0)，C(－5,2eq\r(3))．设海中动物为P(x，y)．因为|BP|＝|CP|，所以P在线段BC的中垂线上，易知中垂线方程是y＝eq\f(\r(3),3)(x＋7)．又|PB|－|PA|＝4，所以P在以A、B为焦点的双曲线右支上，双曲线方程是eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1.从而得P(8,5eq\r(3))．INCLUDEPICTURE"271.TIF"设∠xAP＝α，则tanα＝kAP＝eq\r(3)，∴α＝60°，这样**发*的方位角为北偏东30°.再以A为原点，AP为x′轴建立坐标系x′Ay′，(如图)．|PA|＝10，设*道曲线方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝v0tcosθ,y′＝v0tsinθ－\f(1,2)gt2))(其中θ为仰角)将P(10,0)代入，消去t便得sin2θ＝eq\f(\r(3),2)，θ＝30°或60°这样舰A发***的仰角为30°或60°.19．(本小题满分12分)已知曲线C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4＋cost，,y＝3＋sint))(t是参数)，C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝8cosθ，,y＝3sinθ))(θ是参数)．(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t＝eq\f(π,2)，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋2t，,y＝－2＋t))(t是参数)距离的最小值．解：(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,9)＝1，C1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t＝eq\f(π,2)时，P(－4,4)，Q(8cosθ，3sinθ)，故Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2＋4cosθ，2＋\f(3,2)sinθ)).C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ－3sinθ－13|.从而当cosθ＝eq\f(4,5)，sinθ＝－eq\f(3,5)时，d取得最小值eq\f(8\r(5),5).20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosθ，,y＝4sinθ))(θ为参数，且0≤θ≤2π)，点M是曲线C1上的动点．(1)求线段OM的中点P的轨迹的参数方程；(2)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ＋1＝0(ρ>0)，求点P到直线l距离的最大值．解：(1)曲线C1上的动点M的坐标为(4cosθ，4sinθ)，坐标原点O(0,0)，设P的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式得x＝eq\f(1,2)(0＋4cosθ)＝2cosθ，y＝eq\f(1,2)(0＋4sinθ)＝2sinθ，所以点P的坐标为(2cosθ，2sinθ)，因此点P的轨迹的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ,y＝2sinθ))，(θ为参数，且0≤θ≤2π)．(2)由直角坐标与极坐标关系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，))得直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0，又由(1)知点P的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，因为原点(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离为eq\f(|0－0＋1|,\r(12＋－12))＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以点P到直线l距离的最大值为2＋eq\f(\r(2),2).