高考_高考数学真题试卷_2021年高考数学卷_2021年天津市高考数学试卷（解析版）

2021年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第I卷注意事项：1．每小题选出*后，用铅笔将答题卡上对应题目的*标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他*标号，2，本卷共9小题，每小题5分，共45分参考公式：•如果事件A、B互斥，那么false．•如果事件A、B相互*，那么false．•球的体积公式false，其中R表示球的半径．•圆锥的体积公式false，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高．一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设*false，则false（）A.falseB.falseC.falseD.false【*】C【解析】【分析】根据交集并集的定义即可求出.【详解】falsefalse，false，false.故选：C.2.已知false，则“false”是“false”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不允分也不必要条件【*】A【解析】【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.【详解】由题意，若false，则false，故充分*成立；若false，则false或false，推不出false，故必要*不成立；所以“false”是“false”的充分不必要条件.故选：A.3.函数false的图像大致为（）A.B.C.D.【*】B【解析】【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当false时，false，排除D，即可得解.【详解】设false，则函数false的定义域为false，关于原点对称，又false，所以函数false为偶函数，排除AC；当false时，false，所以false，排除D.故选：B.4.从某网络平台推荐的影视作品中抽取false部，统计其评分分数据，将所得false个评分数据分为false组：false、false、false、false，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间false内的影视作品数量是（）A.falseB.falseC.falseD.false【*】D【解析】【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间false内的影视作品数量.【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间false内的影视作品数量为false.故选：D.5.设false，则a，b，c的大小关系为（）A.falseB.falseC.falseD.false【*】D【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的*质求出false的范围即可求解.【详解】false，false，false，false，false，false，false.故选：D.6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为false，两个圆锥的高之比为false，则这两个圆锥的体积之和为（）A.falseB.falseC.falseD.false【*】B【解析】【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点false，设圆锥false和圆锥false的高之比为false，即false，设球的半径为false，则false，可得false，所以，false，所以，false，false，false，则false，所以，false，又因为false，所以，false，所以，false，false，因此，这两个圆锥的体积之和为false.故选：B.7.若false，则false（）A.falseB.falseC.1D.false【*】C【解析】【分析】由已知表示出false，再由换底公式可求.【详解】falsefalse，false，false.故选：C.8.已知双曲线false的右焦点与抛物线false的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若false．则双曲线的离心率为（）A.falseB.falseC.2D.3【*】A【解析】【分析】设公共焦点为false，进而可得准线为false，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得false，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线false与抛物线false的公共焦点为false，则抛物线false的准线为false，令false，则false，解得false，所以false,又因为双曲线的渐近线方程为false，所以false，所以false，即false，所以false，所以双曲线的离心率false.故选：A.9.设false，函数false，若false在区间false内恰有6个零点，则a的取值范围是（）A.falseB.falseC.falseD.false【*】A【解析】【分析】由false最多有2个根，可得false至少有4个根，分别讨论当false和false时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.【详解】false最多有2个根，所以false至少有4个根，由false可得false，由false可得false，（1）false时，当false时，false有4个零点，即false；当false，false有5个零点，即false；当false，false有6个零点，即false；（2）当false时，false，false，当false时，false，false无零点；当false时，false，false有1个零点；当false时，令false，则false，此时false有2个零点；所以若false时，false有1个零点.综上，要使false在区间false内恰有6个零点，则应满足false或false或false，则可解得a的取值范围是false.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成false和false两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.第II卷注意事项1．用黑*墨水的钢笔或签字笔将*写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.false是虚数单位，复数false_____________．【*】false【解析】【分析】利用复数的除法化简可得结果.【详解】false.故*为：false.11.在false的展开式中，false的系数是__________．【*】160【解析】【分析】求出二项式的展开式通项，令false的指数为6即可求出.【详解】false的展开式的通项为false，令false，解得false，所以false的系数是false.故*为：160.12.若斜率为false的直线与false轴交于点false，与圆false相切于点false，则false____________．【*】false【解析】【分析】设直线false方程为false，则点false，利用直线false与圆false相切求出false的值，求出false，利用勾股定理可求得false.【详解】设直线false的方程为false，则点false，由于直线false与圆false相切，且圆心为false，半径为false，则false，解得false或false，所以false，因为false，故false.故*为：false.13.若false，则false的最小值为____________．【*】false【解析】【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】falsefalse，false，当且仅当false且false，即false时等号成立，所以false的最小值为false.故*为：false.14.*、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，*、乙猜对的概率分别为false和false，且每次活动中*、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，*获胜的概率为____________，3次活动中，*至少获胜2次的概率为______________．【*】①.false②.false【解析】【分析】根据*猜对乙没有才对可求出一次活动中，*获胜的概率；在3次活动中，*至少获胜2次分为*获胜2次和3次都获胜求解.【详解】由题可得一次活动中，*获胜的概率为false；则在3次活动中，*至少获胜2次的概率为false.故*为：false；false.15.在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，false且交AB于点E．false且交AC于点F,则false的值为____________；false的最小值为____________．【*】①.1②.false【解析】【分析】设false，由false可求出；将false化为关于false的关系式即可求出最值.【详解】设false，false，false为边长为1的等边三角形，false，false，falsefalse，false为边长为false的等边三角形，false，false，false，falsefalse，所以当false时，false的最小值为false.故*为：1；false.三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，*过程成演算步骤．16.在false，角false所对的边分别为false，已知false，false．（I）求a的值；（II）求false的值；（III）求false的值．【*】（I）false；（II）（III）false【解析】【分析】（I）由正弦定理可得false，即可求出；（II）由余弦定理即可计算；（III）利用二倍角公式求出false正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【详解】（I）因为false，由正弦定理可得false，false，false；（II）由余弦定理可得false；（III）false，false，false，false，所以falsefalse.17.如图，在棱长为2的正方体false中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．（I）求*：false平面false；（II）求直线false与平面false所成角正弦值．（III）求二面角false的正弦值．【*】（I）*见解析；（II）false；（III）false【解析】【分析】（I）建立空间直角坐标系，求出false及平面false的一个法向量false，*false，即可得*；（II）求出false，由false运算即可得解；（III）求得平面false的一个法向量false，由false结合同角三角函数的平方关系即可得解.【详解】（I）以false为原点，false分别为false轴，建立如图空间直角坐标系，则false,false,false,false,false,false,false，因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以false，false，所以false,false,false,设平面false的一个法向量为false，则false，令false，则false，因为false，所以false，因为false平面false，所以false平面false；（II）由（1）得，false，设直线false与平面false所成角为false，则false；（III）由正方体的特征可得，平面false的一个法向量为false，则false，所以二面角false的正弦值为false.18.已知椭圆false的右焦点为false，上顶点为false，离心率为false，且false．（1）求椭圆的方程；（2）直线false与椭圆有唯一的公共点false，与false轴的正半轴交于点false，过false与false垂直的直线交false轴于点false．若false，求直线false的方程．【*】（1）false；（2）false.【解析】【分析】（1）求出false的值，结合false的值可得出false的值，进而可得出椭圆的方程；（2）设点false，分析出直线false的方程为false，求出点false的坐标，根据false可得出false，求出false、false的值，即可得出直线false的方程.【详解】（1）易知点false、false，故false，因为椭圆的离心率为false，故false，false，因此，椭圆的方程为false；（2）设点false为椭圆false上一点，先*直线false的方程为false，联立false，消去false并整理得false，false，因此，椭圆false在点false处的切线方程为false.在直线false的方程中，令false，可得false，由题意可知false，即点false，直线false的斜率为false，所以，直线false的方程为false，在直线false方程中，令false，可得false，即点false，因为false，则false，即false，整理可得false，所以，false，因为false，false，故false，false，所以，直线false的方程为false，即false.【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为false与椭圆方程联立，由false进行求解；（2）椭圆false在其上一点false的切线方程为false，再应用此方程时，首先应*直线false与椭圆false相切.19.已知false是公差为2的等差数列，其前8项和为64．false是公比大于0的等比数列，false．（I）求false和false的通项公式；（II）记false，（i）*false是等比数列；（ii）*false【*】（I）false，false；（II）（i）*见解析；（ii）*见解析.【解析】【分析】（I）由等差数列的求和公式运算可得false的通项，由等比数列的通项公式运算可得false的通项公式；（II）（i）运算可得false，结合等比数列的定义即可得*；（ii）放缩得false，进而可得false，结合错位相减法即可得*.【详解】（I）因为false是公差为2的等差数列，其前8项和为64．所以false，所以false，所以false；设等比数列false的公比为false，所以false，解得false（负值舍去），所以false；（II）（i）由题意，false，所以false，所以false，且false，所以数列false是等比数列；（ii）由题意知，false，所以false，所以false，设false，则false，两式相减得false，所以false，所以false.【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的*，因为false无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得*.20.已知false，函数false．（I）求曲线false在点false处的切线方程：（II）*false存在唯一的极值点（III）若存在a，使得false对任意false成立，求实数b的取值范围．【*】（I）false；（II）*见解析；（III）false【解析】【分析】（I）求出false在false处的导数，即切线斜率，求出false，即可求出切线方程；（II）令false，可得false，则可化为*false与false仅有一个交点，利用导数求出false的变化情况，数形结合即可求解；（III）令false，题目等价于存在false，使得false，即false，利用导数即可求出false的最小值.【详解】（I）false，则false，又false，则切线方程为false；（II）令false，则false，令false，则false，当false时，false，false单调递减；当false时，false，false单调递增，当false时，false，false，当false时，false，画出false大致图像如下：所以当false时，false与false仅有一个交点，令false，则false，且false，当false时，false，则false，false单调递增，当false时，false，则false，false单调递减，false为false的极大值点，故false存在唯一的极值点；（III）由（II）知false，此时false，所以false，令false，若存在a，使得false对任意false成立，等价于存在false，使得false，即false，false，false，当false时，false，false单调递减，当false时，false，false单调递增，所以false，故false，所以实数b的取值范围false.【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为*false与false仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在false，使得false，即false.