高考_高考数学真题试卷_地方卷高考理科数学_2019年高考理科数学试题(天津卷)及参考*

2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将*涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出*后，用铅笔将答题卡上对应题目的*标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他*标号。2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：·如果事件false、false互斥，那么false．·如果事件false、false相互*，那么false．·圆柱的体积公式false，其中false表示圆柱的底面面积，false表示圆柱的高．·棱锥的体积公式false，其中false表示棱锥的底面面积，false表示棱锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设*false，则falseA．falseB．falseC．falseD．false2．设变量false满足约束条件false则目标函数false的最大值为A．2B．3C．5D．63．设false，则“false”是“false”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出false的值为A．5B．8C．24D．295．已知抛物线false的焦点为false，准线为false，若false与双曲线false的两条渐近线分别交于点false和点false，且false（false为原点），则双曲线的离心率为A．falseB．falseC．falseD．false6．已知false，false，false，则false的大小关系为A．falseB．falseC．falseD．false7．已知函数false是奇函数，将false的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为false．若false的最小正周期为false，且false，则falseA．falseB．falseC．falseD．false8．已知false，设函数false若关于false的不等式false在false上恒成立，则false的取值范围为A．falseB．falseC．falseD．false2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑*墨水的钢笔或签字笔将*写在答题卡上。2．本卷共12小题，共110分。二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．false是虚数单位，则false的值为_____________．10．false的展开式中的常数项为_____________．11．已知四棱锥的底面是边长为false的正方形，侧棱长均为false．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．12．设false，直线false和圆false（false为参数）相切，则false的值为_____________．13．设false，则false的最小值为_____________．14．在四边形false中，false，点false在线段false的延长线上，且false，则false_____________．三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，*过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在false中，内角false所对的边分别为false．已知false，false．（Ⅰ）求false的值；（Ⅱ）求false的值．16．（本小题满分13分）设*、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为false．假定*、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互*．（Ⅰ）用false表示*同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量false的分布列和数学期望；（Ⅱ）设false为事件“上学期间的三天中，*同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件false发生的概率．17．（本小题满分13分）如图，false平面false，false，false．（Ⅰ）求*：false平面false；（Ⅱ）求直线false与平面false所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角false的余弦值为false，求线段false的长．18．（本小题满分13分）设椭圆false的左焦点为false，上顶点为false．已知椭圆的短轴长为4，离心率为false．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点false在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点false为直线false与false轴的交点，点false在false轴的负半轴上．若false（false为原点），且false，求直线false的斜率．19．（本小题满分14分）设false是等差数列，false是等比数列．已知false．（Ⅰ）求false和false的通项公式；（Ⅱ）设数列false满足false其中false．（i）求数列false的通项公式；（ii）求false．20．（本小题满分14分）设函数false为false的导函数．（Ⅰ）求false的单调区间；（Ⅱ）当false时，*false；（Ⅲ）设false为函数false在区间false内的零点，其中false，*false．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【*】D【解析】【分析】先求false，再求false。【详解】因为false，所以false.故选D。【点睛】*的运算问题，一般要先研究*中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．2.设【*】C【解析】【分析】画出可行域，用截距模型求最值。【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的*影部分。目标函数的几何意义是直线false在false轴上的截距，故目标函数在点false处取得最大值。由false，得false，所以false。故选C。【点睛】线*规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．3.【*】B【解析】【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】false，即false，false等价于false，故false推不出false；由false能推出false。故“false”是“false”的必要不充分条件。故选B。【点睛】充要条件的三种判断方法：(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)*法：根据由p，q成立的对象构成的*之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价*，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．4.【*】B【解析】【分析】根据程序框图，逐步写出运算结果。【详解】详解：falsefalsefalse，结束循环，故输出false。故选B。【点睛】解决此类型问题时要注意：①要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，根据各自的特点执行循环体；②要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；③要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．5.【*】D【解析】【分析】只需把false用false表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。【详解】false的方程为false，双曲线的渐近线方程为false，故得false，所以false，false，false，所以false。故选D。【点睛】双曲线false的离心率false。6【*】A【解析】【分析】利用利用false等中间值区分各个数值的大小。【详解】false，false，false，故false，所以false。故选A。【点睛】利用指数函数、对数函数的单调*时要根据底数与false的大小区别对待。7.【*】A【解析】【分析】只需根据函数*质逐步得出false值即可。【详解】false为奇函数，可知false，由false可得false；把其图象上各点的横坐标伸长到原来的false倍，得false，由false的最小正周期为false可得false，由false，可得false，所以false，false。故选C。【点睛】在false处有定义的奇函数必有false。8.【*】C【解析】【分析】先判断false时，false在false上恒成立；若false在false上恒成立，转化为false在false上恒成立。【详解】首先false，即false，当false时，false，当false时，false，故当false时，false在false上恒成立；若false在false上恒成立，即false在false上恒成立，令false，则false，易知false为函数false在false唯一的极小值点、也是最小值点，故false，所以false。综上可知，false的取值范围是false。故选C。【点睛】false在false上恒成立，等价于false；false在false上恒成立，等价于false。第Ⅱ卷二.填空题：本大题共6小题.9.false是虚数单位，则false的值为________.【*】false【解析】【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。【详解】解法一：false。解法二：false。【点睛】所以解答与复数概念或运算有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．10.false是展开式中的常数项为________.【*】false【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出false的值，再求出其常数项。【详解】false，由false，得false，故所求的常数项为false.【点睛】二项式中含有负号时，要把负号与其后面的字母看作一个整体，计算中要特别注意符号。11.已知四棱锥的底面是边长为false的正方形，侧棱长均为false.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_______.【*】false【解析】【分析】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。【详解】四棱锥的高为false，故圆柱高为false，圆柱的底面半径为false，故其体积为false。【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。12.设false，直线false和圆false（false为参数）相切，则false的值为____.【*】false【解析】【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出false满足的方程，解之解得。【详解】圆心坐标为false，圆的半径为false，所以false，即false，解得false。【点睛】直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判断。13.设false，则false的最小值为______.【*】false【解析】【分析】把分子展开化为false，再利用基本不等式求最值。【详解】false，等号当且仅当false，即false时成立。故所求的最小值为false。【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验*等号是否能够成立。14.在四边形false中，false，点false在线段false的延长线上，且false，则false_________.【*】false【解析】【分析】可利用向量的线*运算，也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。【详解】解法一：如图，过点false作false的平行线交false于false，因为false，故四边形false为菱形。因为false，false，所以false，即false.因为false，所以false.解法二：建立如图所示的直角坐标系，则false，false。因为false∥false，false，所以false，因为false，所以false，所以直线false的斜率为false，其方程为false，直线false的斜率为false，其方程为false。由false得false，false，所以false所以false。【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便。三.解答题.解答应写出文字说明，*过程或演算步骤.15.在false中，内角false所对边分别为false.已知false，false.（Ⅰ）求false的值；（Ⅱ）求false的值.【*】（Ⅰ）false（Ⅱ）false【解析】【分析】(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到false的比例关系，然后利用余弦定理可得false的值(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得false的值，然后利用两角和的正弦公式可得false的值.【详解】（Ⅰ）解：在false中，由正弦定理false，得false，又由false，得false，即false.又因为false，得到false，false.由余弦定理可得false.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得false，从而false，false，故false【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.16.设*、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为false.假定*、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互*.（Ⅰ）用false表示*同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量false的分布列和数学期望；（Ⅱ）设false为事件“上学期间的三天中，*同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件false发生的概率.【*】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）false【解析】【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；(Ⅱ)由题意结合*事件概率公式计算可得满足题意的概率值.【详解】(Ⅰ)因为*同学上学期间的三天中到校情况相互*，且每天7:30之前到校的概率均为false，故false，从面false.所以，随机变量false的分布列为：false0123falsefalsefalsefalse随机变量false的数学期望false.(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为false，则false.且false.由题意知事件false与false互斥，且事件false与false，事件false与false均相互*，从而由(Ⅰ)知：falsefalsefalsefalse.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互*事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.17.如图，false平面false，false，false.（Ⅰ）求*：false平面false；（Ⅱ）求直线false与平面false所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角false的余弦值为false，求线段false的长.【*】（Ⅰ）见*；（Ⅱ）false（Ⅲ）false【解析】【分析】首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系(Ⅰ)利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可*线面平行；(Ⅱ)分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；(Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程，解方程可得CF的长度.【详解】依题意，可以建立以A为原点，分别以false的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得false.设false，则false.(Ⅰ)依题意，false是平面ADE的法向量，又false，可得false，又因为直线false平面false，所以false平面false.(Ⅱ)依题意，false，设false为平面BDE的法向量，则false，即false，不妨令z=1，可得false，因此有false.所以，直线false与平面false所成角的正弦值为false.(Ⅲ)设false为平面BDF的法向量，则false，即false.不妨令y=1，可得false.由题意，有false，解得false.经检验，符合题意｡所以，线段false的长为false.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论*能力.18.设椭圆false的左焦点为false，上顶点为false.已知椭圆的短轴长为4，离心率为false.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点false在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点false为直线false与false轴的交点，点false在false轴的负半轴上.若false（false为原点），且false，求直线false的斜率.【*】（Ⅰ）（Ⅱ）false或false.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程，解方程可得椭圆方程；(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P的值，从而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.【详解】(Ⅰ)设椭圆的半焦距为false，依题意，false，又false，可得false，b=2，c=1.所以，椭圆方程为.(Ⅱ)由题意，设false.设直线false斜率为false，又false，则直线false的方程为false，与椭圆方程联立false，整理得false，可得false，代入false得false，进而直线false的斜率false，在false中，令false，得false.由题意得false，所以直线false的斜率为false.由false，得false，化简得false，从而false.所以，直线false的斜率为false或false.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何*质､直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的*质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.19.设false是等差数列，false是等比数列.已知false.（Ⅰ）求false和false的通项公式；（Ⅱ）设数列false满足false其中false.（i）求数列false的通项公式；（ii）求false.【*】（Ⅰ）false；false（Ⅱ）（i）false（ii）false【解析】【分析】(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列false的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n项和公式可得false的值.【详解】(Ⅰ)设等差数列false的公差为false，等比数列false的公比为false.依题意得false，解得false，故false，false.所以，false的通项公式为false，false的通项公式为false.(Ⅱ)(i)false.所以，数列false的通项公式为false.(ii)falsefalsefalsefalsefalsefalse.【点睛】本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.20.设函数false为false的导函数.（Ⅰ）求false的单调区间；（Ⅱ）当false时，*false；（Ⅲ）设false为函数false在区间false内的零点，其中false，*false.【*】（Ⅰ）单调递增区间为false的单调递减区间为false.（Ⅱ）见*；（Ⅲ）见*【解析】分析】(Ⅰ)由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数false的单调区间；(Ⅱ)构造函数false，结合(Ⅰ)的结果和导函数的符号求解函数false的最小值即可*得题中的结论；(Ⅲ)令false，结合(Ⅰ)，(Ⅱ)的结论、函数的单调*和零点的*质放缩不等式即可*得题中的结果.【详解】(Ⅰ)由已知，有false.当false时，有false，得false，则false单调递减;当false时，有false，得false，则false单调递增.所以，false的单调递增区间为false，false的单调递减区间为false.(Ⅱ)记false.依题意及(Ⅰ)有：false，从而false.当false时，false，故false.因此，false在区间false上单调递减，进而false.所以，当false时，false.(Ⅲ)依题意，false，即false.记false，则false.且falsefalse.由false及(Ⅰ)得false.由(Ⅱ)知，当false时，false，所以false在false上为减函数，因此false.又由(Ⅱ)知false，故：falsefalse.所以false.【点睛】本题主要考查导数的运算､不等式*､运用导数研究函数的*质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力､综合分析问题和解决问题的能力.