高考_高考数学真题试卷_高考数学全国123卷_高考文科数学全国123卷_2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅲ）（含解析版）

绝密★启用前2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知*false，则falseA．falseB．falseC．falseD．false2．若false，则z=A．falseB．falseC．falseD．false3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A．falseB．falseC．falseD．false4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是*古典文学瑰宝，并称为*古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5B．0.6C．0.7D．0.85．函数false在[0，2π]的零点个数为A．2B．3C．4D．56．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=A．16B．8C．4D．27．已知曲线false在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则A．a=e，b=1B．a=e，b=1C．a=e1，b=1D．a=e1，false8．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则A．BM=EN，且直线BM、EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9．执行下边的程序框图，如果输入的false为false，则输出false的值等于A.falseB.falseC.falseD.false10．已知F是双曲线C：false的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若false，则false的面积为A．falseB．falseC．falseD．false11．记不等式组false表示的平面区域为D.命题false；命题false.下面给出了四个命题①false②false③false④false这四个命题中，所有真命题的编号是A．①③B．①②C．②③D．③④12．设false是定义域为R的偶函数，且在false单调递减，则A．false（log3false）＞false（false）＞false（false）B．false（log3false）＞false（false）＞false（false）C．false（false）＞false（false）＞false（log3false）D．false（false）＞false（false）＞false（log3false）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量false，则false___________.14．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若false，则false___________.15．设false为椭圆C:false的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若false为等腰三角形，则M的坐标为___________.16．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体false挖去四棱锥O−EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，false，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、*过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）为了解*、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服*离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计*、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.18．（12分）false的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知false．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．19．（12分）图1是由矩形ADEB、falseABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）*图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的四边形ACGD的面积.20．（12分）已知函数false.（1）讨论false的单调*；（2）当0<a<3时，记false在区间[0，1]的最大值为M，最小值为m，求false的取值范围.21．（12分）已知曲线C：y=false，D为直线y=false上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）*：直线AB过定点：（2）若以E(0，false)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修44：坐标系与参数方程]（10分）如图，在极坐标系Ox中，false，false，false，false，弧false，false，false所在圆的圆心分别是false，false，false，曲线false是弧false，曲线false是弧false，曲线false是弧false.（1）分别写出false，false，false的极坐标方程；（2）曲线false由false，false，false构成，若点false在M上，且false，求P的极坐标.23．[选修45：不等式选讲]（10分）设false，且false.（1）求false的最小值；（2）若false成立，*：false或false.2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）参考*一、选择题1．A2．D3．D4．C5．B6．C7．D8．B9．C10．B11．A12．C二、填空题13．false14．10015．false16．118.8三、解答题17．解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）*离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．18．解：（1）由题设及正弦定理得false．因为sinAfalse0，所以false．由false，可得false，故false．因为false，故false，因此B=60°．（2）由题设及（1）知false的面积false．由正弦定理得false．由于false为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由（1）知A+C=120°，所以30°<C<90°，故false，从而false．因此，false面积的取值范围是false．19．解：（1）由已知得ADfalseBE，CGfalseBE，所以ADfalseCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得ABfalseBE，ABfalseBC，故ABfalse平面BCGE．又因为ABfalse平面ABC，所以平面ABCfalse平面BCGE．（2）取CG的中点M，连结EM，DM.因为AB//DE，ABfalse平面BCGE，所以DEfalse平面BCGE，故DEfalseCG.由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC=60°得EMfalseCG，故CGfalse平面DEM.因此DMfalseCG.在falseDEM中，DE=1，EM=false，故DM=2.所以四边形ACGD的面积为4.20.解：（1）false．令false，得x=0或false.若a>0，则当false时，false；当false时，false．故false在false单调递增，在false单调递减；若a=0，false在false单调递增；若a<0，则当false时，false；当false时，false．故false在false单调递增，在false单调递减.（2）当false时，由（1）知，false在false单调递减，在false单调递增，所以false在[0,1]的最小值为false，最大值为false或false.于是false，false所以false当false时，可知false单调递减，所以false的取值范围是false.当false时，false单调递减，所以false的取值范围是false.综上，false的取值范围是false.21．解：（1）设false，则false.由于false，所以切线DA的斜率为false，故false.整理得false设false，同理可得false.故直线AB的方程为false.所以直线AB过定点false.（2）由（1）得直线AB的方程为false.由false，可得false.于是false.设M为线段AB的中点，则false.由于false，而false，false与向量false平行，所以false.解得t=0或false.当false=0时，false=2，所求圆的方程为false；当false时，false，所求圆的方程为false.22.解：（1）由题设可得，弧false所在圆的极坐标方程分别为false，false，false.所以false的极坐标方程为false，false的极坐标方程为false，false的极坐标方程为false.（2）设false，由题设及（1）知若false，则false，解得false；若false，则false，解得false或false；若false，则false，解得false.综上，P的极坐标为false或false或false或false.23．解：（1）由于falsefalsefalse，故由已知得false，当且仅当x=false，false，false时等号成立．所以false的最小值为false.（2）由于falsefalsefalse，故由已知false，当且仅当false，false，false时等号成立．因此false的最小值为false．由题设知false，解得false或false．绝密★启用前2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）*解析版一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知*false，则false（）A.falseB.falseC.falseD.false【*】A【解析】【分析】先求出*B再求出交集.【详解】由题意得，false，则false．故选A．【点睛】本题考查了*交集的求法，是基础题.2.若false，则false（）A.falseB.falseC.falseD.false【*】D【解析】【分析】根据复数运算法则求解即可.【详解】false．故选D．【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．3.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）A.falseB.falseC.falseD.false【*】D【解析】【分析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是false．故选D．【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．4.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是*古典文学瑰宝，并称为*古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A.falseB.falseC.falseD.false【*】C【解析】【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为9080+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0．7．故选C．【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．5.函数false在false的零点个数为（）A.2B.3C.4D.5【*】B【解析】【分析】令false，得false或false，再根据x的取值范围可求得零点.【详解】由false，得false或false，false，false．false在false的零点个数是3．．故选B．【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．6.已知各项均为正数的等比数列false的前4项和为15，且false，则false（）A.16B.8C.4D.2【*】C【解析】【分析】利用方程思想列出关于false的方程组，求出false，再利用通项公式即可求得false的值．【详解】设正数的等比数列{an}的公比为false，则false，解得false，false，故选C．【点睛】应用等比数列前false项和公式解题时，要注意公比是否等于1，防止出错．7.已知曲线false在点false处的切线方程为false，则（）A.falseB.falseC.falseD.false【*】D【解析】【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得false．【详解】详解：falsefalse将false代入false得false，故选D．【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．8.如图，点false为正方形false的中心，false为正三角形，平面false平面false是线段false的中点，则（）A.false，且直线false是相交直线B.false，且直线false是相交直线C.false，且直线false是异面直线D.false，且直线false是异面直线【*】B【解析】【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．【详解】false，false为false中点false为false中点，falsefalse，false共面相交，选项C，D为错．作false于false，连接false，过false作false于false．连false，false平面false平面false．false平面false，false平面false，false平面false，false与false均为直角三角形．设正方形边长为2，易知false，false．false，故选B．【点睛】本题为立体几何中等问题，考查垂直关系，线面、线线位置关系.9.执行如图所示的程序框图，如果输入的false为false，则输出false的值等于（）A.falseB.falseC.falseD.false【*】D【解析】【分析】根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果.【详解】false不成立false不成立falsefalse成立输出false，故选D．【点睛】循环运算，何时满足精确度成为关键，加大了运算量，输出前项数需准确，此为易错点．10.已知false是双曲线false的一个焦点，点false在false上，false为坐标原点，若false，则false的面积为（）A.falseB.falseC.falseD.false【*】B【解析】【分析】设false，因为false再结合双曲线方程可解出false，再利用三角形面积公式可求出结果.【详解】设点false，则false①．又false，false②．由①②得false，即false，false．故选B．【点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．11.记不等式组false表示的平面区域为false，命题false；命题false.给出了四个命题：①false；②false；③false；④false，这四个命题中，所有真命题的编号是（）A.①③B.①②C.②③D.③④【*】A【解析】【分析】根据题意可画出平面区域再结合命题可判断出真命题.【详解】如图，平面区域D为*影部分，由false得false即A（2，4），直线false与直线false均过区域D，则p真q假，有false假false真，所以①③真②④假．故选A．【点睛】本题考点为线*规划和命题的真假，侧重不等式的判断，有一定难度．不能准确画出平面区域导致不等式误判，根据直线的斜率和截距判断直线的位置，通过直线方程的联立求出它们的交点，可采用特殊值判断命题的真假．12.设false是定义域为false的偶函数，且在false单调递减，则（）A.falseB.falseC.falseD.false【*】C【解析】【分析】由已知函数为偶函数，把false，转化为同一个单调区间上，再比较大小．【详解】false是R的偶函数，false．false，又false在(0，+∞)单调递减，false，false，故选C．【点睛】本题主要考查函数的奇偶*、单调*，考查学生转化与化归及分析问题解决问题的能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量false，则false___________.【*】false【解析】【分析】根据向量夹角公式可求出结果.【详解】详解：false．【点睛】本题考点为平面向量的夹角，为基础题目，难度偏易．不能正确使用平面向量坐标的运算致误，平面向量的夹角公式是*问题的关键．14.记false为等差数列false的前false项和，若false，则false___________.【*】100【解析】【分析】根据题意可求出首项和公差，进而求得结果.【详解】详解：false得falsefalse【点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，难度不大．不能构造等数列首项和公差的方程组致使求解不通，应设出等差数列的公差，为列方程组创造条件，从而求解数列的和．15.设false为椭圆false的两个焦点，false为false上一点且在第一象限.若false为等腰三角形，则false的坐标为___________.【*】false【解析】【分析】根据椭圆的定义分别求出false，设出false的坐标，结合三角形面积可求出false的坐标.【详解】由已知可得false，false．false．设点false的坐标为false，则false，又false，解得false，false，解得false（false舍去），false坐标为false．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单*质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．16.学生到工厂劳动实践，利用false打印技术制作模型.如图，该模型为长方体false挖去四棱锥false后所得的几何体，其中false为长方体的中心，false分别为所在棱的中点，false，false打印所用原料密度为false，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________false.【*】118．8【解析】【分析】根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量.【详解】由题意得，四棱锥OEFGH的底面积为false，其高为点O到底面false的距离为3cm，则此四棱锥的体积为false．又长方体false的体积为false，所以该模型体积为false，其质量为false．【点睛】此题牵涉到的是3D打印新时代背景下的几何体质量，忽略问题易致误，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、*过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17.为了解*、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成false两组，每组100只，其中false组小鼠给服*离子溶液，false组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记false为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于false”，根据直方图得到false的估计值为false.（1）求乙离子残留百分比直方图中false的值；（2）分别估计*、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.【*】(1)false，false；(2)false，false.【解析】【分析】(1)由false可解得和false的值；(2)根据公式求平均数.【详解】(1)由题得false，解得false，由false，解得false.(2)由*离子的直方图可得，*离子残留百分比的平均值为false，乙离子残留百分比的平均值为false【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.18.false的内角false的对边分别为false，已知false．（1）求false；（2）若false为锐角三角形，且false，求false面积的取值范围．【*】(1)false;(2)false.【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得false.(2)根据三角形面积公式false，又根据正弦定理和false得到false关于false的函数，由于false是锐角三角形，所以利用三个内角都小于false来计算false的定义域，最后求解false的值域.【详解】(1)根据题意false由正弦定理得false，因为false，故false，消去false得false。falsefalse，false因为故false或者false，而根据题意false，故false不成立，所以false，又因为false，代入得false，所以false.(2)因为false是锐角三角形，又由前问false，false，false得到false，故false又应用正弦定理false，false，由三角形面积公式有falsefalse.又因false,故false，故false.故false的取值范围是false【点睛】这道题考查了三角函数基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查false是锐角三角形这个条件的利用。考查的很全面，是一道很好的考题.19.图1是由矩形false和菱形false组成的一个平面图形，其中false，false，将其沿false折起使得false与false重合，连结false，如图2.（1）*图2中的false四点共面，且平面false平面false；（2）求图2中的四边形false的面积.【*】(1)见详解；(2)4.【解析】【分析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形false，false和菱形false内部的夹角，所以false，false依然成立，又因false和false粘在一起，所以得*.因为false是平面false垂线，所以易*.(2)欲求四边形false的面积，需求出false所对应的高，然后乘以false即可。【详解】(1)*：falsefalse，false，又因为false和false粘在一起.falsefalse，A，C，G，D四点共面.又false.false平面BCGE，false平面ABC，false平面ABCfalse平面BCGE，得*.(2)取false的中点false，连结false.因为false，false平面BCGE，所以false平面BCGE，故false，由已知，四边形BCGE是菱形，且false得false，故false平面DEM。因此false。在false中，DE=1，false，故false。所以四边形ACGD的面积为4.【点睛】很新颖的立体几何考题。首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的。再者粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法。最后将求四边形false的面积考查考生的空间想象能力.20.已知函数false.（1）讨论false的单调*；（2）当false时，记false在区间false的最大值为false，最小值为false，求false的取值范围.【*】(1)见详解；(2)false.【解析】【分析】(1)先求false的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调*；(2)讨论的范围，利用函数单调*进行最大值和最小值的判断，最终求得false的取值范围.【详解】(1)对false求导得false.所以有当false时，false区间上单调递增，false区间上单调递减，false区间上单调递增；当false时，false区间上单调递增；当false时，false区间上单调递增，false区间上单调递减，false区间上单调递增.(2)若false，false在区间false单调递减，在区间false单调递增，所以区间false上最小值为false.而false，故所以区间false上最大值为false.所以false，设函数false，求导false当false时false从而false单调递减.而false，所以false.即false的取值范围是false.若false，false在区间false单调递减，在区间false单调递增，所以区间false上最小值为false而false，故所以区间false上最大值为false.所以false，而false，所以false.即false的取值范围是false.综上得false的取值范围是false.【点睛】(1)这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少.考查的函数单调*，最大值最小值这种基本概念的计算.思考量不大，由计算量补充.21.已知曲线false，为直线false上的动点，过false作false的两条切线，切点分别为false.（1）*：直线false过定点：（2）若以false为圆心的圆与直线false相切，且切点为线段false的中点，求该圆的方程.【*】(1)见详解；(2)false或false.【解析】【分析】（1）可设false，false，false然后求出A，B两点处的切线方程，比如false：false，又因为false也有类似的形式，从而求出带参数直线false方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线false方程和抛物线方程联立，再通过false为线段false的中点，false得出false的值，从而求出false坐标和false的值，最后求出圆的方程.【详解】(1)*：设false,false,则false。又因为false，所以false.则切线DA的斜率为false，故false，整理得false.设false，同理得false.false,false都满足直线方程false.于是直线false过点false，而两个不同的点确定一条直线，所以直线false方程为false.即false，当false时等式恒成立。所以直线false恒过定点false.(2)由(1)得直线false方程为false，和抛物线方程联立得：false化简得false.于是false,false设false为线段false的中点，则false由于false，而false,false与向量false平行，所以false，解得false或false.当false时，false，false所求圆的方程为false;当false时，false或false，false所求圆的方程为false.所以圆的方程为false或false.【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以.思路较为清晰，但计算量不小.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分选修44：坐标系与参数方程22.如图，在极坐标系false中，false，false，false，false，弧false，false，false所在圆的圆心分别是false，false，false，曲线false是弧false，曲线false是弧false，曲线false是弧false.（1）分别写出false，false，false的极坐标方程；（2）曲线false由false，false，false构成，若点false在false上，且false，求false极坐标.【*】(1)false,false,false,(2)false,false,false,false.【解析】【分析】(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中false的取值范围.(2)根据条件false逐个方程代入求解，最后解出false点的极坐标.【详解】(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.false，false,false.(2)解方程false得false，此时P的极坐标为false解方程false得false或false，此时P的极坐标为false或false解方程false得false，此时P的极坐标为false故P极坐标为false,false,false,false.【点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.选修45：不等式选讲23.设false，且false.（1）求false的最小值；（2）若false成立，*：false或false.【*】(1)false；(2)见详解【解析】【分析】(1)根据条件false，和柯西不等式得到false，再讨论false是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的false代入原不等式，便可得到参数的取值范围.【详解】(1)false故false等号成立当且仅当false而又因false，解得false时等号成立所以false的最小值为false.(2)因为false，所以false.根据柯西不等式等号成立条件，当false，即false时有false成立.所以false成立，所以有false或false.另解：用反*法.若false或false不成立，那么false成立，则false而false左面等号成立当且仅当false，又因为false所以false.故此时false,即false，与原命题矛盾放【点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型.