中考_数学中考真题_地区卷_四川省_绵阳数学07-21_绵阳数学07-21_教师版_2017年四川省绵阳市中考数学试卷（教师版）

2017年四川省绵阳市中考数学试卷（教师版）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每个小题只有一个选项符合题目要求）1．（3分）*人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，﹣0.5的相反数是（　　）A．0.5B．±0.5C．﹣0.5D．5【微点】相反数．【思路】根据相反数的定义求解即可．【解析】解：﹣0.5的相反数是0.5，故选：A．【点拨】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．（3分）下列图案中，属于轴对称图形的是（　　）A．B．C．D．【微点】轴对称图形．【思路】根据轴对称图形的定义求解可得．【解析】解：A，此图案是轴对称图形，有5条对称轴，此选项符合题意；B、此图案不是轴对称图形，此选项不符合题意；C、此图案不是轴对称图形，而是旋转对称图形，不符合题意；D、此图案不是轴对称图形，不符合题意；故选：A．【点拨】本题主要考查轴对称图形，掌握其定义是解题的关键：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．3．（3分）*幅员辽阔，陆地面积约为960万平方公里，“960万”用科学记数法表示为（　　）A．0.96×107B．9.6×106C．96×105D．9.6×102【微点】科学记数法—表示较大的数．【思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解析】解：“960万”用科学记数法表示为9.6×106，故选：B．【点拨】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）如图所示的几何体的主视图正确的是（　　）A．B．C．D．【微点】简单组合体的三视图．【思路】先细心观察原立体图形和长方体的位置关系，结合四个选项选出*．【解析】解：由图可知，主视图由一个矩形和三角形组成．故选：D．【点拨】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．5．（3分）使代数式有意义的整数x有（　　）A．5个B．4个C．3个D．2个【微点】二次根式有意义的条件．【思路】根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得*．【解析】解：由题意，得x+3＞0且4﹣3x≥0，解得﹣3＜x，整数有﹣2，﹣1，0，1，故选：B．【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数，分母不能为零得出不等式是解题关键．6．（3分）为测量*场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理．她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于（　　）A．10mB．12mC．12.4mD．12.32m【微点】相似三角形的应用．【思路】根据题意得出△ABC∽△EDC，进而利用相似三角形的*质得出*．【解析】解：由题意可得：AB＝1.5m，BC＝0.5m，DC＝4m，△ABC∽△EDC，则，即，解得：DE＝12，故选：B．【点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．7．（3分）关于x的方程2x2+mx+n＝0的两个根是﹣2和1，则nm的值为（　　）A．﹣8B．8C．16D．﹣16【微点】根与系数的关系．【思路】由方程的两根结合根与系数的关系可求出m、n的值，将其代入nm中即可求出结论．【解析】解：∵关于x的方程2x2+mx+n＝0的两个根是﹣2和1，∴1，2，∴m＝2，n＝﹣4，∴nm＝（﹣4）2＝16．故选：C．【点拨】本题考查了根与系数的关系，根据方程的两根结合根与系数的关系求出m、n的值是解题的关键．8．（3分）“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径AB＝8cm，圆柱体部分的高BC＝6cm，圆锥体部分的高CD＝3cm，则这个陀螺的表面积是（　　）A．68πcm2B．74πcm2C．84πcm2D．100πcm2【微点】几何体的表面积；圆锥的计算．【思路】圆锥的表面积加上圆柱的侧面积即可求得其表面积．【解析】解：∵底面圆的直径为8cm，高为3cm，∴母线长为5cm，∴其表面积＝π×4×5+42π+8π×6＝84πcm2，故选：C．【点拨】考查了圆锥的计算及几何体的表面积的知识，解题的关键是能够了解圆锥的有关的计算方法，难度不大．9．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝2，∠AEO＝120°，则FC的长度为（　　）A．1B．2C．D．【微点】全等三角形的判定与*质；矩形的*质；解直角三角形．【思路】先根据矩形的*质，推理得到OF＝CF，再根据Rt△BOF求得OF的长，即可得到CF的长．【解析】解：∵EF⊥BD，∠AEO＝120°，∴∠EDO＝30°，∠DEO＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠OBF＝∠OCF＝30°，∠BFO＝60°，∴∠FOC＝60°﹣30°＝30°，∴OF＝CF，又∵Rt△BOF中，BOBDAC，∴OF＝tan30°×BO＝1，∴CF＝1，故选：A．【点拨】本题主要考查了矩形的*质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分．10．（3分）将二次函数y＝x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y＝2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是（　　）A．b＞8B．b＞﹣8C．b≥8D．b≥﹣8【微点】一次函数图象与系数的关系；二次函数图象与几何变换．【思路】先根据平移原则：上→加，下→减，左→加，右→减写出解析式，再列方程组，有公共点则△≥0，则可求出b的取值．【解析】解：由题意得：平移后得到的二次函数的解析式为：y＝（x﹣3）2﹣1，则，（x﹣3）2﹣1＝2x+b，x2﹣8x+8﹣b＝0，△＝（﹣8）2﹣4×1×（8﹣b）≥0，b≥﹣8，故选：D．【点拨】主要考查的是函数图象的平移和两函数的交点问题，两函数有公共点：说明两函数有一个交点或两个交点，可利用方程组→一元二次方程→△≥0的问题解决．11．（3分）如图，直角△ABC中，∠B＝30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为（　　）A．B．C．D．【微点】三角形的重心；相似三角形的判定与*质．【思路】根据三角形的重心*质可得OCCE，根据直角三角形的*质可得CE＝AE，根据等边三角形的判定和*质得到CMCE，进一步得到OMCE，即OMAE，根据垂直平分线的*质和含30°的直角三角形的*质可得EFAE，MFEF，依此得到MFAE，从而得到的值．【解析】解：∵点O是△ABC的重心，∴OCCE，∵△ABC是直角三角形，∴CE＝BE＝AE，∵∠B＝30°，∴∠FAE＝∠B＝30°，∠BAC＝60°，∴∠FAE＝∠CAF＝30°，△ACE是等边三角形，∴CMCE，∴OMCECECE，即OMAE，∵BE＝AE，∴EFAE，∵EF⊥AB，∴∠AFE＝60°，∴∠FEM＝30°，∴MFEF，∴MFAE，∴．故选：D．【点拨】考查了三角形的重心，等边三角形的判定和*质，垂直平分线的*质，含30°的直角三角形的*质，关键是得到OMAE，MFAE．12．（3分）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则的值为（　　）A．B．C．D．【微点】规律型：图形的变化类．【思路】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求出即可．【解析】解：a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，an＝n（n+2）；∴（1）（1），故选：C．【点拨】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将*填写在答题卡相应的横线上）13．（3分）分解因式：8a2﹣2＝　2（2a+1）（2a﹣1）　．【微点】提公因式法与公式法的综合运用．【思路】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得*．【解析】解：8a2﹣2，＝2（4a2﹣1），＝2（2a+1）（2a﹣1）．故*为：2（2a+1）（2a﹣1）．【点拨】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意分解要彻底．14．（3分）关于x的分式方程的解是　x＝﹣2　．【微点】解分式方程．【思路】把分式方程转化为整式方程即可解决问题．【解析】解：两边乘（x+1）（x﹣1）得到，2x+2﹣（x﹣1）＝﹣（x+1），解得x＝﹣2，经检验，x＝﹣2是分式方程的解．∴x＝﹣2．故*为x＝﹣2．【点拨】本题考查分式方程的解，记住即为分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．15．（3分）如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是（6，0），点C的坐标是（1，4），则点B的坐标是　（7，4）　．【微点】坐标与图形*质；平行四边形的*质．【思路】根据平行四边形的*质及A点和C的坐标求出点B的坐标即可．【解析】解：∵四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是（6，0），点C的坐标是（1，4），∴BC＝OA＝6，6+1＝7，∴点B的坐标是（7，4）；故*为：（7，4）．【点拨】本题考查了平行四边形的*质、坐标与图形*质；熟练掌握平行四边形的*质是解决问题的关键．16．（3分）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率是　　．【微点】列表法与树状图法．【思路】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的结果数，然后根据概率公式求解．【解析】解：画树状图为：共有36种等可能的结果数，其中“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的结果数为9，所以“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率．故*为．【点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．17．（3分）将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA＝5，AB＝6，AD：AB＝1：3，则MD的最小值为　2　．【微点】等腰三角形的*质；旋转的*质；相似三角形的判定与*质．【思路】先求出AD＝2，BD＝4，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMD+∠A＝∠EDF+∠BDN，然后求出∠AMD＝∠BDN，从而得到△AMD和△BDN相似，根据相似三角形对应边成比例可得，求出MA•DN＝4MD，再将所求代数式整理出完全平方的形式，然后根据非负数的*质求出最小值即可．【解析】解：∵AB＝6，AD：AB＝1：3，∴AD＝62，BD＝6﹣2＝4，∵△ABC和△FDE是形状、大小完全相同的两个等腰三角形，∴∠A＝∠B＝∠FDE，由三角形的外角*质得，∠AMD+∠A＝∠EDF+∠BDN，∴∠AMD＝∠BDN，∴△AMD∽△BDN，∴，∴MA•DN＝BD•MD＝4MD，∴，∴MDMD（）2+（）2﹣22（）2+2，∴，即MD，如图，连接CD，过点C作CG⊥AB于G，∵AC＝BC＝5，AB＝6，∴AG＝3，CG＝4，∴DG＝AG﹣AD＝3﹣2＝1，在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CD当点M和点C重合时，DM最大，即：DM最大当DM⊥AC时，DM最小，过点D作DH⊥AC于H，即：DM最小＝DH，在Rt△ACG中，sin∠A，在Rt△ADH中，sin∠A，∴DH＝ADsin∠A＝2，∵DM，∴DM时，MD有最小值为2．故*为：2．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与*质，等腰三角形的*质，旋转变换，难点在于将所求代数式整理出完全平方的形式从而判断出最小值．18．（3分）如图，过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延长线于点F．在AF上取点M，使得AMAF，连接CM并延长交直线DE于点H．若AC＝2，△AMH的面积是，则的值是　8　．【微点】相似三角形的判定与*质；解直角三角形．【思路】过点H作HG⊥AC于点G，由于AF平分∠CAE，DE∥BF，∠HAF＝∠AFC＝∠CAF，从而AC＝CF＝2，利用△AHM∽△FCM，，从而可求出AH＝1，利用△AMH的面积是，从而可求出HG，利用勾股定理即可求出CG的长度，所以．【解析】解：过点H作HG⊥AC于点G，∵AF平分∠CAE，DE∥BF，∴∠HAF＝∠AFC＝∠CAF，∴AC＝CF＝2，∵AMAF，∴，∵DE∥CF，∴△AHM∽△FCM，∴，∴AH＝1，设△AHM中，AH边上的高为m，△FCM中CF边上的高为n，∴，∵△AMH的面积为：，∴AH•m∴m，∴n，设△AHC的面积为S，∴3，∴S＝3S△AHM，∴AC•HG，∴HG，∴由勾股定理可知：AG，∴CG＝AC﹣AG＝2∴8故*为：8【点拨】本题考查相似三角形综合问题，解题的关键是通过相似三角形的*质求出HG、CG、AH长度，本题属于难题．三、解答题（本大题共7小题，共86分，解答应写出文字说明、*过程或演算步骤）19．（16分）（1）计算：cos245°﹣（﹣2）﹣1﹣||；（2）先化简，再求值：（），其中x＝3，y．【微点】实数的运算；分式的化简求值；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【思路】（1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值可以解答本题；（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．【解析】解：（1）cos245°﹣（﹣2）﹣1﹣||＝0.2＝0.2＝0.7；（2）（），当x＝3，y时，原式．【点拨】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．20．（11分）红星中学课外兴趣活动小组对某水稻品种的稻穗谷粒数目进行调查，从试验田中随机抽取了30株，得到的数据如下（单位：颗）：182195201179208204186192210204175193200203188197212207185206188186198202221199219208187224（1）对抽取的30株水稻稻穗谷粒数进行统计分析，请补全下表中空格，并完善直方图：谷粒颗数175≤x＜185185≤x＜195195≤x＜205205≤x＜215215≤x＜225频数　3　810　6　3对应扇形图中区域　B　DE　A　C如图所示的扇形统计图中，扇形A对应的圆心角为　72　度，扇形B对应的圆心角为　36　度；（2）该试验田中大约有3000株水稻，据此估计，其中稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻有多少株？【微点】用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；扇形统计图．【思路】（1）根据表格中数据填表画图即可，利用360°×其所占的百分比求出扇形对应的圆心角度数；（2）用360°乘以样本中稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻所占百分比即可．【解析】解：（1）填表如下：谷粒颗数175≤x＜185185≤x＜195195≤x＜205205≤x＜215215≤x＜225频数381063对应扇形图中区域BDEAC如图所示：如图所示的扇形统计图中，扇形A对应的圆心角为：360°72度，扇形B对应的圆心角为360°36度．故*为3，6，B，A，72，36；（2）3000900．即据此估计，其中稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻有900株．【点拨】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了利用样本估计总体．21．（11分）*南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．（1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．【微点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．【思路】（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据“1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有（10﹣m）台，根据总费用＝大型收割机的费用+小型收割机的费用，即可得出w与m之间的函数关系式，由“要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，依此可找出各方案，再结合一次函数的*质即可解决最值问题．【解析】解：（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据题意得：，解得：．答：每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷．（2）设大型收割机用m台，总费用为w元，则小型收割机用（10﹣m）台，根据题意得：w＝300×2m+200×2（10﹣m）＝200m+4000．∵2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，∴，解得：5≤m≤7，∴有三种不同方案．∵w＝200m+4000中，200＞0，∴w值随m值的增大而增大，∴当m＝5时，总费用取最小值，最小值为5000元．答：有三种方案，当大型收割机用5台、小型收割机用5台时，总费用最低，最低费用为5000元．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的*质以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据数量间的关系，找出总费用w与使用大型收割机m台之间的函数关系式．22．（11分）如图，设反比例函数的解析式为y（k＞0）．（1）若该反比例函数与正比例函数y＝2x的图象有一个交点的纵坐标为2，求k的值；（2）若该反比例函数与过点M（﹣2，0）的直线l：y＝kx+b的图象交于A，B两点，如图所示，当△ABO的面积为时，求直线l的解析式．【微点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路】（1）由题意可得A（1，2），利用待定系数法即可解决问题；（2）把M（﹣2，0）代入y＝kx+b，可得b＝2k，可得y＝kx+2k，由消去y得到x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，推出B（﹣3，﹣k），A（1，3k），根据△ABO的面积为，可得•2•3k•2•k，解方程即可解决问题；【解析】解：（1）由题意A（1，2），把A（1，2）代入y，得到3k＝2，∴k．（2）把M（﹣2，0）代入y＝kx+b，可得b＝2k，∴y＝kx+2k，由消去y得到x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，∴B（﹣3，﹣k），A（1，3k），∵△ABO的面积为，∴•2•3k•2•k，解得k，∴直线l的解析式为yx．【点拨】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点、待定系数法、二元一次方程组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．（11分）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N．（1）求*：CA＝；（2）连接DF，若cos∠DFA，AN＝2，求圆O的直径的长度．【微点】勾股定理；圆周角定理；切线的*质；解直角三角形．【思路】（1）（方法一）连接OF，根据切线的*质结合四边形内角和为360°，即可得出∠M+∠FOH＝180°，由三角形外角结合平行线的*质即可得出∠M＝∠C＝2∠OAF，再通过互余利用角的计算即可得出∠CAN＝90°﹣∠OAF＝∠ANC，由此即可*出CA＝；（方法二）连接OF，根据切线的*质可得出∠MFO＝90°，即∠MFN+∠NFO＝90°，由CD⊥AB可得出∠ANH+∠NAH＝90°，根据OF＝OA可得出∠NFO＝∠NAH，进而可得出∠MFN＝∠A，结合平行线的*质可得出∠MFN＝∠NAC＝∠ANC，再由等角对等边可*出CA＝；（2）连接OC，由圆周角定理结合cos∠DFA、AN＝2，即可求出CH、AH的长度，设圆的半径为r，则OH＝r﹣6，根据勾股定理即可得出关于r的一元一次方程，解之即可得出r，再乘以2即可求出圆O直径的长度．【解析】（1）*：（方法一）连接OF，则∠OAF＝∠OFA，如图1所示．∵ME与⊙O相切，∴OF⊥ME．∵CD⊥AB，∴∠M+∠FOH＝180°．∵∠BOF＝∠OAF+∠OFA＝2∠OAF，∠FOH+∠BOF＝180°，∴∠M＝2∠OAF．∵ME∥AC，∴∠M＝∠C＝2∠OAF．∵CD⊥AB，∴∠ANC+∠OAF＝∠BAC+∠C＝90°，∴∠ANC＝90°﹣∠OAF，∠BAC＝90°﹣∠C＝90°﹣2∠OAF，∴∠CAN＝∠OAF+∠BAC＝90°﹣∠OAF＝∠ANC，∴CA＝．（方法二）连接OF，如图1所示．∵ME与⊙O相切，∴∠MFO＝90°，∴∠MFN+∠NFO＝90°．∵CD⊥AB，∴∠ANH+∠NAH＝90°．∵OF＝OA，∴∠NFO＝∠NAH，∴∠MFN＝∠A．∵ME∥AC，∴∠MFN＝∠NAC，∴∠NAC＝∠ANC，∴AC＝．（2）连接OC，如图2所示．∵cos∠DFA，∠DFA＝∠ACH，∴．设CH＝4a，则AC＝5a，AH＝3a，∵CA＝，∴NH＝a，∴ANa＝2，∴a＝2，AH＝3a＝6，CH＝4a＝8．设圆的半径为r，则OH＝r﹣6，在Rt△OCH中，OC＝r，CH＝8，OH＝r﹣6，∴OC2＝CH2+OH2，r2＝82+（r﹣6）2，解得：r，∴圆O的直径的长度为2r．【点拨】本题考查了切线的*质、勾股定理、解直角三角形、圆周角定理以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）（方法一）通过角的计算找出∠CAN＝90°﹣∠OAF＝∠ANC；（方法二）利用平行线的*质结合等角的余角相等找出∠MFN＝∠NAC＝∠ANC；（2）利用解直角三角形求出CH、AH的长度．24．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线yx+1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．（1）求抛物线的解析式；（2）*：圆C与x轴相切；（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求BE：MF的值．【微点】二次函数综合题．【思路】（1）可设抛物线的顶点式，再结合抛物线过点（4，2），可求得抛物线的解析式；（2）联立直线和抛物线解析式可求得B、D两点的坐标，则可求得C点坐标和线段BD的长，可求得圆的半径，可*得结论；（3）过点C作CH⊥m于点H，连接CM，可求得MH，利用（2）中所求B、D的坐标可求得FH，则可求得MF和BE的长，可求得其比值．【解析】解：（1）∵已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1，∵抛物线经过点（4，2），∴2＝a（4﹣2）2+1，解得a，∴抛物线解析式为y（x﹣2）2+1x2﹣x+2；（2）联立直线和抛物线解析式可得，解得或，∴B（3，），D（3，），∵C为BD的中点，∴点C的纵坐标为，∵BD5，∴圆的半径为，∴点C到x轴的距离等于圆的半径，∴圆C与x轴相切；（3）如图，过点C作CH⊥m，垂足为H，连接CM，由（2）可知CM，CH1，在Rt△CMH中，由勾股定理可求得MH＝2，∵HF，∴MF＝HF﹣MH2，∵BE1，∴．【点拨】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、切线的判定和*质、勾股定理等知识．在（1）中注意利用抛物线的顶点式，在（2）中求得B、D的坐标是解题的关键，在（3）中求得BE、MF的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合*较强，计算量较大，难度较大．25．（14分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动，到达点B停止运动，在点M的运动过程中，过点M作直线MN交AC于点N，且保持∠NMC＝45°，再过点N作AC的垂线交AB于点F，连接MF．将△MNF关于直线NF对称后得到△ENF，已知AC＝8cm，BC＝4cm，设点M运动时间为t（s），△ENF与△ANF重叠部分的面积为y（cm2）．（1）在点M的运动过程中，能否使得四边形MNEF为正方形？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；（2）求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围；（3）当y取最大值时，求sin∠NEF的值．【微点】四边形综合题．【思路】（1）由已知得出＝CM＝t，FN∥BC，得出AN＝8﹣t，由平行线*出△ANF∽△ACB，得出对应边成比例求出NFAN（8﹣t），由对称的*质得出∠ENF＝∠MNF＝∠NMC＝45°，MN＝NE，OE＝OM＝＝t，由正方形的*质得出OE＝ONFN，得出方程，解方程即可；（2）分两种情况：①当0＜t≤2时，由三角形面积得出yt2+2t；②当2＜t≤4时，作GH⊥NF于H，由（1）得：NF（8﹣t），GH＝NH，GH＝2FH，得出GHNF（8﹣t），由三角形面积得出y（8﹣t）2（2＜t≤4）；（3）当点E在AB边上时，y取最大值，连接EM，则EF＝BF，EM＝2＝2CM＝2t，EM＝2BM，得出方程，解方程求出＝CM＝2，AN＝6，得出BM＝2，NFAN＝3，因此EM＝2BM＝4，作FD⊥NE于D，由勾股定理求出EB2，求出EF，由等腰直角三角形的*质和勾股定理得出DFNF，在Rt△DEF中，由三角函数定义即可求出sin∠NEF的值．【解析】解：（1）能使得四边形MNEF为正方形；理由如下：连接ME交NF于O，如图1所示：∵∠C＝90°，∠NMC＝45°，NF⊥AC，∴＝CM＝t，FN∥BC，∴AN＝8﹣t，△ANF∽△ACB，∴2，∴NFAN（8﹣t），由对称的*质得：∠ENF＝∠MNF＝∠NMC＝45°，MN＝NE，OE＝OM＝＝t，∵四边形MNEF是正方形，∴OE＝ONFN，∴t（8﹣t），解得：t；即在点M的运动过程中，能使得四边形MNEF为正方形，t的值为；（2）当点E在AB边上时，连接EM，如图3所示：则EF＝BF，EM＝2＝2CM＝2t，EM＝2BM，∵BM＝4﹣t，∴2t＝2（4﹣t），解得：t＝2，分两种情况：①当0＜t≤2时，y（8﹣t）×tt2+2t，即yt2+2t（0＜t≤2）；②当2＜t≤4时，如图2所示：作GH⊥NF于H，由（1）得：NF（8﹣t），GH＝NH，GH＝2FH，∴GHNF（8﹣t），∴yNF′GH（8﹣t）（8﹣t）（8﹣t）2，即y（8﹣t）2（2＜t≤4）；（3）当点E在AB边上时，y取最大值，连接EM，如图3所示：则EF＝BF，EM＝2＝2CM＝2t，EM＝2BM，∵BM＝4﹣t，∴2t＝2（4﹣t），解得：t＝2，∴＝CM＝2，AN＝6，∴BM＝4﹣2＝2，NFAN＝3，∴EM＝2BM＝4，作FD⊥NE于D，则EB2，△DNF是等腰直角三角形，∴EF，DFNF，在Rt△DEF中，sin∠NEF．【点拨】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与*质、相似三角形的判定与*质、勾股定理、三角函数、三角形面积的计算、等腰直角三角形的判定与*质等知识；本题综合*强，有一定难度．