*苏省东台市三仓中学2015届高三12月月考数学试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把*填写在答卷纸相应位置上．1．已知*A＝{1,2}，B＝{－1,0,1}，则A∪B＝____________.新*课标*第*一*网2．命题“false”的否定是__________________．3．已知向量false，且false，则实数false.4．已知一个等比数列前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为243，则该数列的项数为______________．5．已知false，且false，则false___．6．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2≤1，,2－log2x，x＞1，))则满足f(x)≥1的x的取值范围是____________．7．已知函数false，若函数false的零点所在的区间为false，则.false___.8．如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，则eq\o(AO,\s\up6(→))＝____________(用向量a和b表示)．9．若函数falsefalse是偶函数，且它的值域为false，则false．10．false的图象与直线false相切，相邻切点之间的距离为false．若点false是false图象的一个对称中心，且false，则false___．11．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(2)＝1.若f(x＋a)≤∈[－1,1]恒成立，则实数a的取值范围是______________．12．函数false，若false，且false，则false的最小值为___．13．已知向量false，false满足false，false，false，false，若false，则false所有可能的值为_________．14．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若函数f(x)在区间[－1,0]上是单调减函数，则a2＋b2的最小值为____________．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，*过程或演算步骤，请把*写在答卷纸相应位置上．（本题满分14分）已知函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))).(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的值域[来源:学,科,网]16．（本题满分14分）在false中，false分别为角false所对的边，已知向量false，false，且false.（1）求角false的大小；（2）若false，false，求false的值.（本小题满分14分）已知函数f(x)＝eq\r(\f(2x－1,1－x))，若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．(1)写出函数g(x)的解析式；(2)记y＝g(x)的定义域为A，不等式x2－(2a－1)x＋a(a－1)≤0的解集为B.若A是B的真子集，求a的取值范围（本小题满分16分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(3x,500)))万元(a＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.(1)若要保*剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的最大值是多少？.19．（本小题满分16分）已知数列{an}的首项a1＝2，且对任意n∈N*，都有an＋1＝ban＋c，其中b，c是常数．(1)若数列{an}是等差数列，且c＝2，求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}是等比数列，且|b|＜1，当从数列{an}中任意取出相邻的三项，按某种顺序排列成等差数列，求使数列{an}的前n项和Sn＜eq\f(341,256)成立的n的取值*．20．（本小题满分16分）已知函数false，其中false为实常数.（1）若false在false上恒成立，求false的取值范围；（2）已知false，false是函数false图象上两点，若在点false处的两条切线相互平行，求这两条切线间距离的最大值；（3）设定义在区间false上的函数false在点false处的切线方程为false，当false时，若false在false上恒成立，则称点false为函数false的“好点”．试问函数false是否存在“好点”．若存在，请求出所有“好点”坐标，若不存在，请说明理由．二、解答题(1)∵f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(\r(3),2)sin2x＋(sinx－cosx)(sinx＋cosx)(3分)＝eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(\r(3),2)sin2x＋sin2x－cos2＝eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(\r(3),2)sin2x－cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).(6分)∴f(x)最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(8分)(2)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴2x－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，(10分)∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))max＝1，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))min＝－eq\f(1,2)，(12分)即f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)).(14分)16、（1）因为false，所以false，即：false3分因为false，所以false，故false，5分因为false，所以false.7分（2）由（1）可知，因为false，false，所以false，①9分又false，②由①②解得false11分所以false14分17、(1)在函数y＝g(x)的图象上任取一点P(x，y)，则P关于原点的对称点P′(－x，－y)在y＝f(x)的图象上，(2分)则－y＝eq\r(\f(2－1,1－))＝eq\r(\f(－2x－1,x＋1))g(x)＝－eq\r(\f(－2x－1,x＋1)).(6分)(直接写出解析式无过程，扣2分)(2)由－eq\f(2x＋1,x＋1)≥0－1＜x≤－eq\f(1,2)，即A＝eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))；(8分)2－(2a－1)x＋a(a－1)≤0a－1≤≤a，即B＝[a－1，a]．(11分)因为A是B的真子集，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≤－1,a≥－\f(1,2)))，得－eq\f(1,2)≤a≤0.(14分)18、解：(1)由题意得：10(1000－x)(1＋0.2x%)≥10×1000，(4分)2－500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤即最多调整500名员工从事第三产业．(6分)(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(3x,500)))x万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1000－x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,500)x))万元，则10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(3x,500)))≤10(1000－x)(1＋0.2x%)，(10分)所以ax－eq\f(3x2,500)≤1000＋2x－x－eq\f(1,500)2，所以ax≤eq\f(2x2,500)＋1000＋x，即a≤eq\f(2x,500)＋eq\f(1000,x)＋1恒成立．(12分)因为eq\f(2,500)eq\f(1000,x)≥2eq\r(\f(2x,500)·\f(1000,x))＝4，当且仅当eq\f(2x,500)＝eq\f(1000,x)，即x＝500时等号成立．(14分)所以a≤5，即a的最大值为5.(15分)19、(1)当c＝2时，由已知得a1＝2，a2＝ba1＋2＝2b＋2，a3＝ba2＋2＝2b2＋2b＋2，因为{an}是等差数列，所以a1，a2，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2a2，[来源:Z#xx#k.]即2＋(2b2＋2b＋2)＝2(2b＋2)，所以b2－b＝0，解得b＝0，或b＝1.(2分)当b＝0时，an＝2，对n∈N*，an＋1－an＝0成立，所以数列{an}是等差数列，当b＝1时，an＋1＝an＋2，对n∈N*，an＋1－an＝2成立，所以数列{an}是等差数列；所以数列{an}的通项公式分别为an＝2或an＝2n.(4分)(2)因为{an}是等比数列，所以a1，a2，a3成等比数列，所以a1a3＝aeq\o\al(2,2)，即2[b(2b＋c)＋c]＝(2b＋c)2，化简得2bc＋c2＝2c，所以c＝0或2b＋c＝2.当2b＋c＝2时，a2＝ba1＋c＝2b＋c＝2，所以an＝2，不满足Sn＜eq\f(341,256).当c＝0时，若b＝0，则与a1＝2矛盾，所以b≠0，因此an＝2bn－1.(8分)则an＋1＝2bn，an＋2＝2bn＋1，因为an，an＋1，an＋2按某种顺序排列成等差数列，所以有1＋b＝2b2，或1＋b2＝2b，或b＋b2＝2，解之得b＝1或b＝－eq\f(1,2)或b＝－2.(12分)又因为|b|＜1，所以b＝－eq\f(1,2)，所以Sn＝eq\f(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n)),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\f(4,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n))，由Sn＜eq\f(341,256)，得eq\f(4,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n))＜eq\f(341,256)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n＞eq\f(1,1024)，因为n是正整数，所以n的取值*为{2,4,6,8}．(16分)20、解：（1）方法一：false在false上恒成立，即为false在false上恒成立，①false时，结论成立；②false时，函数false图象的对称轴为false，所以函数false在false单调递增，依题意false，即false，所以false；③false不合要求，综上可得，实数false的取值范围是false．4分方法二：false在false上恒成立等价于false，令false因为false，所以false，故false所以false.（2）false设false，false，过点false的两切线互相平行，则false，所以false（舍去），或false，过点false的切线false：false，即false，6分过点false的切线false：false两平行线间的距离是falsefalsefalse，因为false，所以falsefalse即两平行切线间的最大距离是false．10分（3）false，设false存在“好点”false，由false，得false，依题意false对任意false恒成立，因为falsefalse，falsefalsefalse，13分所以false对任意false恒成立，①若false，false不可能对任意false恒成立，即false时，不存在“好点”；②若false，因为当false时，false，要使false对任意false恒成立，