2014天津市高考理科数学试卷有*

绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将*涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出*后，用铅笔把答题卡上对应题目的*标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他*标号。2本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：•如果事件false，false互斥，那么•如果事件false，false相互*，那么falsefalse.•圆柱的体积公式false.•圆锥的体积公式false.其中false表示圆柱的底面面积，其中false表示圆锥的底面面积，false表示圆柱的高.false表示圆锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）false是虚数单位，复数false（　　）（A）false（B）false　（C）false（D）false（2）设变量false，false满足约束条件false则目标函数false的最小值为（　　）（A）2　　（B）3　（C）4　　　（D）5（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的false的值为（　　）学科网（A）（B）105（C）245（D）945（4）函数false的单调递增区间是（　　）（A）false（B）false（C）false（D）false（5）已知双曲线falsefalse的一条渐近线平行于直线false：false，双曲线的一个焦点在直线false上，则双曲线的方程为（　　）（A）false　　（B）false（C）false　　（D）false（6）如图，false是圆的内接三角形，false的平分线交圆于点false，交false于点false，过点false的圆的切线与false的延长线交于点false.在上述条件下，给出下列四个结论：①false平分false；②false；③false；④false.则所有正确结论的序号是（　　）（A）①②（B）③④（C）①②③（D）①②④（7）设false，则|“false”是“false”的（　　）（A）充要不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件　　（D）既不充要也不必要条件（8）已知菱形false的边长为2，false，点false分别在边false上，false，false.若false，false，则false（）（A）false（B）false（C）false（D）false第Ⅱ卷注意事项：学科网1．用黑*墨水钢笔或签字笔将*写在答题卡上。2．本卷共12小题，共110分。二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把*填在题中横线上.）（9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：：：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生.（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_______false.（11）设false是首项为false，公差为1的等差数列，false为其前false项和.若false成等比数列，则false的值为__________.（12）在false中，内角false所对的边分别是false.已知false，false，则false的值为_______.（13）在以false为极点的极坐标系中，圆false和直线false相交于false两点.若false是等边三角形，则false的值为___________.（14）已知函数false，false.若方程false恰有4个互异的实数根，则实数false的取值范围为__________.三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，*过程或演算步骤．）（15）（本小题满分13分）已知函数false，false.（Ⅰ）求false的最小正周期；（Ⅱ）求false在闭区间false上的最大值和最小值.学科网（16）（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能*相同）.（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设false为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量false的分布列和数学期望.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥false中，false底面false，false，false，false，false，点false为棱false的中点.（Ⅰ）*false；（Ⅱ）求直线false与平面false所成角的正弦值；（Ⅲ）若false为棱false上一点，满足false，求二面角false的余弦值.（18）（本小题满分13分）设椭圆false（false）的左、右焦点为false，右顶点为false，上顶点为false.已知false.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设false为椭圆上异于其顶点的一点，以线段false为直径的圆经过点false，经过原点的直线false与该圆相切.求直线的斜率.（19）（本小题满分14分）已知false和false均为给定的大于1的自然数.设*false，*false.（Ⅰ）当false，false时，用列举法表示*false；（Ⅱ）设false，false，false，其中（20）（本小题满分14分）已知函数falsefalse，false.已知函数false有两个零点false，且false.（Ⅰ）求false的取值范围；（Ⅱ）*false随着false的减小而增大；（Ⅲ）*false随着false的减小而增大.参考*及解析一、选择题题号12345678*ADAD（1）false是虚数单位，复数false（　　）（A）false（B）false　（C）false（D）false解：Afalse.（2）设变量false，false满足约束条件false则目标函数false的最小值为（　　）（A）2　　（B）3　（C）4　　　（D）5解：B作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点false时，false取得最小值3.（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的false的值为（　　）（A）（B）105（C）245（D）945解：Bfalse时，false，false；false时，false，false；false时，false，false，false输出false.（4）函数false的单调递增区间是（　　）（A）false（B）false（C）false（D）false解：Dfalse，解得false或false.由复合函数的单调*知false的单调递增区间为false.（5）已知双曲线falsefalse的一条渐近线平行于直线false：false，双曲线的一个焦点在直线false上，则双曲线的方程为（　　）（A）false　　（B）false（C）false　　（D）false解：A依题意得false，所以false，false，双曲线的方程为false.（6）如图，false是圆的内接三角形，false的平分线交圆于点false，交false于点false，过点false的圆的切线与false的延长线交于点false.在上述条件下，给出下列四个结论：①false平分false；②false；③false；④false.则所有正确结论的序号是（　　）（A）①②（B）③④（C）①②③（D）①②④解：D由弦切角定理得false，又false，所以false∽false，所以false，即false，排除A、C.又false，排除B.（7）设false，则|“false”是“false”的（　　）（A）充要不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件　　（D）既不充要也不必要条件解：C设false，则false，所以false是false上的增函数，“false”是“false”的充要条件.（8）已知菱形false的边长为2，false，点false分别在边false上，false，false.若false，false，则false（）（A）false（B）false（C）false（D）false解：因为false，所以false.因为false，所以false，false.因为false，所以false，即false①同理可得false②，①+②得false.第Ⅱ卷注意事项：1．用黑*墨水钢笔或签字笔将*写在答题卡上。2．本卷共12小题，共110分。二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把*填在题中横线上.）（9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：：：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生.解：60应从一年级抽取false名.（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_______false.解：false该几何体的体积为falsefalse.（11）设false是首项为false，公差为1的等差数列，false为其前false项和.若false成等比数列，则false的值为__________.解：false依题意得false，所以false，解得false.（12）在false中，内角false所对的边分别是false.已知false，false，则false的值为_______.解：false因为false，所以false，解得false，false.所以false.（13）在以false为极点的极坐标系中，圆false和直线false相交于false两点.若false是等边三角形，则false的值为___________.解：3圆的方程为false，直线为false.因为false是等边三角形，所以其中一个交点坐标为false，代入圆的方程可得false.（14）已知函数false，false.若方程false恰有4个互异的实数根，则实数false的取值范围为__________.解：false或false显然false.（ⅰ）当false与false相切时，false，此时false恰有3个互异的实数根.（ⅱ）当直线false与函数false相切时，false，此时false恰有2个互异的实数根.结合图象可知false或false.解2：显然false，所以false.令false，则false.因为false，所以false.结合图象可得false或false.三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，*过程或演算步骤．）（15）（本小题满分13分）已知函数false，false.（Ⅰ）求false的最小正周期；（Ⅱ）求false在闭区间false上的最大值和最小值.（15）本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式与余弦公式，三角函数的最小正周期、单调*等基础知识.考查基本运算能力.满分13分.（Ⅰ）解：由已知，有falsefalsefalsefalsefalse.所以，false的最小正周期false.（Ⅱ）解：因为false在区间false上是减函数，在区间false上是增函数.false，false，false.所以，函数false在闭区间false上的最大值为false，最小值为false.（16）（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能*相同）.（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设false为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量false的分布列和数学期望.（16）本小题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.（Ⅰ）解：设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件false，则false.所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为false.所以，false的最小正周期false.（Ⅱ）解：随机变量false的所有可能值为0，1，2，3.falsefalse.所以，随机变量false的分布列是false0123falsefalsefalsefalsefalse随机变量false的数学期望false.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥false中，false底面false，false，false，false，false，点false为棱false的中点.（Ⅰ）*false；（Ⅱ）求直线false与平面false所成角的正弦值；（Ⅲ）若false为棱false上一点，满足false，求二面角false的余弦值.（17）本小题主要考查空间两条直线的位置关系，二面角、直线与平面所成的角，直线与平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算能力和推理论*能力.满分13分.（方法一）依题意，以点false为原点建立空间直角坐标系（如图），可得false，false，false，false.由false为棱false的中点，得false.（Ⅰ）*：向量false，false，故false.所以，false.（Ⅱ）解：向量false，false.设false为平面false的法向量，则false即false不妨令false，可得false为平面false的一个法向量.于是有false.所以，直线false与平面false所成角的正弦值为false.（Ⅲ）解：向量false，false，false，false.由点false在棱false上，设false，false.故false.由false，得false，因此，false，解得false.即false.设false为平面false的法向量，则false即false不妨令false，可得false为平面false的一个法向量.取平面false的法向量false，则false.易知，二面角false是锐角，所以其余弦值为false.（方法二）（Ⅰ）*：如图，取false中点false，连接false，false.由于false分别为false的中点，故false，且false，又由已知，可得false且false，故四边形false为平行四边形，所以false.因为false底面false，故false，而false，从而false平面false，因为false平面false，于是false，又false，所以false.（Ⅱ）解：连接false，由（Ⅰ）有false平面false，得false，而false，故false.又因为false，false为false的中点，故false，可得false，所以false平面false，故平面false平面false.所以直线false在平面false内的*影为直线false，而false，可得false为锐角，故false为直线false与平面false所成的角.依题意，有false，而false为false中点，可得false，进而false.故在直角三角形false中，false，因此false.所以，直线false与平面false所成角的正弦值为false.（Ⅲ）解：如图，在false中，过点false作false交false于点false.因为false底面false，故false底面false，从而false.又false，得false平面false，因此false.在底面false内，可得false，从而false.在平面false内，作false交false于点false，于是false.由于false，故false，所以false四点共面.由false，false，得false平面false，故false.所以false为二面角false的平面角.在false中，false，false，false，由余弦定理可得false，false.所以，二面角false的斜率值为false.（18）（本小题满分13分）设椭圆false（false）的左、右焦点为false，右顶点为false，上顶点为false.已知false.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设false为椭圆上异于其顶点的一点，以线段false为直径的圆经过点false，经过原点的直线false与该圆相切.求直线的斜率.（18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何*质、直线的方程、圆的方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的*质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分13分.（Ⅰ）解：设椭圆的右焦点false的坐标为false.由false，可得false，又false，则false.所以，椭圆的离心率false.false，所以false，解得false，false.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知false，false.故椭圆方程为false.设false.由false，false，有false，false.由已知，有false，即false.又false，故有false.①又因为点false在椭圆上，故false.②由①和②可得false.而点false不是椭圆的顶点，故false，代入①得false，即点false的坐标为false.设圆的圆心为false，则false，false，进而圆的半径false.设直线false的斜率为false，依题意，直线false的方程为false.学科网由false与圆相切，可得false，即false，整理得false，解得false.所以，直线false的斜率为false或false.（19）（本小题满分14分）已知false和false均为给定的大于1的自然数.设*false，*false.（Ⅰ）当false，false时，用列举法表示*false；（Ⅱ）设false，false，false，其中false，false.*：若false，则false.（19）本小题主要考查*的含义和表示，等比数列的前false项和公式，不等式的*等基础知识和基本方法.考查运算能力、分析问题和解决问题的能力.满分14分.（Ⅰ）解：当false，false时，false，false.可得，false.（Ⅱ）*：由false，false，false，false，false及false，可得falsefalsefalsefalse.所以，false.（20）（本小题满分14分）已知函数falsefalse，false.已知函数false有两个零点false，且false.（Ⅰ）求false的取值范围；学科网（Ⅱ）*false随着false的减小而增大；（Ⅲ）*false随着false的减小而增大.（20）本小题主要考查函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的*质等基础知识和方法.考查函数思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.（Ⅰ）解：由false，可得false.下面分两种情况讨论：（1）false时false在false上恒成立，可得false在false上单调递增，不合题意.（2）false时，由false，得false.当false变化时，false，false的变化情况如下表：falsefalsefalsefalsefalse＋0－false↗false↘这时，false的单调递增区间是false；单调递减区间是false.于是，“函数false有两个零点”等价于如下条件同时成立：1°false；2°存在false，满足false；3°存在false，满足false.由false，即false，解得false，而此时，取false，满足false，且false；取false，满足false，且false.所以，false的取值范围是false.（Ⅱ）*：由false，有false.设false，由false，知false在false上单调递增，在false上单调递减.并且，当false时，false；当false时，false.由已知，false满足false，false.由false，及false的单调*，可得false，false.对于任意的false，设false，false，其中false；false，其中false.因为false在false上单调递增，故由false，即false，可得false；类似可得false.又由false，得false.所以，false随着false的减小而增大.（Ⅲ）*：由false，false，可得false，false.故false.设false，则false，且false解得false，false.所以，false.①令false，false，则false.令false，得false.当false时，false.因此，false在false上单调递增，故对于任意的false，false，由此可得false，故false在false上单调递增.因此，由①可得false随着false的增大而增大.而由（Ⅱ），false随着false的减小而增大，所以false随着false的减小而增大.学科网