2012朝阳区高三一模有*(数学理)

*市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类）2012.3（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）注意事项：考生务必将*答在答题卡上，在试卷上答无效。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.复数falseA.falsefalseC.falseD.false2.已知平面向量false满足false，且，则向量false与false的夹角为A.falsefalseC.falseD.false3.已知数列false的前项和为false，且false，则A.falsefalseC.falseD.false4.已知平面false，直线false，且false，则“false且false”是“false”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5.有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定.技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（）A.falsefalseC.falseD.false6.已知函数false是定义在false上的偶函数，且对任意的falsefalse，都有false.当false时，false.若直线false与函数false的图象在false内恰有两个不同的公共点，则实数false的值是A.falsefalse或falseC.false或falseD.false或false7.某工厂生产的false种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年false种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件.从第二年开始，商场对false种产品征收销售额的false的管理费（即销售100元要征收false元），于是该产品定价每件比第一年增加了false元，预计年销售量减少false万件，要使第二年商场在false种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则false的取值范围是A.falsefalseC.falseD.false8.已知点集false，false，点集false所表示的平面区域与点集false所表示的平面区域的边界的交点为false.若点false在点集false所表示的平面区域内（不在边界上），则△false的面积的最大值是A.falseB.falseC.falseD.false第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把*填在答题卡上.9.已知双曲线的方程为false，则此双曲线的离心率为，其焦点到渐近线的距离为.开始输入kS=0，i=1falsei=i+1false输出S结束是否10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.21133正视图侧视图俯视图21（第10题图）（第11题图）11.执行如图所示的程序框图，若输入false的值是false，则输出false的值是.12.在极坐标系中，曲线false和相交于点，则线段的中点到极点的距离是.13.已知函数false若函数false有两个不同的零点，则实数false的取值范围是.14.已知△false中，false.一个圆心为false，半径为false的圆在△false内，沿着△false的边滚动一周回到原位.在滚动过程中，圆false至少与△false的一边相切，则点false到△false顶点的最短距离是，点false的运动轨迹的周长是.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或*过程.把*答在答题卡上.15.（本小题满分13分）已知函数false.（Ⅰ）若false，求false的值；（II）设false，求函数false在区间false上的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）85809010095分数750.010.020.030.040.050.060.07某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀.（Ⅰ）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a,b的值；区间[75，80)[80，85)[85，90)[90，95)[95，100]人数50a350300b（II）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；（Ⅲ）在（II）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为，求的分布列与数学期望.17.（本小题满分14分）CAFEBMD在如图所示的几何体中，四边形false为平行四边形，false，false平面false，false，false，false，false，且false是false的中点.（Ⅰ）求*：false平面false；（Ⅱ）求二面角false的大小；（Ⅲ）在线段false上是否存在一点false，使得false与false所成的角为false？若存在，求出false的长度；若不存在，请说明理由.18.（本小题满分13分）设函数false.（Ⅰ）当false时，求曲线false在点false处的切线方程；（Ⅱ）求函数false单调区间.19.（本小题满分14分）已知椭圆false的两个焦点分别为false，false.点false与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆false的方程；（Ⅱ）已知点false的坐标为false，点false的坐标为false.过点false任作直线false与椭圆false相交于false，false两点，设直线false，false，false的斜率分别为false，false，false，若false，试求false满足的关系式.20．（本小题满分13分）已知各项均为非负整数的数列falsefalse，满足false，false．若存在最小的正整数false，使得false，则可定义变换false，变换false将数列false变为数列false．设false，false．（Ⅰ）若数列false，试写出数列false；若数列false，试写出数列false；（Ⅱ）*存在唯一的数列false，经过有限次false变换，可将数列false变为数列false；（Ⅲ）若数列false，经过有限次false变换，可变为数列false．设false，false，求*false，其中false表示不超过false的最大整数．*市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类）2012.3一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）*ADD二、填空题：题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）*falsefalsefalsefalsefalsefalsefalse三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为false，所以false，所以false.平方得，false=false，所以false.……………6分（II）因为false=false=false=false=false.……………10分当false时，false.所以，当false时，false的最大值为false；当false时，false的最小值为false.……………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意，false.……………4分（Ⅱ）设其中成绩为优秀的学生人数为，则false，解得：=30，即其中成绩为优秀的学生人数为30名.……………7分（Ⅲ）依题意，的取值为0，1，2，false，false，false，所以的分布列为012Pfalsefalsefalsefalse，所以的数学期望为false.……………13分（17）（本小题满分14分）*：（Ⅰ）取false的中点false，连接false.NCAFEBMD在△false中，false是false的中点，false是false的中点，所以false，又因为false，所以false且false.所以四边形false为平行四边形，所以false.又因为false平面false，false平面false，故false平面false.……………4分解法二：因为false平面false，false，故以false为原点，建立如图所示的空间直角坐标系false.……………1分由已知可得falsezCAFEBMDxyfalse（Ⅰ）false，false.……………2分设平面false的一个法向量是false.由false得false令falsefalse，则false.……………3分又因为false，所以false，又false平面false，所以false平面false.……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面false的一个法向量是false.因为false平面false，所以false.又因为false，所以false平面false.故false是平面false的一个法向量.所以false，又二面角false为锐角，故二面角false的大小为false.……………10分（Ⅲ）假设在线段false上存在一点false，使得false与false所成的角为false.不妨设false（false），则false.所以false，由题意得false，化简得false，解得false.所以在线段false上不存在点false，使得false与false所成的角为false.…………14分（18）（本小题满分13分）.解：因为false所以false.（Ⅰ）当false时,false,false,所以falsefalse.所以曲线false在点false处的切线方程为false.……………4分（Ⅱ）因为false，……………5分（1）当false时,由false得false；由false得false.所以函数false在区间false单调递增,在区间false单调递减.……………6分（2）当false时,设false，方程false的判别式false……………7分①当false时，此时false.由false得false,或false；由false得false.所以函数false单调递增区间是false和false,单调递减区间false.……………9分②当false时，此时false.所以false，所以函数false单调递增区间是false.……………10分③当false时，此时false.由false得false；由false得false,或false.所以当false时,函数false单调递减区间是false和false,单调递增区间false.……………12分④当false时,此时false，false，所以函数false单调递减区间是false.…………13分（19）（本小题满分14分）解:（Ⅰ）依题意，false，false，所以false.故椭圆false的方程为false.……………4分（Ⅱ）①当直线false的斜率不存在时，由false解得false.不妨设false，false，因为false，又false，所以false，所以false的关系式为false，即false.………7分=2\*GB3②当直线false的斜率存在时，设直线false的方程为false.将false代入false整理化简得，false.设false，false，则false,false.………9分又false，false.所以falsefalsefalsefalsefalse………12分所以false，所以false，所以false的关系式为false.………13分综上所述，false的关系式为false.………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若false，则false；false；false；false；false．若false，则false；false；false；false．………4分（Ⅱ）先*存在*，若数列false满足false及false，则定义变换false，变换false将数列false变为数列false：false．易知false和false是互逆变换．………5分对于数列false连续实施变换false（一直不能再作false变换为止）得falsefalsefalsefalsefalsefalsefalsefalsefalsefalsefalse，则必有false（若false，则还可作变换false）．反过来对false作有限次变换false，即可还原为数列false，因此存在数列false满足条件．下用数学归纳法*唯一*：当false是显然的，假设唯一*对false成立，考虑false的情形．假设存在两个数列false及false均可经过有限次false变换，变为false，这里false，false若false，则由变换false的定义，不能变为false；若false，则false，经过一次false变换，有falsefalsefalse由于false，可知false（至少3个1）不可能变为false．所以false，同理false令falsefalsefalse，falsefalsefalse，则false，所以false，false．因为falsefalsefalse，falsefalsefalse，故由归纳假设，有false，false．再由false与false互逆，有falsefalsefalse，falsefalsefalse，所以false，false，从而唯一*得*．………9分（Ⅲ）显然falsefalse，这是由于若对某个false，false，则由变换的定义可知，false通过变换，不能变为false．由变换false的定义可知数列false每经过一次变换，false的值或者不变，或者减少false，由于数列false经有限次变换false，变为数列false时，有false，false，所以falsefalse为整数false，于是falsefalse，false，所以false为false除以false后所得的余数，即false．………13分