2012文科数学回归教材 6数列

新课标——回归教材数列1、数列的概念:数列是一个定义域为正整数集false(或它的有限子集false)的特殊函数数列的通项公式也就是相应函数的解析式.典例:1)已知false,则在数列false的最大项为false;2)数列false的通项为false,则false与false的大小关系为false;3)数列false的通项为false,若false递增,则实数false的取值范围false;4)一给定函数false的图象在下列图中,并且对任意false,由关系式false得到的数列false满足false,则该函数的图象是(A)ABCD2.等差数列的有关概念:(1)等差数列的判断方法:①定义法false、②等差中项法false.典例:设false是等差数列,求*:以bn=false为通项公式的数列false为等差数列.(2)等差数列的通项:false或false.典例:1)等差数列false中,false,false,则通项falsefalse;2)首项为24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是false;(3)等差数列的前false和:false,false.典例:1)数列false中,false,false,false,则false3,false=10;2)已知数列false的前n项和false,求数列false的前false项和false（答:false）.(4)等差中项:若false成等差数列,则A叫做false与false的等差中项,且false.提醒:(1)等差数列的false公式中,涉及到5个元素:false其中false称作为基本元素.只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2.(2)为减少运算量,要注意设元的技巧:如奇数个数成等差,可设为…,false…（公差为false）;偶数个数成等差,可设为…,false,…（公差为2false）3.等差数列的*质:(1)当公差false时,等差数列的①通项公式false是关于false的一次函数,且斜率为公差false;所以,1)若公差false,则false为递增等差数列;2)若公差false,则false为递减等差数列,3)若公差false,则false为常数列.②前false和false是关于false的二次函数且常数项为0.提醒:若false时,false不是等差数列,但从第二项起(含第二项)为等差数列.(3)当false时,则有false,特别地,当false时,则有false.典例:1)等差数列false中,false,则false＝27;2)在等差数列false中,false,且false,false是其前false项和,则(B)A.false都小于0,false都大于0B.false都小于0,false都大于0　C.false都小于0,false都大于0　　D.false都小于0,false都大于0　(4)若false,false是等差数列,则false、false(false、false是非零常数)、false、false,…也成等差数列(注:其新公差与原数列的公差关系为:false),而false成等比数列;若false是等比数列,且false,则false是等差数列.典例:等差数列的前n项和为25,前2n项和为100,则它的前3n和为225;等差数列false中,项数为偶数false时,false;项数为奇数false时,false,false(这里false即false);false.典例:1)在等差数列中,S11＝22,则false＝2;2)项数为奇数的等差数列false中,false,求此数列的中间项与项数(答:5;31).(6)若等差数列false,false的前false和分别为false,则false.典例:若{false},{false}是等差数列,它们前false项和分别为false,false,若false,则falsefalse.(7)等差数列false的前false项和false的最值求法:法一(二次函数法):由false解析式结合二次函数图象求解;法二(通项比较法):具体*作如下①当false时,可求false的最大值;第一,若false时,显然false;若false时,设前false项和最大,则应满足false;特别地,当false时,则false;②当false时,可求false的最小值;第一,若false时,显然false;若false时,设前false项和最小,则应满足false;特别地,当false时,则false;典例:1)等差数列false中,false,false,则数列前13项和最大,最大值为169.2)若false是等差数列,首项falsefalse,false,则使前n项和false成立的最大正整数n是4006;4.等比数列的有关概念:(1)等比数列的判断方法:①定义法false,其中false;②等比中项法false或false.注:false是数列false等比的必要不充分条件.(想想为什么?)典例:1)一个等比数列{false}共有false项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,则false为false;2)数列false中,false且false=1,若false,求*:数列false是等比数列.(2)等比数列的通项:false或false.典例:数列false等比,false,false,false,求false和公比false.(答:false,false或2)(3)等比数列的前false和:当false时,false;当false时,false.典例:1)等比数列中,false,false,求false（答:44）;2)已知false等比,其false成等差数列,则公比falsefalse.特别提醒:等比数列前false项和公式有两种形式,为此在求等比数列前false项和时,首先要判断公比false是否为1,再由false的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比false是否为1时,要对false分false和false两种情形讨论求解.（4）等比中项:若false成等比数列,那么A叫做false与false的等比中项.提醒:不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个false.典例:两个正数false的等差中项为false,等比中项为false,则A与B的大小关系为false.提醒:(1)等比数列的通项公式及前false和公式中,涉及到5个元素:false、false、false、false及false,其中false、false称作为基本元素.只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2;(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为…,false…（公比为false）;但偶数个数成等比时,不能设为…false,…,因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为false.典例:有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求此四个数.(答:15,,9,3,1或0,4,8,16)5.等比数列的*质:(1)当false时,则有false,特别地,当false时,则有false.典例:1)在等比数列false中,false,公比q是整数,则false=512;2)等比数列false中,若false,则false10.(2)若false是等比数列,则false、false、false成等比数列;若false成等比数列,则false、false成等比数列;若false是等比数列,且公比false,则数列false,…也是等比数列(其新公比与原数列公比之间关系式为false).注:当false,且false为偶数时,数列false,…是常数数列0,它不是等比数列.典例:1)已知false且false,设数列false满足falsefalse,且falsefalse,则falsefalse;2)在等比数列false中,false为其前n项和,若false,则false的值为40.(3)若false,则false为递增数列;若false,则false为递减数列;若false,则false为递减数列;若false,则false为递增数列;若false,则false为摆动数列;若false,则false为常数列.(4)当false时,false,这里false,但false,这是等比数列前false项和公式的一个特征,据此很容易根据false,判断数列false是否为等比数列.典例:1)若false是等比数列,且其前false项和false满足:false,则false＝1.2)等比数列false前false项和false等差数列false前false项和false则false1.false.典例:1)设等比数列false的公比为false,若false成等差数列,则false的值2.2)在等比数列false中,公比false,设前false项和为false.若false,则false的大小关系是(B)A.falsefalseC.falseD.不确定(6)数列false等比,当项数为偶数false时,false;项数为奇数false时,false.(7)如果数列false既成等差数列又成等比数列,那么数列false是非零常数数列.提醒:故常数数列false仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.典例:设数列false的前false项和为false,关于数列false有下列三个命题:①若false,则false既是等差数列又是等比数列;②若false,则false是等差数列;③若false,则false是等比数列.这些命题中,真命题的序号是②③.6.数列的通项求法:⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式.典例:已知数列false试写出其一个通项公式:false.⑵已知false(即false)求false,用作差法:false.典例:1)已知false的前false项和满足false,求false.（答:false）;2)数列false满足false,求false.（答:false）⑶已知false求false,用作商法:false.典例:数列false中,false对所有的false都有false,则falsefalse.⑷若false求false用累加法:false典例:已知数列false满足false,falsefalse,则false=false.⑸已知false求false,用累乘法:falsefalse.典例:已知数列false中,false,前false项和false,若false,求false（答:false）⑹已知递推关系求false,用构造法(构造等差、等比数列)..(1)形如false、false(false为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为false的等比数列后,再求false.典例:1)已知false,求false(答:false);2)已知false,求false(答:false);(2)形如false的递推数列都可以用倒数法求通项.典例:1)已知false,求false(答:false);2)已知数列满足false=1,false,求false(答:false)注意:(1)用false求数列的通项公式时,你注意到此等式成立的条件了吗？（false,当false时,false）;(2)一般地当已知条件中含有false与false的混合关系时,常需运用关系式false,先将已知条件转化为只含false或false的关系式,然后再求解.典例:数列false满足false,求false(答:false)7.数列求和的常用方法:(1)公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式.③其它常用公式:false;false;false.false,false.典例:1)等比数列false的前false项和false,则false＝false;2)计算机是将信息转换成二进制数进行处理的.二进制即”逢2进1”,如false表示二进制数,将它转换成十进制形式是false,那么将二进制false转换成十进制数是false.(2)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和.典例:求false（答:false）(3)并项法求和:将数列的每两项(或多项)并到一起后,再求和,这种方法常适用于摆动数列的求和.典例:求false（答:false;先分奇偶*讨论）(4)倒序相加法:将一个数列倒过来排序,它与原数列相加时,若有公因式可提,并且剩余的项易于求和.(这也是等差数列前false和公式的推导方法).典例:已知false,则false＝false(4)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前false和公式的推导方法).典例:1)设false为等比数列,false,已知false,false.①求数列false的首项和公比;(答:false,false)②求数列false的通项公式.（答:false）2)若false,数列false满足falsefalse.①求*:数列false是等比数列;(答:略;)②令false,求函数false在点false处的导数false,并比较false与false的大小.(答:false,当false时,false＝false;当false时,false<false;当false时,false>false).裂项相消法:如果数列的通项可“*成两项差”的形式,且相邻项*后相关联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有:①false;②false;③false,false;④false;⑤false;⑥false.⑦false典例:1)求和:falsefalse;2)在数列false中,false,且Sｎ＝９,则n＝99;(6)通项转换法:先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和.典例:1)求数列1×4,2×5,3×6,…,false,…前false项和false=false）;2)求和falsefalse.8.“分期付款”、“森林木材”型应用问题(1)这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中,务必“卡手指”,细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.(2)利率问题:①单利问题:如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:若每期存入本金false元,每期利率为false,则false期后本利和为:false.(等差数列问题);②复利问题:按揭贷款的分期等额还款(复利)模型:若贷款(向银行借款)false元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分false期还清.如果每期利率为false(按复利),那么每期等额还款false元应满足:false(等比数列问题).典例:1)从2008年到2011年期间,*每年6月1日都到银行存入false元的一年定期储蓄.若年利率为false保持不变,且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期,到2012年6月1日,*去银行不再存款,而是将每年所有的存款的本息全部取回,则取回的金额是(D)A.falseB.falseC.falseD.false2)陈老师购买安居工程集资房false,单价为1000元/false,一次*国家财政补贴28800元,学校补贴14400元,余款由个人负担.房地产开发公司对教师实行分期付款,即各期所付的款以及各期所付的款到最后一次付款时所生的利息合计,应等于个人负担的购买房余款的现价以及这个余款现价到最后一次付款时所生利息之和,每期为一年,等额付款,签订购房合同后一年付款一次,再过一年又付款一次,等等,共付10次,10年后付清.如果按年利率7.5%,每年复利一次计算(即本年利息计入次年的本金生息),那么每年付款多少元?(参考数据:false)【解】由题知余款额为false元;设每期(年)付款为false元,依题意得,false所以false元.