2012文科数学回归教材 4三角函数

新课标——回归教材三角函数1.角的概念的推广:平面内一条*线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形.按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条*线没有作任何旋转时,称它形成一个零角.*线的起始位置称为始边,终止位置称为终边.OR1radR2.象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与false轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.3.弧度制:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1(rad)=falsefalse,false(rad).弧长公式:false,扇形面积公式:false.典例:已知扇形false的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积.（答:2false）4.终边相同的角的表示:(1)false终边与false终边相同(false的终边在false终边所在*线上)falsefalse,注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.典例:与角false的终边相同,且绝对值最小的角的度数是false,合false弧度.(2)false终边在坐标轴上的角可表示为:false.典例:false的终边与false的终边关于直线false对称,则false＝false.(3)各种角的*表示名称角度表示形式(false)弧度表示形式(false)第一象限角falsefalse第二象限角falsefalse第三象限角falsefalse第四象限角falsefalse终边落在x轴上falsefalse终边落在y轴上falsefalse终边落在y=x轴上falsefalse终边落在y=x轴上falsefalse判断一个角的终边在哪个象限？是第几象限角？是解决后面一系列问题的基础.那么我们是如何判定？通常是把一个绝对值很大的角false化成false,false或者是化成false,这样只要判定false是第几象限角就可以了.典例:(1)false,因为false是第一象限角,所以false的终边也在第一象限;(2)false,因为false是第一象限角,所以false的终边也在第一象限.y12341234y=y=－5.false与false的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.如图,若角false终边在第一(二、三、四)象限,则角false的终边位于右图中标有数字1(2、3、4)区域.这个方法叫做等分象限法.典例:若false是第二象限角,则false是第一、三象限角.yTAP6.任意角的三角函数的定义:设false是任意一个角,Pfalse是false的终边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是false,那么false,false.三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P的位置无关.典例:(1)已知角false的终边经过点P(5,－12),则false的值为false;(2)设false是第三、四象限角,false,则false的取值范围是false;(3)若false,试判断false的符号（答:负）7.三角函数线的特征是:正弦线MP“站在false轴上(起点在false轴上)”、余弦线OM“躺在false轴上(起点是原点)”、正切线AT“与圆false切在点false处(起点是false)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式.典例:(1)若false,则false的大小关系为false;(2)若false为锐角,则false的大小关系为false;(3)函数false的定义域是false8.特殊角的三角函数值:30°45°60°0°90°180°270°°75°falsefalsefalsefalse010－1falsefalsefalsefalsefalsefalse10－10falsefalsefalsefalse1false002false2+falsefalsefalse1false002+false2false9.同角三角函数的基本关系式:(1)平方关系:false;(2)商数关系:false.同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数值.在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩角的范围,以便进行定号;在具体求三角函数值时,一般不需用同角三角函数的基本关系式,而是先根据角的范围确定三角函数值的符号,再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值.解题方法总结(1)已知一弦值,求正切.通常是利用false、false求另一弦值,然后利用false求正切.要注意false的象限,分象限定符号.(2)已知正切,求正弦、余弦值.方法一是解方程组.方法二是利用一个推导公式直接求,公式false,false,不过还是要注意开根号时的正负的确定.(3)解题中常用的三种技巧:一、切化弦;二、1的代换;三、分子分母同时除以false或者false.(4)解题中常用的两组公式:false;false.典例:(1)函数false的值的符号为大于0;(2)若false,则使false成立的false的取值范围是false;(3)已知false,false,则false＝false;(4)已知false,则false＝false;false＝false;(5)已知false,则false等于A.false　B.false　C.false　D.false;(6)已知false,则false的值为－1.10.三角函数诱导公式(false)的本质是:奇变偶不变(对false而言,指false取奇数或偶数),符号看象限(看原函数,同时可把false看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤:“负化正,大化小,化成锐角再查表”即:(1)负角变正角,再写成2kfalse+false,false;(2)转化为锐角三角函数.典例:(1)false的值为false;(2)已知false,则falsefalse,若false为第二象限角,则falsefalse.11.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:正:false;逆:false,其中false.正:false;逆:false,其中false.正:false;变:false.正:false;变:false正:false;变:false(降角升幂公式),逆:false(降幂升角公式);false(半角正切)典例:(1)下列各式中,值为false的是CA.falseB.false　C.falseD.false(2)命题P:false,命题Q:false,则P是Q的C条件.A、充要　　B、充分不必要　　　C、必要不充分　D、既不充分也不必要;(3)已知false,那么false的值为false;(4)false的值是4;(5)已知false,求false的值(用false表示)*求得的结果是false,乙求得的结果是false,对*、乙求得的结果的正确*你的判断是*、乙都对.12.三角函数的化简、计算、*的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”;第三观察代数式的结构特点通常是分式要因式分解、通分后约分、根号下*后开方.基本的技巧有:★★★(1)巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如:false,false,false,false,false等.典例:(1)已知false,false,那么false的值是false;(2)已知false,且false,false,求false的值false;(3)若false为锐角,false,则false与false的函数关系为false.(2)三角函数名互化(切化弦),典例:(1)求值false=1;(2)已知false,求false的值false(3)公式变形使用（falsefalse.典例:(1)已知A、B为锐角,且满足false,则false＝false;(2)false中,false,false,则此三角形是等边三角形.(4)三角函数次数的降升(降幂公式:false,false与升幂公式:false,false).典例:(1)若false,化简false为false;(2)falsefalse的单调递增区间为false.(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同).典例:(1)falsefalse=false;(2)求*:false;(3)化简:false=false.(6)常值变换主要指“1”的变换（falsefalse等）典例:已知false,求false=false.(7)正余弦“三兄妹—false”的内存联系—“知一求二”.典例:(1)若false,则falsefalse,特别提醒:这里false;(2)若false,求false的值.（答:false）;(3)已知falsefalse,试用false表示false的值（答:false）.13.辅助角公式中辅助角的确定:false(其中false角所在的象限由a,b的符号确定,false角的值由false确定)在求最值、化简时起作用.★★★典例:(1)若方程false有实数解,则false的取值范围是[－2,2].;(2)当函数false取得最大值时,false的值是false;(3)如果false是奇函数,则false=－2;(4)求值:false32.14.正弦函数和余弦函数的图象:false正弦函数false和余弦函数false图象的作图方法:五点法:先取横坐标分别为0,falsefalse的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象.如右图所示:15.正弦函数false、余弦函数false*质:(1)定义域R.(2)值域false.对false,当false时,false取最大值1;当false时,false取最小值－1;对false,当false时,false取最大值1,当false时,false取最小值－1.典例:(1)若函数false的最大值为false,最小值为false,则falsefalse,falsefalse;(2)函数false（false）的值域是[－1,2];(3)若false,则false的最大值和最小值分别是7、5;(4)falsefalse的最小值是2,此时false=false;(5)己知false,则false的取值范围false;(6)若false,则false的最大值1、最小值false.特别提醒:在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖掘正余弦函数的有界*了吗?例如前面的关于求值域的一个运用！(3)周期*:①false、false的最小正周期都是2false;②false和false的最小正周期都是false.典例:(1)若false,则false＝0;(2)函数falsefalsefalse的最小正周期为false;(3)设false,若false恒成立,则false=2.(4)奇偶*与对称*:①函数false是奇函数,对称中心是false,对称轴是直线false;②函数false是偶函数,对称中心是false,对称轴是直线false（正(余)弦型函数的对称轴为过最值点且垂直于false轴的直线,对称中心为图象零点所在点.）典例:(1)函数false的奇偶*是偶函数;(2)已知函数false为常数）,且false,则false－5;(3)false的对称中心和对称轴分别是false、false;(4)已知false为偶函数,求false的值.（答:false）(5)单调*:false上单调递增,在false单调递减;false在false上单调递减,在false上单调递增.16.形如false的函数:(1)几个物理量:A―振幅;false―频率（周期的倒数）;false―相位;false―初相;(2)求false表达式:A由最值确定;false由周期确定;false由图象上的特殊点确定.(3)函数false图象的画法:①“五点法”—设false,令false＝0,false求出相应的false值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是作函数简图常用方法.(4)函数false的图象与false图象间的关系:①false的图象上各点向左(false>0)或向右(false<0)平移false个单位得false的图象;②false图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的false,得到函数false的图象;③false图象上各点横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得false图象;④false图象上各点向上(false)或向下(false),得到false的图象.特别注意:由false得到false的图象,则向左或向右平移应平移false单位.典例:(1)函数false的图象经过怎样的变换才能得到false的图象？（答:false向上平移1个单位得false的图象,再向左平移false个单位得false的图象,横坐标扩大到原来的2倍得false的图象,最后将纵坐标缩小到原来的false即得false的图象）;(2)要得到函数false的图象,只需把函数false的图象向左平移false个单位;(3)(现在考纲不作要求)将函数false图像,按向量false平移后得到的函数图像关于原点对称,这样的向量是否唯一？若唯一,求出false;若不唯一,求出模最小的向量(答:存在但不唯一,模最小的向量false);(4)若函数false的图象与直线false有且仅有四个不同的交点,则false的取值范围是false.(5)研究函数false*质的方法:类比于研究false的*质,只需将false中的false看成false中的false,但在求false的单调区间时,要特别注意A和false的符号,通过诱导公式先将false化正.典例:(1)函数false的递减区间是false;(2)false的递减区间是false;(3)设函数false的图象关于直线false对称,它的周期是false,则(C)A、false　B、false在区间false上是减函数　　C、false　　D、false的最大值是A;(4)对于函数false给出下列结论,其中正确结论是②④.①图象关于原点成中心对称;②图象关于直线false成轴对称;③图象可由函数false的图像向左平移false个单位得到;④图像向左平移false个单位,即得到函数false的图像.(5)已知函数false图象与直线false的交点中,距离最近两点间的距离为false,那么此函数的周期是false17.正切函数false的图象和*质:(1)定义域:false.有关正切函数问题时,你注意到正切函数的定义域了吗？(2)值域是R,在上面定义域上无最大值也无最小值;(3)周期*:false,它与直线false的两个相邻交点之间的距离是一个周期false.绝对值或平方对三角函数周期*的影响:一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期*是:弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值,其周期*不变,其它不定.(只作了解即可)典例:(1)false,false的周期都是false.(2)falsefalse的周期为false.(3)false的周期都是false;(4)false奇偶*与对称*:是奇函数,对称中心是falsefalse.特别提醒:正切型函数的对称中心有两类:一类是图象与false轴的交点,另一类是渐近线与false轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处.(5)单调*:正切函数在开区间false内都是增函数.但要注意在整个定义域上不具有单调*.18.三角形中的有关公式:(1)内角和定理:三角形三角和为false,这是三角形中三角函数问题的特殊*,解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形false三内角都是锐角false三内角的余弦值为正值false任两角和都是钝角false任意两边的平方和大于第三边的平方.(2)正弦定理:false(R为三角形外接圆的半径).注意:①正弦定理的一些变式:false;falsefalse;false;②已知三角形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解.(3)余弦定理:false等,常选用余弦定理鉴定三角形形状.(4)面积公式:false(其中false为三角形内切圆半径).海伦秦九韶公式false,其中false.典例:false中,若false,判断false的形状（答:直角三角形）.特别提醒:(1)求解三角形中的问题时,一定要注意false这个特殊*:所以有,false;(2)求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化.典例:(1)false中,A、B的对边分别是false,且false,那么满足条件的falseA、有一个解B、有两个解C、无解D、不能确定（答:C）;(2)在false中,A＞B是false成立的充要条件;(3)在false中,false,则false＝false;(4)在false中,若falsefalse,则false＝false;(5)在false中,若其面积false,则false=false;(6)在false中,false,这个三角形的面积为false,则false外接圆的直径是false;(7)在△ABC中,false=false,false的最大值为false;(8)在△ABC中AB=1,BC=2,则角C的取值范围是false;(9)设O是锐角三角形ABC的外心,若false,且false的面积满足关系式false,求false（答:false）．19.求角的方法:先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择,其标准有二:一是此三角函数在角的范围内具有单调*;二是根据条件易求出此三角函数值）.特别提示:要尽量利用已知条件精确地确定角所在的范围.典例:(1)若false,且false、false是方程false的两根,则求false的值false;(2)false中,false,则false＝false;(3)若false且false,false,求false的值（答:false）.