2009年课改区高考数学试题分类-圆锥曲线

2009年课改区高考数学试题分类汇编——圆锥曲线一、选择题1.（2009浙*理）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是()w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA．D．*：【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，，则有，因．2.（2009浙*文）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（）w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA．D．*：D【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用．【解析】对于椭圆，因为，则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m3.(2009山东卷理)设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为().A.B.5C.D.【解析】:双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,所以,,故选D.*:D.【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.4.(2009山东卷文)设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为().A.B.C.D.【解析】:抛物线的焦点F坐标为,则直线的方程为,它与轴的交点为A,所以△OAF的面积为,解得.所以抛物线方程为,故选B.*:B.【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.5.（2009安徽卷理）下列曲线中离心率为的是（A）（B）（C）（D）[解析]由得，选B6.（2009安徽卷文）下列曲线中离心率为的是w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA.D.【解析】依据双曲线的离心率可判断得..选B。【*】7.（2009安徽卷文）直线过点（1，2）且与直线垂直，则的方程是A．C.D.【解析】可得斜率为即，选A。【*】A8.（2009天津卷文）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）ABD【*】C【解析】由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何*质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。9.（2009辽宁卷文）已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为（A）(B)(C)(D)【解析】圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验*A、B中圆心到两直线的距离等于半径EQ\r(2)即可.【*】B10.（2009宁夏海南卷理）双曲线=1的焦点到渐近线的距离为（A）（B）2（C）（D）1解析：双曲线=1的焦点(4,0)到渐近线的距离为,选A11.（2009宁夏海南卷理）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线的方程为_____________.解析：抛物线的方程为，*：y=x12.（2009天津卷理）设抛物线=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，则BCF与ACF的面积之比=（A）（B）（C）（D）【考点定位】本小题考查抛物线的*质、三点共线的坐标关系，和综合运算数学的能力，中档题。解析：由题知，又由A、B、M三点共线有即，故，∴，故选择A。13.（2009宁夏海南卷文）已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（A）+=1（B）+=1（C）+=1（D）+=1【*】B【解析】设圆的圆心为（a，b），则依题意，有，解得：，对称圆的半径不变，为1，故选B。.14.（2009福建卷文）若双曲线的离心率为2，则等于A.2B.C.D.1解析解析由，解得a=1或a=3，参照选项知而应选D.二、填空题1.（2009天津卷理）若圆与圆（a>0）的公共弦的长为，则___________。【考点定位】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题。解析：由知的半径为，由图可知解之得2.（2009*苏卷）如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为.【解析】考查椭圆的基本*质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。直线的方程为：；直线的方程为：。二者联立解得：，则在椭圆上，，解得：3.（2009广东卷理）巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为．【解析】，，，，则所求椭圆方程为.4.(2009年广东卷文)以点（2，）为圆心且与直线相切的圆的方程是.【*】【解析】将直线化为,圆的半径,所以圆的方程为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m5.（2009天津卷文）若圆与圆的公共弦长为，则a=________.【*】1【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为，利用圆心（0，0）到直线的距离d为，解得a=1【考点定位】本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。6.（2009福建卷理）过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则________________【*】：2解析：由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，又。7.（2009辽宁卷理）以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为。【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0),于是由双曲线*质|PF|－|PF’|＝2a＝4而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.【*】98.（2009宁夏海南卷文）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若为的中点，则抛物线C的方程为。【*】【解析】设抛物线为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，得：x2－kx＝0，＝k＝2×2，故.9.（2009年上海卷理）已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=____________.【*】3【解析】依题意，有，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。10.（2009上海卷文）已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且。若的面积为9，则.【*】3【解析】依题意，有，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。三、解答题1.(2009年广东卷文)（本小题满分14分）已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.(1)求椭圆G的方程(2)求的面积(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.【解析】（1）设椭圆G的方程为：（）半焦距为c;则,解得,所求椭圆G的方程为：.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(2)点的坐标为（3）若，由可知点（6，0）在圆外，若，由可知点（6，0）在圆外；不论K为何值圆都不能包围椭圆G.2.（2009浙*理）（本题满分15分）已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．（I）求椭圆的方程；（II）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点．当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值．解析：（I）由题意得所求的椭圆方程为，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，设线段MN的中点的横坐标是，则，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1．3.（2009浙*文）（本题满分15分）已知抛物线：上一点到其焦点的距离为．（I）求与的值；（II）设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点．若是的切线，求的最小值．解析（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：，根据抛物线定义点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得抛物线方程为：，将代入抛物线方程，解得（Ⅱ）由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为。则，当则。联立方程，整理得：即：，解得或，而，直线斜率为w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMAT，联立方程整理得：，即：，解得：，或，而抛物线在点N处切线斜率：MN是抛物线的切线，，整理得，解得（舍去），或，4.（2009*苏卷）（本题满分10分）在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在轴上。（1）求抛物线C的标准方程；（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；（3）设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式。【解析】[必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。满分10分。5.(2009山东卷理)（本小题满分14分）设椭圆E:（a,b>0）过M（2，），N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆E:（a,b>0）过M（2，），N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMAT则△=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上,存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.因为,所以,,①当时因为所以,所以,所以当且仅当时取”=”.w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMAT当时,.当AB的斜率不存在时,两个交点为或,所以此时,综上,|AB|的取值范围为即:【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.6.(2009山东卷文)（本小题满分14分）设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMAT（2）已知,*:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知,设直线与圆C:(1<R<2)相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A11|取得最大值?并求最大值.解:（1）因为,,,所以,即.w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMAT当m=0时,方程表示两直线,方程为;当时,方程表示的是圆当且时,方程表示的是椭圆;当时,方程表示的是双曲线.(2).当时,轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,则使△=,即,即,且,要使,需使,即,所以,即且,即恒成立.所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,所求的圆为.当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.综上,存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1<R<2)相切于A1,由（2）知,即①,因为与轨迹E只有一个公共点B1,由（2）知得,即有唯一解则△=,即,②由①②得,此时A,B重合为11,y1)点,w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMAT由中,所以,,11,y1)点在椭圆上,所以,所以,在直角三角形OA11中,因为当且仅当时取等号,所以,即当时|A11|取得最大值,最大值为1.【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.7.（2009*苏卷）（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知圆和圆.（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。【解析】本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。(1)设直线的方程为：，即由垂径定理，得：圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式，得：化简得：求直线的方程为：或，即或(2)设点P坐标为，直线、的方程分别为：w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMAT，即：因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆心到直线与直线的距离相等。故有：，化简得：关于的方程有无穷多解，有：w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMAT解之得：点P坐标为或。8.（2009广东卷理）（本小题满分14分）已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．（1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；（2）若曲线与有公共点，试求的最小值．解：（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，∴化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，∴中点的轨迹方程为（）.ADfalsefalsefalsew.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMAT（2）曲线，即圆：，其圆心坐标为，半径由图可知，当时，曲线与点有公共点；当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的距离，得，则的最小值为.9.（2009安徽卷理）（本小题满分13分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMAT点在椭圆上，直线与直线垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为.（I）*:点是椭圆与直线的唯一交点；（II）*:构成等比数列.解：本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何*质，等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13分。解：（I）（方法一）由得代入椭圆,得.将代入上式,得从而因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P.(方法二)显然P是椭圆与的交点，若Q是椭圆与的交点，代入的方程，得即故P与Q重合。（方法三）在第一象限内，由可得椭圆在点P处的切线斜率切线方程为即。因此，就是椭圆在点P处的切线。w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMAT根据椭圆切线的*质，P是椭圆与直线的唯一交点。（II）的斜率为的斜率为由此得构成等比数列。10.（2009安徽卷文）（本小题满分12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心。椭圆短半轴长半径的圆与直线y=x+2相切，（Ⅰ）求a与b；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）设该椭圆的左，右焦点分别为和，直线过且与x轴垂直，动直线与y轴垂直，交与点p..求线段P垂直平分线与的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型。【思路】（1）由椭圆建立a、b等量关系，再根据直线与椭圆相切求出a、b.（2）依据几何关系转化为代数方程可求得，这之中的消参就很重要了。【解析】（1）由于∴∴又∴b2=2,a2=3因此，.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）由（1）知F1，F2两点分别为（1，0），（1,0），由题意可设P（1，t）.（t≠0）.那么线段PF1中点为，设M(x、y)是所求轨迹上的任意点.由于则消去参数t得,其轨迹为抛物线（除原点）11.（2009天津卷文）（本小题满分14分）已知椭圆（）的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于点A,B两点，且（Ⅰ求椭圆的离心率（Ⅱ）直线AB的斜率；（Ⅲ）设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点H(m,n)()在的外接圆上，求的值。【*】（1）（2）（3）【解析】（1）解：由，得,从而，整理得，故离心率（2）解：由（1）知，，所以椭圆的方程可以写为设直线AB的方程为即由已知设则它们的坐标满足方程组w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMAT消去y整理，得依题意，而，有题设知，点B为线段AE的中点，所以联立三式，解得，将结果代入韦达定理中解得(3)由（2）知，，当时，得A由已知得线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为直线的方程为，于是点满足方程组由，解得，故当时，同理可得【考点定位】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何*质，直线方程，圆的方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的*质和数形结合的思想，考查运算能力和推理能力。12.（2009福建卷理）（本小题满分13分）已知A,B分别为曲线C：+=1（y0,a>0）与x轴的左、右两个交点，直线过点B,且与轴垂直，S为上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。【解析】解法一：(Ⅰ)当曲线C为半圆时，如图，由点T为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°.(1)当∠BOT=60°时,∠SAE=30°.又AB=2,故在△SAE中,有(2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为,综上,(Ⅱ)假设存在,使得三点共线.由于点M在以SB为直线的圆上,故.显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为.由设点故,从而.亦即由得由,可得即经检验,当时,O,M,S三点共线.故存在,使得O,M,S三点共线.解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)假设存在a,使得三点共线.由于点M在以SO为直径的圆上,故.显然,直线AS的斜率k存在且K>0,可设直线AS的方程为由设点,则有故由所直线SM的方程为O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即.故存在,使得O,M,S三点共线.13.（2009辽宁卷文）（本小题满分12分）已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）。求椭圆C的方程；E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，*直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。解：（Ⅰ）由题意，c＝1,可设椭圆方程为。因为A在椭圆上，所以，解得＝3，＝（舍去）。所以椭圆方程为．　　　　　　　　　　　　　　　　．．．．．．4分（Ⅱ）设直线ＡＥ方程：得，代入得设Ｅ（，），Ｆ（，）．因为点Ａ（1，）在椭圆上，所以，。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．．．．．．．8分又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得，。所以直线EF的斜率。即直线EF的斜率为定值，其值为。　　．．．．．．．12分14.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）已知，椭圆C过点A，两个焦点为（－1，0），（1，0）。求椭圆C的方程；E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，*直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。解：（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，（舍去）所以椭圆方程为。……………4分（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得设,,因为点在椭圆上，所以………8分又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—K代K，可得所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为。……12分15.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得，所以椭圆的标准方程为（Ⅱ）设，其中。由已知及点在椭圆上可得。整理得，其中。（i）时。化简得所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。（ii）时，方程变形为，其中当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分。当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆；16.（2009宁夏海南卷文）(本小题满分12分)已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是7和1求椭圆的方程‘若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，（e为椭圆C的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。解：（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得{解得a=4,c=3,w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMAT所以椭圆C的方程为（Ⅱ）设M（x,y）,P(x,),其中由已知得而，故①由点P在椭圆C上得代入①式并化简得所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段.17.（2009天津卷理）（本小题满分14分）以知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。求椭圆的离心率；求直线AB的斜率；设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值本小题主要考查椭圆的标准方程和几何*质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的*质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分14分解：由//且，得，从而整理，得，故离心率解：由（I）得，所以椭圆的方程可写为设直线AB的方程为，即.由已知设，则它们的坐标满足方程组消去y整理，得.依题意，而①②由题设知，点B为线段AE的中点，所以③联立①③解得，w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMAT将代入②中，解得.(III)解法一：由（II）可知当时，得，由已知得.线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组，由解得故当时，同理可得.解法二：由（II）可知当时，得,由已知得w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMAT由椭圆的对称*可知B，，C三点共线，因为点H（m，n）在的外接圆上，且，所以四边形为等腰梯形.由直线的方程为,知点H的坐标为.因为，所以，解得m=c（舍），或.则，所以.当时同理可得18.（2009福建卷文）（本小题满分14分）已知直线经过椭圆w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMAT的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点。（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；（Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由解法一：（I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为故椭圆的方程为（Ⅱ）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而由得0设则得，从而w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMAT即又由得故又当且仅当，即时等号成立w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMAT时，线段的长度取最小值（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当取最小值时，此时的方程为要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。设直线则由解得或19.（2009年上海卷理）（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分。已知双曲线设过点的直线l的方向向量当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；*：当>时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为。解：（1）双曲线C的渐近线直线l的方程………………..6分直线l与m的距离……….8分（2）设过原点且平行与l的直线则直线l与b的距离当又双曲线C的渐近线为双曲线C的右支在直线b的右下方，双曲线右支上的任意点到直线的距离为。故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为。[*法二]双曲线的右支上存在点到直线的距离为，则由（1）得，设w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMAT当，0………………………………..13分将代入（2）得（*）方程（*）不存在正根，即假设不成立故在双曲线C的右支上不存在Q，使之到直线l的距离为…………….16分20.（2009上海卷文）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F，一条渐近线m:,设过点A的直线l的方向向量。求双曲线C的方程；若过原点的直线，且a与l的距离为，求K的值；*：当时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.【解】（1）设双曲线的方程为，解额双曲线的方程为（2）直线，直线由题意，得，解得（3）【*法一】设过原点且平行于的直线则直线与的距离当时，w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMAT又双曲线的渐近线为双曲线的右支在直线的右下方，双曲线右支上的任意点到直线的距离大于。故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为【*法二】假设双曲线右支上存在点到直线的距离为，则由（1）得设，当时，；将代入（2）得，方程不存在正根，即假设不成立，故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMAT