2009年高考数学试题分类汇编——排列组合与二项式定理

2009年高考数学试题分类汇编——排列组合与二项式定理一、选择题1.（2009广东卷理）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有A.36种12种C.18种D.48种【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法；若小张、小赵都入选，则有选法，共有选法36种，选A.2.（2009浙*卷理）在二项式的展开式中，含的项的系数是()w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA．．C．D．*：B【解析】对于，对于，则的项的系数是3.（2009*卷文）若为有理数），则（）w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATA．3329C．23D．19【*】B.w【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式.属于基础知识、基本运算的考查.∵，由已知，得，∴.故选B.4.（2009*卷文）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A．8B．24C．48D．120【*】.w【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识.属于基础知识、基本运算的考查.2和4排在末位时，共有种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有种排法，于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有（个）.故选C.5.（2009*卷理）若为有理数），则（）A．45B．55C．70D．80【*】【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式.属于基础知识、基本运算的考查.∵，由已知，得，∴.故选C.6．（2009*卷理）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．328C．360D．648【*】B【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识.属于基础知识、基本运算的考查.首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有（个），当0不排在末位时，有（个），于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有（个）.故选B.7.（2009全国卷Ⅱ文）*、乙两人从4门课程中各选修2门，则*、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（A）6种（B）12种（C）24种（D）30种*：C解析：本题考查分类与分步原理及组合公式的运用，可先求出所有两人各选修2门的种数=36，再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为=6，故只恰好有1门相同的选法有24种。8.（2009全国卷Ⅰ理）*组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从*、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有(D)（A）150种（B）180种（C）300种(D)345种解:分两类(1)*组中选出一名女生有种选法;w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMAT(2)乙组中选出一名女生有种选法.故共有345种选法.选D9.（2009*西卷理）展开式中不含的项的系数绝对值的和为，不含的项的系数绝对值的和为，则的值可能为A．D．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m*：D【解析】，，则可取，选D10.(2009湖北卷理)将*、乙、*、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且*、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为【*】C【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是，顺序有种，而*乙被分在同一个班的有种，所以种数是11.(2009湖北卷理)设，则【*】B【解析】令得令时令时两式相加得：两式相减得：代入极限式可得，故选B12.（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生*不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A.60B.48C.42D.36【*】B【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作*、乙；则男生*必须在A、B之间（若*在A、B两端。则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生*不在两端的要求）此时共有6×2＝12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置*入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法。解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作*、乙；为使男生*不在两端可分三类情况：第一类：女生A、B在两端，男生*、乙在中间，共有=24种排法；第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生*只有一种排法，此时共有＝12种排法第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生*也只有一种排法。此时共有＝12种排法三类之和为24＋12＋12＝48种。w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMAT13.（2009全国卷Ⅱ理）*、乙两人从4门课程中各选修2门。则*、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有A.6种B.12种C.30种D.36种解：用间接法即可.种.故选C14.（2009辽宁卷理）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（A）70种（B）80种（C）100种（D）140种【解析】直接法：一男两女,有C142×6＝30种,两男一女,有C241＝10×4＝40种,共计70种间接法：任意选取C93＝84种,其中都是男医生有C3＝10种,都是女医生有C41＝4种,于是符合条件的有84－10－4＝70种.【*】A（2009湖北卷文）从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有A.120种B.96种C.60种D.48种【*】【解析】5人中选4人则有种，周五一人有种，周六两人则有，周日则有种，故共有××=60种,故选C16.（2009湖南卷文）某地*召集5家企业的负责人开会，其中*企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为【B】A．14B．16C．20D．48解:由间接法得，故选B.17.（2009全国卷Ⅰ文）*组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从*、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（A）150种（B）180种（C）300种（D）345种【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。解：由题共有，故选择D。18.（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生*不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A.60B.48C.42D.36【*】B【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作*、乙；则男生*必须在A、B之间（若*在A、B两端。则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生*不在两端的要求）此时共有6×2＝12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置*入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法。解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作*、乙；为使男生*不在两端可分三类情况：第一类：女生A、B在两端，男生*、乙在中间，共有=24种排法；第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生*只有一种排法，此时共有＝12种排法第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生*也只有一种排法。此时共有＝12种排法三类之和为24＋12＋12＝48种。19.（2009陕西卷文）若,则的值为（A）2（B）0（C）(D)*:C.w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMAT解析:由题意容易发现,则,同理可以得出,………亦即前2008项和为0,则原式==故选C.20.（2009陕西卷文）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为(A)432(B)288(C)216(D)108网*:C.解析:首先个位数字必须为奇数，从1，3，5，7四个中选择一个有种，再丛剩余3个奇数中选择一个，从2，4，6三个偶数中选择两个，进行十位，百位，千位三个位置的全排。则共有故选C.w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMAT21.(2009湖南卷理)从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则*、乙至少有1人入选，而*没有入选的不同选法的种数位w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATA85B56C49D28【*】：【解析】解析由条件可分为两类：一类是*乙两人只去一个的选法有：，另一类是*乙都去的选法有=7，所以共有42+7=49，即选C项。22.（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生*不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A.360B.188C.216D.96【考点定位】本小题考查排列综合问题，基础题。解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有种，其中男生*站两端的有，符合条件的排法故共有188解析2：由题意有,选B。23.（2009重庆卷文）的展开式中的系数是（）w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA．20B．40C．80D．160【*】D解法1设含的为第，则，令，得，故展开式中的系数为。解法2根据二项展开式的通过公式的特点：二项展开式每一项中所含的与2分得的次数和为6，则根据条件满足条件的项按3与3分配即可，则展开式中的系数为。24.（2009重庆卷文）12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为（）A．D．【*】B解析因为将12个组分成4个组的分法有种，而3个强队恰好被分在同一组分法有，故个强队恰好被分在同一组的概率为。二、填空题w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMAT1.（2009宁夏海南卷理）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安排方案共有________________种（用数字作答）。解析：，*：1402.（2009湖北卷文）已知（1+ax）3,3+…+a3x3,则b=.【*】40【解析】因为∴.解得3.（2009湖南卷文）在的展开式中，的系数为6(用数字作答).解:，故得的系数为4.（2009全国卷Ⅰ文）的展开式中，的系数与的系数之和等于_____________.【解析】本小题考查二项展开式通项、基础题。（同理13）解:因所以有5.（2009四川卷文）的展开式的常数项是（用数字作答）w.w.w.k.s.5.u.c.o.【*】－20【解析】，令，得故展开式的常数项为6.(2009湖南卷理)在的展开式中，的系数为___7__(用数字作答)【*】：7w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMAT【解析】由条件易知展开式中项的系数分别是，即所求系数是7.（2009天津卷理）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个（用数字作答）【考点定位】本小题考查排列实际问题，基础题。解析：个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：种；个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：种，所以共有个。8.（2009四川卷理）的展开式的常数项是（用数字作答）【考点定位】本小题考查二项式展开式的特殊项，基础题。（同文13）解析：由题知的通项为，令得，故常数项为。9.（2009浙*卷理）观察下列等式：，，，，………由以上等式推测到一个一般的结论：对于，．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m*：【解析】这是一种需类比推理方法*的问题，结论由二项构成，第二项前有，二项指数分别为，因此对于，10.（2009浙*卷理）*、乙、*人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）．*：336【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有种，因此共有不同的站法种数是336种．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m11.（2009浙*卷文）有张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数，其中．从这张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为）不小于”为，则．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【命题意图】此题是一个排列组合问题，既考查了分析问题，解决问题的能力，更侧重于考查学生便举问题解决实际困难的能力和水平【解析】对于大于14的点数的情况通过列举可得有5种情况，即，而基本事件有20种，因此w.w.w.k.s.5.u.c.o.m12.（2009全国卷Ⅱ文）的展开式中的系数为×*：6解析：本题考查二项展开式，直接用公式展开，注意根式的化简。13.（2009全国卷Ⅰ理）的展开式中，的系数与的系数之和等于。解:14.（2009四川卷文）的展开式的常数项是（用数字作答）w.w.w.k.s.5.u.c.o.【*】－20【解析】，令，得故展开式的常数项为w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMAT（2009全国卷Ⅱ理）的展开式中的系数为6。解：，只需求展开式中的含项的系数：16.（2009年上海卷理）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望____________（结果用最简分数表示）.w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMAT【*】【解析】可取0，1，2，因此P（＝0）＝，P（＝1）＝，P（＝2）＝，＝0×＝17.（2009重庆卷理）的展开式中的系数是（）A．16B．70C．560D．1120【*】【解析】设含的为第，所以，故系数为：，选D。18.（2009重庆卷理）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）A．D．w.w.w.k.s.5.u.c.o.mINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/20091/2009189344.jpg"\*MERGEFORMAT【*】C【解析】因为总的滔法而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆取得个数分别按1.1.2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率为19.（2009重庆卷理）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分*案有种（用数字作答）．【*】36【解析】分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有;第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有所以满足条件得分配的方案有