2009年朝阳区高三一模数学试题（理科）

*市朝阳区2008—200*年度第二学期高三统一练习（一）数学试题（理科）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分第I卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。2．每小题选出*后，用铅笔把答题卡上对应题目的*标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他*标号，不能答在试题卷上。一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知*false，false则false等于（）A．false．{1,2}C．{2,3}D．{1,2,3}2．下列函数中，在区间false上为增函数的是（）A．falseB．falseC．falseD．false3．复数false(false是虚数单位)在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．从6名女生，4名男生中，按*别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（）A．falseB．falseC．falseD．false5．用一平面去截体积为false的球，所得截面的面积为false，则球心到截面的距离为（）A．falseB．falseC．falseD．false6．各项均不为零的等差数列false中，若false，则false等于（）A．0B．2C．2009D．40187．已知函数false.如果false，则实数false等于（）A．falseB．falseC.．１D．false8．蔬菜价格随着季节的变化而有所变化.根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知，购买2千克*种蔬菜与1千克乙种蔬菜所需费用之和大于8元，而购买4千克*种蔬菜与5千克乙种蔬菜所需费用之和小于22元.设购买2千克*种蔬菜所需费用为false元，购买3千克乙种蔬菜所需费用为false元，则（）A．falseB．falseC．falseD．false大小不确定二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.将*填在题中横线上.9．false_________.10．在△false中，角false所对的边分别为false.若∠false，则∠false等于_________度.11．若false展开式中的二项式系数和为512，则false等于_________；该展开式中的常数项为_________.12．已知动直线false平分圆false，则直线false与圆false为参数)的位置关系是_________.13．过抛物线false的焦点false作直线false，交抛物线于false两点，交其准线于false点.若false，则直线false的斜率为_________.14．定义映*false，其中false，false.已知对所有的有序正整数对false满足下述条件：①false；②若false，false；③false，则false的值是_________；false的表达式为_________（用含false的代数式表示）.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、*过程或演算步骤.15．（本小题满分13分）已知函数false．（Ⅰ）求函数false的最小正周期，并写出函数false图象的对称轴方程；（Ⅱ）若false，求函数false的值域．2009040916．（本小题满分13分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭*案，需要对各种不同的搭*式作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现在可供选用的不同添加剂有6种，其中芳香度为1的添加剂1种，芳香度为2的添加剂2种，芳香度为3的添加剂3种．根据试验设计原理，通常要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．（Ⅰ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为3的概率；（Ⅱ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数的概率；（Ⅲ）用false表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和，写出false的分布列，并求false的数学期望false．17．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱false中,已知false，false，false，false是false的中点.（Ⅰ）求*：false；（Ⅱ）求二面角false的大小；（Ⅲ）求直线false与平面false所成角的正弦值.A′C′BAADACA18．（本小题满分13分）已知函数false．（Ⅰ）写出函数false的定义域，并求函数false的单调区间；（Ⅱ）设过曲线false上的点false的切线false与false轴、false轴所围成的三角形面积为false，求false的最小值，并求此时点false的坐标.19．（本小题满分13分）已知false的三边长false成等差数列，若点false的坐标分别为false．（Ⅰ）求顶点false的轨迹false的方程；（Ⅱ）若线段false的延长线交轨迹false于点false，当false时，求线段false的垂直平分线false与false轴交点的横坐标的取值范围．20．（本小题满分14分）已知数列false的前false项和为false，且false，其中false．（Ⅰ）求数列false的通项公式；（Ⅱ）设数列false满足false，false为false的前false项和，求*：false；（Ⅲ）是否存在正整数false，使得false成立？若存在，请求出false和false的值；若不存在，请说明理由．参考*一、选择题:题号12345678*DBDACDAA二、填空题:9．false;10．105°;11．9,false;12．相交13．false;14．6,false.三、解答题:15．解:（Ⅰ）因为falsefalsefalse，所以,函数false的最小正周期为2false．由false，得false.故函数false图象的对称轴方程为false.………………8分（Ⅱ）因为false，所以false．所以false.所以函数false的值域为false．………………13分16．解：（Ⅰ）设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为3”为事件A，则false答：所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为3的概率是false……4分（Ⅱ）设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数”为事件B，两种添加剂的芳香度之和为偶数有三种可能：芳香度为1和3，芳香度为2和2，芳香度为3和3，其中芳香度为1和3的概率为false芳香度为2和2的概率为false芳香度为3和3的概率为false所以false答：所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数的概率是false……………9分（Ⅲ）false的可能取值为3，4，5，6，且falsefalsefalsefalse所以false的分布列为false3456Pfalsefalsefalsefalse所以,false………………13分17．解法一：（Ⅰ）*：因为false，false是false的中点，所以false.由已知，三棱柱false是直三棱柱，所以平面false平面false.所以false平面false.又因为false平面false,EA′C′BAADACAF所以false.………………5分（Ⅱ）解：由（1）知false平面false.过false作false，垂足为false,连结false.由三垂线定理可知false，所以false是二面角false的平面角.由已知可求得false，false,所以false.所以二面角false的大小为false.由于二面角false与二面角false的大小互补，所以二面角false的大小为false.………………10分（Ⅲ）过D作falsefalsefalse,垂足为false,连结false.由（Ⅱ）可*得falsefalse平面false,所以falsefalsefalse,可*得falsefalse平面false.所以,false为直线false与平面false所成的角.在直角三角形false中，可知false，所以false.在直角三角形false中，可知false=false.在直角三角形false中，false=false.所以直线false与平面false所成角的正弦值为false.………………14分解法二：以false的中点false为原点，先*false平面false，建立空间直角坐标系（如图）.由已知可得false、false、false、false、false、false.（Ⅰ）*：false，false.因为false，所以false.………………5分（Ⅱ）解：false.设平面false的一个法向量为false，由false得false解得false所以false.又知，false平面false，所以false为平面false的法向量.因为false,所以false由图可知，二面角false大于90º，所以二面角false的大小为false.………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面false的一个法向量false,又false.所以false.因为直线false与平面false所成角为false,所以直线false与平面false所成角的正弦值为false.………………14分18．解：(Ⅰ)函数false的定义域是false．函数false的导数是false.令false,即false,解得false,所以函数false的递增区间是false;令false,即false,解得false,所以函数false的递减区间是false.………………6分(Ⅱ)设false，则切线的斜率false，则切线false的方程是false，设切线false与false轴、false轴的交点为false、false，令false，由题意可知false，解得false，所以false；令false，解得false，所以false，所以false，当且仅当false，即false时，△false面积的最小值为2.此时,点false的坐标是false．………………13分(可求导或用二次函数求得false的最大值)19．解：（Ⅰ）因为false成等差数列，点false的坐标分别为false所以false且false由椭圆的定义可知点false的轨迹是以false为焦点长轴为4的椭圆（去掉长轴的端点），所以false．故顶点false的轨迹false方程为false．………………4分（Ⅱ）由题意可知直线false的斜率存在，设直线false方程为false．由false得false，设false两点坐标分别为false，则false，false，所以线段false中点false的坐标为false,故false垂直平分线false的方程为false，令false，得false与false轴交点的横坐标为false，由false得false，解得false，又因为false，所以false．当false时，有false，此时函数false递减，所以false．所以，false．故直线false与false轴交点的横坐标的范围是false．………………13分20．解：（Ⅰ）已知式即false，故false．因为false，当然false，所以falsefalse．由于false，且false，故false．于是false，false，所以falsefalse．………………4分（Ⅱ）由false，得falsefalse，故false．从而false．falsefalse因此falsefalsefalsefalsefalse．设false，则false，故falsefalse，注意到false，所以false．特别地false，从而false．所以false．………………9分（Ⅲ）易得false．注意到false，则有false，即false，整理得false．①当false时，由①得false．因为false，所以false．当false时，由①得false．②因为false，故②式右边必是3的倍数，而左边不是3的倍数，所以②式不成立，即当false时，不存在false，使得①式成立．综上所述，存在正整数false，使得false成立．………………14分