2009年高考数学预测题及*一(理科)

2009年高考数学预测卷一(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，卷面共计150分，时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共50分）一．选择题：本题共有10个小题，每小题5分，共50分;在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的1、定义*运算：A⊙B=｛，x∈A，y∈B｝，设*A=｛，0，1｝，B=，则*A⊙B的所有元素之和为A、1B、0C、D、2、如果复数(其中为虚数单位，b为实数)的实部和虚部都互为相反数，那么b等于A、B、C、D、23、若数列｛an｝满足a1=5,an+1=+(n∈N+),则其｛an｝的前10项和为A、50B、100C、150D、2004、设f(x)=tan3x+tan3x，则f(x)为A、周期函数，最小正周期为B、周期函数，最小正周期为C、周期函数，最小正周期为D、非周期函数5.动点P（m,n）到直线的距离为λ，点P的轨迹为双曲线（且原点O为准线l对应的焦点），则λ的取值为A、λ∈RB、λ=1C、λ＞1D、0＜λ＜16.已知函数f(x)=,若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是A、B、C、D、7.四面体的一个顶点为A，从其它顶点与棱的中点中任取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有A、30种B、33种C、36种D、39种8、如图，直三棱柱ABB1DCC1中，∠ABB1=90°，AB=4，BC=2，CC1=1，DC上有一动点P，则ΔAPC1周长的最小值为B、5C、4+D、49、已知函数f(x)=，设=，若≤x1＜0＜x2＜x3，则A、a2＜a3＜a4B、a1＜a2＜a3C、a1＜a3＜a2D、a3＜a2＜a110、函数y=的图象为双曲线，则该双曲线的焦距为A、4B、2C、4D、8第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把*填在题中横线上.11、已知（x）n的展开式中第二项与第三项的系数之和等于27，则n等于，系数最大的项是第项。12、若不等式1loga＜0有解，则实数a的范围是.13、｛n[(1+)2]｝=.14、三个好朋友同时考进同一所高中，该校高一有10个班，则至少有2人分在同一班的概率为.15、若RtΔABC中两直角边为a、b,斜边c上的高为h，则，如图，在正方体的一角上截取三棱锥PABC，PO为棱锥的高，记M=,N=,那么M、N的大小关系是.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、*过程或演算步骤。16、（本题满分12分）已知函数f(x)=+2sin2x（1）求函数f(x)的最大值及此时x的值；（2）求函数f(x)的单调递减区间。17、（本题满分12分）四个纪念*A、B、C、D，投掷时正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）纪念*AD概率1/21/2aa这四个纪念*同时投掷一次，设ξ表示出正面向上的个数。（1）求概率p(ξ)（2）求在概率p(ξ)，p（ξ=2）为最大时，a的取值范围。（3）求ξ的数学期望。18、（本题满分12分）如图①在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E，F，G分别是线段PC、PD，BC的中点，现将ΔPDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD（如图②）（1）求*AP∥平面EFG；（2）求二面角GEFD的大小；（3）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，试给出*。19、（本题满分12分）在平面直角坐标系中，已知A1（3，0），A2（3，0），P（x,y），M（，0），若实数λ使向量，λ，满足λ2·（）2=·。（1）求点P的轨迹方程，并判断P点的轨迹是怎样的曲线；（2）当λ=时，过点A1且斜率为1的直线与此时（1）中的曲线相交的另一点为B，能否在直线x=9上找一点C，使ΔA1BC为正三角形（请说明理由）。20、（本题满分13分）已知f(x)=ln(1+x2)+ax(a≤0)。（1）讨论f(x)的单调*。（2）*：（1+）（1+）…（1+）＜e（n∈N*，n≥2,其中无理数e=2.71828…）21、（本题满分14分）已知函数与函数的图像关于直线对称．（1）试用含的代数式表示函数的解析式，并指出它的定义域；（2）数列中，，当时，．数列中，，．点在函数的图像上，求的值；（3）在（2）的条件下，过点作倾斜角为的直线，则在ｙ轴上的截距为，求数列的通项公式．参考*：一、选择题1、当χ=1，1，y∈B，所得元素之和为0，放A⊙B所有元素之和为0选B2、由题意知22b=4+b∴b=选C3、由an+1=+得a2anan+1+a=0∴an+1=an即｛an｝为常数列S10=10a1=50∴选A4、作出f(x)的图象，当0≤x＜时，f(x)=2tan3x,当＜x≤时，f(x)=0，由图象知f(x)为周期函数，最小正周期为，故选A。5、D由双曲线定义及点P（m,n）到原点的距离为可得：e==＞1,∴0＜λ＜1，故选D。（也可直接用解析法推导）12316、作出函数f(x)的图象，要使斜率为1的直线与y=f(x),有两个不同的交点，必须a＜1，故选C。7、四面体有四个顶点，6条棱有6个中点，每个面上6个点共面。点A所在的每个面中含A的4点组合有C个，点A在三个面内，共有3C；点A在6条棱的3条棱上，每条棱上有3个点，这3个点与这条棱对棱的中点共面，∴符合条件的个数有3C+3=33个，选B。8、在直三棱柱ABB1=DCC1中，AC1=将△DCC1展开与矩形ABCD在同一平面内，AP+PC1最小，此时AP+PC1为，∴周长最小值为5+，故选A。9、画出函数f(x)=的图象，则an=表示曲线上动点（xn、f(xn)）与定点（0，2）所在直线的斜率，显然a2＜a3＜0＜a1故选A10、D由于y==+1，所以，双曲线y=与双曲线y=的形状与大小完全相同，而等轴双曲线y=的一条对称轴y=x和它的交点为（2，2），（2，2），于是实半轴长为2，由对称*知虚半轴长为2，从而焦距为8。二、填空题11、Tr+1=)nr()r,由题意知：+=27n=9∴展开式共有10项，二项式系数最大的项为第五项或第六项，故项的系数最大的项为第五项。12、当a＞1时，不等式化为10ax＞a,要使不等式有解，必须10a＞0∴1＜a＜10当0＜a＜1时，不等式化为0＜10ax＜a10a＜ax＜10不等式恒有解故满足条件a的范围是（0，1）∪（1，10）13、[n(+)]=(+2)=214、P=1=ADP15、如图，连CO交AB于D点，∵PC⊥面APB，PO⊥底ABC∴AB⊥面PDC，即AB⊥PD，∵ΔCPD为RtΔ故由已知得：=+=+，故M=N三、解答题16、解：（1）∵cos3x=4cos3x3cosx，则=4cos2x3=2cos2x1∴f(x)=2cos2x1+2sin2x=2sin(2x+)1……………………4分在2x+=2kπ+时，f(x)取得最大值21即在x=kπ+(k∈Z)时，f(x)取得最大值21……………………6分（2）∵f(x)=2sin(2x+)1要使f(x)递减，x满足2kπ+≤2x+≤2kπ+即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)又∵cosx≠0，即x≠kπ+(k∈Z)……………………10分]）于是[kπ+，kπ+，（kπ+，kπ+均为减区间…………12分17、解：（1）p(ξ个正面向上，4ξ个背面向上的概率，其中ξ可能取值为0，1，2，3，4。∴p(ξ=0)=(1)2(1a)2=(1a)2p(ξ=1)=(1)(1a)2+(1)2·a(1a)=(1a)p(ξ=2)=()2(1a)2+(1)a(1a)+(1)2·a2=(1+2a2a2)p(ξ=3)=()2a(1a)+(1)a2=p(ξ=4)=()2a2=a2……………………………………5分(2)∵0＜a＜1,∴p(ξ=1)＜p(ξ=1),p(ξ=4)＜p(ξ=3)则p(ξ=2)p(ξ=1)=(1+2a2a2)=－≥0由，即a∈[]……………………9分（3）由（1）知ξ的数学期望为Eξ=0×（1a）2+1×(1a)+2×(1+2a2a2)+3×+4×=2a+1………………12分18、解：（1）∵EF∥CD∥AB，EG∥PB，根据面面平行的判定定理∴平面EFG∥平面PAB，又PA面PAB，∴AP∥平面EFG……………………4分（2）∵平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC∴AD⊥平面PCD，而BC∥AD，∴BC⊥面EFD过C作CR⊥EF交EF延长线于R点连GR，根据三垂线定理知∠GRC即为二面角的平面角，∵GC=CR，∴∠GRC=45°，…………………8分故二面角GEFD的大小为45°。（3）Q点为PB的中点，取PC中点M，则QM∥BC，∴QM⊥PC在等腰Rt△PDC中，DM⊥PC，∴PC⊥面ADMQ……………………12分19、解：（1）由已知可得，=（x+3,y）,=(x3,y),=(,0),∵2（）2=·，∴2（x29）=x29+y2,即P点的轨迹方程（12）x2+y2=9（12）当12＞0，且≠0，即∈（1，0）时，有+=1，∵12＞0，∴＞0，∴x2≤9。∴P点的轨迹是点A1，（3，0）与点A2（3，0）………………………………3分当=0时，方程为x2+y2=9，P的轨迹是点A1（3，0）与点A2（3，0）当12＜0，即入∈（∞，1）∪（1，+∞）时，方程为=1，P点的轨迹是双曲线。当12=0，即=±1时，方程为y=0，P点的轨迹是*线。……………………6分（2）过点A1且斜率为1的直线方程为y=x+3,当=时，曲线方程为+=1，由（1）知，其轨迹为点A1（3，0）与A2（3，0）因直线过A1（3，0），但不过A2（3，0）。所以，点B不存在。所以，在直线x=9上找不到点C满足条件。…………………………12分20、解：（理）（1）f′(x)=－+a=………………………………1分(i)若a=0时，f′(x)=＞0x＞0，f′(x)＜0x＜0∴f(x)在(0,+∞)单调递增，在（∞，0）单调递减。…………………………3分（ii）若时，f′(x)≤0对x∈R恒成立。∴f(x)在R上单调递减。……………………………6分(iii)若1＜a＜0，由f′(x)＞0ax2+2x+a＞0＜x＜由f′(x)＜0可得x＞或x＜∴f(x)在[，]单调递增在（∞，]，[上单调递减。综上所述：若a≤－1时，f(x)在（－∞，+∞）上单调递减。………………………………7分（2）由（1）当a=－1时，f(x)在（∞，+∞）上单调递减。当x∈（0，+∞）时f(x)＜f(0)∴ln（1+x2）－x＜0即ln（1+x2）＜x∴ln[（1+）（1+）……(1+)]=ln[（1+）（1+）+…ln（1+）＜++…+＜=1++…+=1＜1∴（1+）（1+）……(1+)＜e…………………………………………13分21、解：（1）由题可知：与函数互为反函数，所以，，…………………………2分（2）因为点在函数的图像上，所以，(*)在上式中令可得：，又因为：，，代入可解得：．所以，，(*)式可化为：①……6分（3）直线的方程为：，，在其中令，得，又因为在ｙ轴上的截距为，所以，=，结合①式可得：②由①可知：当自然数时，，，两式作差得：．结合②式得：③在③中，令，结合，可解得：，又因为：当时，，所以，舍去，得．同上，在③中，依次令，可解得：，．猜想：．下用数学归纳法*．…………………………10分（1）时，由已知条件及上述求解过程知显然成立．（2）假设时命题成立，即，则由③式可得：把代入上式并解方程得：由于，所以，，所以，符合题意，应舍去，故只有．所以，时命题也成立．综上可知：数列的通项公式为…………………………14分