09年高三向量知识点及典型例题

09级高三数学总复习讲义——向量知识清单一、向量的有关概念1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2.向量的表示方法:⑴字母表示法:如false等.⑵几何表示法:用一条有向线段表示向量.如false,false等.⑶坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量false的起点O为在坐标原点,终点A坐标为false,则false称为false的坐标,记为false=false.注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量false与false相等,记为false.注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:false与任一向量共线.注:共线向量又称为平行向量.7.相反向量:长度相等且方向相反的向量.二、向量的运算(一)运算定义①向量的加减法，②实数与向量的乘积，③两个向量的数量积,这些运算的定义都是“自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义.其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运算,发现它们有很好地运算*质,这些运算*质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化.刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法falsefalse+false=falsefalsefalse=false记false=(1,y1),false=(1,y2)则false=(1+2,y1+y2)false=（21,y2y1）falsefalse+false=false实数与向量的乘积falsefalse=λfalseλ∈R记false=(,y)则λfalse=(λ,λy)两个向量的数量积falsefalse记false则false·false=12+y1y2(二)运算律加法：①false(交换律);②false(结合律)实数与向量的乘积：①false;②false;③false两个向量的数量积:①false·false=false·false;②(λfalse)·false=false·(λfalse)=λ(false·false);③(false+false)·false=false·false+false·false注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线*运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算*质可以简化向量的运算，例如(false±false)2=false(三)运算*质及重要结论⑴平面向量基本定理:如果false是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量false,有且只有一对实数false,使false，称false为false的线*组合。①其中false叫做表示这一平面内所有向量的基底;②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量false的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.这说明如果false且false,那么false.③当基底false是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(，y)，则false=（,y）；当向量起点不在原点时，向量false坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（1,y1），B（2,y2），则false=(21,y2y1)⑵两个向量平行的充要条件符号语言：false坐标语言为：设非零向量false,则false∥falsefalse(1,y1)=λ(2,y2)，即false,或1y22y1=0,在这里,实数λ是唯一存在的,当false与false同向时,λ>0；当false与false异向时,λ<0。|λ|=false,λ的大小由false及false的大小确定。因此,当false,false确定时，λ的符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中λ的几何意义。⑶两个向量垂直的充要条件符号语言：falsefalse坐标语言：设非零向量false，则falsefalse⑷两个向量数量积的重要*质：①false即false(求线段的长度);②falsefalse(垂直的判断);③false(求角度)。以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值.注:①两向量false,false的数量积运算结果是一个数false(其中false),这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关.②MACROBUTTONMTEditEquationSection2EquationChapter2Section1SEQMTEqn\r\h\*MERGEFORMATSEQMTSec\r1\h\*MERGEFORMATSEQMTChap\r2\h\*MERGEFORMATfalse叫做向量false在false方向上的投影（如图）.数量积的几何意义是数量积false等于false的模与false在false方向上的投影的积.③如果false,false,则false=false,∴false,这就是平面内两点间的距离公式.课前预习1．在false中，false（）falsefalsefalsefalse2.平面内三点false,若false∥false，则x的值为(　)(A)1(C)1(D)53.设false，false，false是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：①(false·false)false(false·false)false=0②|false||false|<|falsefalse|③(false·false)false(false·false)false不与false垂直④(3false+2false)·(3false2false)=9|false|24false|2中，真命题是()(A)①②(B)②③(C)③④(D)②④4.△OAB中,false=false,false=false,false=false,若false=false，t∈R，则点P在()(A)∠AOB平分线所在直线上(B)线段AB中垂线上(C)AB边所在直线上(D)AB边的中线上5.正方形false对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且false=（0，3），false=（4，0），则false=()(A)（false）(B)（false）(C)（7，4）(D)（false）6.已知false,则实数=_______.7.已知false则false_____,false______,false与false的夹角的余弦值是_____.8．在△false中,false,false,若false,则false=▲.；9.已知false的三个顶点分别为false求false的大小.10.已知△ABC中，A（2，1），B（3，2），C（3，1），BC边上的高为AD，求点D和向量false坐标。11.在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使|false|∶|false|=1∶3，|false|∶|false|=1∶4，设线段AN与BM交于点P，记false=false，false=false，用false，false表示向量false.典型例题一、平面向量的实际背景与基本概念BACOFDE图1EG1.如图1，设O是正六边形的中心，分别写出图中与false、false、false相等的向量。变式1：如图1，设O是正六边形的中心，分别写出图中与false、false共线的向量。BACOFDE图2解：变式2：如图2，设O是正六边形的中心，分别写出图中与false的模相等的向量以及方向相同的向量。解：二、平面向量的线*运算EG2.DCAB如图，在平行四边形ABCD中，falsea，false，你能用a，表示向量false，false吗？变式1：如图，在五边形ABCDE中，falsea，false，falsec，falsed，DECAB试用a，，c，d表示向量false和false.DCAB变式2：如图，在平行四边形ABCD中，若，falsea，false则下列各表述是正确的为（）A．falsefalseC．falsea+bD．false(a+b)变式3：已知false=a，false=b,false=c,false=d,且四边形ABCD为平行四边形，则（）A.a++c+d=0a－+c－d=0C.a+－c－d=0D.a－－c+d=0变式4：在四边形ABCD中，若false，则此四边形是(　　)A．平行四边形　　　B．菱形　　　C．梯形　　　D．矩形变式5：已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a－b)垂直的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件变式6：在四边形ABCD中，false=a+2，false=－4a－，false=－5a－3，其中a、不共线，则四边形ABCD为（）A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形变式7：已知菱形ABCD，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则false等（）A.λ(false+false),λ∈(0,1)λ(false+false),λ∈(0,false)C.λ(false－false),λ∈(0,1)D.λ(false),λ∈(0,false)变式8：已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且false=false，false=false，false=false,则下列各式：①false=falsefalse－falsefalse②false=false+falsefalse③false=－falsefalse+falsefalse④false+false+false=false其中正确的等式的个数为（）A.1C.3D.4EG3．a如图，已知任意两个非零向量a、，试作falsea+，falsea+2，falsea+3，你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？变式1：已知falsea+2，false2a+4，false3a+6(其中a、是两个任意非零向量)，*：A、B、C三点共线．*：∵falsea+2，false2a+4，∴false所以，A、B、C三点共线．变式2：已知点A、B、C在同一直线上，并且falsea+，falsea+2，falsea+3(其中a、是两个任意非零向量)，试求m、n之间的关系．EG4.已知四边形ABCD，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求*：false变式1：已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，DCEFAB求*：false.三、平面向量的基本定理及坐标表示EG4.已知a=(4，2)，=(6，y)，且a//b，求y．变式1：与向量a=(12，5)平行的单位向量为（）A．falsefalseC．false或falseD．false或false变式2：已知afalse，bfalse，当a+2b与2a－b共线时，false值为（）A．1B．2C．falseD．false变式3：已知A(0,3)、(2,0)、C(－1,3)与false方向相反的单位向量是()A．(0,1)B．(0,－1)C．(－1,1)D．(1,－1)变式4：已知a=(1，0)，=(2，1)．试问：当为何实数时，a－与a+3平行,平行时它们是同向还是反向？EG5.设点P是线段false上的一点，false、false的坐标分别为false，false．(1)当点P是线段false上的中点时，求点P的坐标；(2)当点P是线段false的一个三等分点时，求P的坐标变式1：已知两点false，false，false，则P点坐标是（）OAPQaA．falseB．falseC．falseD．false变式2：如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，若false＝a，false＝b，则false＝　　　，false＝　(用a、b表示)四、平面向量的数量积EG6.已知|a|＝6，||＝4且a与的夹角为false，求(a+2)·(afalse)．变式1：已知false那么false与false夹角为A、falseB、falseC、falseD、false变式2：已知向量a和的夹角为60°，|a|＝3，||＝4，则（2a–）·a等于（A）15（B）12（C）6（D）3变式3：在△ABC中，已知|false|=4，|false|=1，S△ABC=false，则false·false等于（）A.－2B.2C.±2D.±4变式4：设向量false与向量false的夹角为钝角，求实数t的取值范围.EG7.已知|a|＝3，||＝4且a与不共线，为何实数时，向量a+与afalse互相垂直？变式1：已知a⊥，|a|＝2，||＝3，且向量3a+2与afalse互相垂直，则的值为（）A．falsefalseC．falseD．1变式2：已知|a|＝1，||＝false且（a－）⊥a，则a与夹角的大小为．EG8.已知a=(4，2)，求与向量a垂直的单位向量的坐标．变式1：若i=(1,0),j=(0,1)，则与2i+3j垂直的向量是()A．3i+2jB．－2i+3jC．－3i+2jD．2i－3j变式2：已知向量false，false，若false与false垂直，则实数false=（）A．1B．－1C．0D．2变式3：若非零向量false互相垂直，则下列各式中一定成立的是（）A．falseB．falseC．falseD．false变式4：已知向量a＝（3，－4），＝（2，），＝（2，y）且a∥，afalse．求|－|的值．EG9.已知A(1，2)，(2，3)，C(false，5)，试判断false的形状，并给出*．变式1：false是false所在的平面内的一点，且满足false，则false一定为（）A．正三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．斜三角形变式2：已知A、、三点不共线，是△ABC内的一点，若false＋false＋false＝0，则是△ABC的（）A．重心B．垂心C．内心D．外心变式3：已知false，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形变式4：四边形false中，false（1）若false，试求false与false满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有false，求false的值及四边形false的面积。五、平面向量应用举例EG10.题目意图：用平面向量的方法*平面几何命题：平行四边形两条对角线的平方和等于其两条邻边的平方和的两倍变式1：如图，矩形ABCD内接于半径为r的圆O，点P是圆周上任意一点，false求*：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.变式2：已知△ABC中，false，若false，求*：△ABC为正三角形.变式3：已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求*false.变式4：四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，求*：false实战训练1.（08全国一3）在false中，false，false．若点false满足false，则falseA．falseB．falseC．falseD．false2.（08安徽卷3）．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若false，false,则false（）A．（－2，－4）B．（－3，－5）C．（3，5）D．（2，4）3.（08湖北卷1）设false,false,false则falseA.false　　　　B.falsefalseD.false4.（08湖南卷7）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且falsefalsefalse则false与false()A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直5.（08陕西卷）关于平面向量false．有下列三个命题：①若false，则false．②若false，false，则false．③非零向量false和false满足false，则false与false的夹角为false．其中真命题的序号为　　　　．（写出所有真命题的序号）6.（08广东卷8）在平行四边形false中，false与false交于点false是线段false的中点，false的延长线与false交于点false．若false，false，则false（）A．falseB．falseC．falseD．false7.（08浙*卷9）已知false，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量false满足false,则false的最大值是（A）1（B）2（C）false（D）false8.（08辽宁卷5）已知O，A，是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足false，则false（）A．falseB．falseC．falseD．false9.（08海南卷8）平面向量false，false共线的充要条件是（）A.false，false方向相同B.false，false两向量中至少有一个为零向量C.false，falseD.存在不全为零的实数false，false，false10.（08上海卷5）若向量false，false满足false且false与false的夹角为false，则false　　　　．11.（08全国二13）设向量false，若向量false与向量false共线，则false．12.（08*卷10）已知向量false与false的夹角为false，且false，那么false的值为．13.（08天津卷14）已知平面向量false，false．若false，则false_____________．14.（08*苏卷5）false，false的夹角为false，false，false则false▲．15.（08*西卷13）直角坐标平面上三点false，若false为线段false的三等分点，则false=．16．（08海南卷13）已知向量false，false，false且false，则false=_____17（08福建卷17）已知向量m=(sinAA),n=false，m·n＝1，且A为锐角.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数false的值域.18.在false中，角A、B、C的对边分别为false，已知向量falsefalse且满足false，（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若false试判断false的形状。19.已知向量false，若函数false的图象经过点false和false（I）求false的值；（II）求false的最小正周期，并求false在false上的最小值；（III）当false时，求false的值．20.在false中，false所对边分别为false.已知falsefalse,且false.（Ⅰ）求false大小.（Ⅱ）若false求false的面积S的大小.21.已知向量false，false，记false．（1）求f()的解析式并指出它的定义域；（2）若false，且false，求false．22.已知向量false,false,false,设false.(Ⅰ)求函数false的最小正周期.(Ⅱ)若false,且false,求false的值.23.（2007年陕西卷理17.）设函数f()=ab,其中向量a=(cos2),=(1+sin2,1),∈R,且函数y=f()的图象经过点false，（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f()的最小值及此时x的值的*.24.(07年陕西卷文17）.设函数false.其中向量false.（Ⅰ）求实数false的值;（Ⅱ）求函数false的最小值.