2008年海淀区高三数学查漏补缺试题

false2008海淀区高三数学查漏补缺题2008.05.19说明：请各学校针对自己学校情况补充和选用查漏补缺题.请别忘了从海淀教研网上下载“高中数学易忘、易混、易错的问题”。一、三角部分1．已知false且false（I）求false（或false）；（II）求false解（I）falsefalsefalse，falsefalsefalsefalsefalse.（false）（II）false，false.false，false.false.解法2：false，false，false.falsefalsefalsefalse.2．右图为函数false的一段图象.（I）请写出这个函数的一个解析式；（II）求与（I）中函数图象关于直线false对称的函数图象的解析式，并作出它一个周期内的简图.解：（I）false又false由false的图象过falsefalse（为其中一个值）.∴false为所求.（II）设false为所求函数图象上任意一点，该点关于直线false对称点为false，则点必在函数false的图象上.∴false，即false的图象关于直线false对称的函数图象的解析式是false.falsefalse列表：作图：falsefalsefalsefalsefalsefalsefalse0falsefalsefalsefalsefalse03030二、概率3．（文科）一辆车要直行通过某十字路口，此时前方交通灯为红灯，且该车前面已有4辆车依次在同一车道上排队等候（该车道只可以直行或左转行驶）.已知每辆车直行的概率是false，左转行驶的概率是false，该路口红绿灯转换间隔时间均为1分钟.假设该车道上一辆直行的车驶出停车线需要10秒钟，一辆左转的车驶出停车线需要20秒钟，求：（I）前4辆车恰有2辆车左转行驶的概率；（II）该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率（汽车驶出停车线就算通过路口）解：（Ⅰ）前4辆恰有2辆左转行驶的概率false（Ⅱ）该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率false.4.（理科）*、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，*能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（Ⅰ）求*答对试题数ξ的概率分布及数学期望；（Ⅱ）求*、乙两人至少有一人考试合格的概率.解：（Ⅰ）依题意，*答对试题数ξ的概率分布如下：ξ0123P*答对试题数ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=.（Ⅱ）设*、乙两人考试合格的事件分别为A、，则P（A）===，P（）===.因为事件A、相互*，方法一：∴*、乙两人考试均不合格的概率为P（）=P（）P（）=（1－）（1－）=.∴*、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1－P（）=1－=.答：*、乙两人至少有一人考试合格的概率为.方法二：∴*、乙两人至少有一个考试合格的概率为P=P（A·）+P（·）+P（A·）=P（A）P（）+P（）P（）+P（A）P（）=×+×+×=.答：*、乙两人至少有一人考试合格的概率为.三、立体几何5．已知矩形ABCD中，AB=false，AD=1.将△ABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的*影落在DC上.（Ⅰ）求*：平面ADC⊥平面BCD；（Ⅱ）求点到平面ABD的距离；ADADE（Ⅲ）若E为BD中点，求二面角BACE的大小.方法1：（Ⅰ）*：∵点A在平面BCD上的*影落在DC上，即平面ACD经过平面BCD的垂线，∴平面ADC⊥平面BCD.FADEG（Ⅱ）解：依条件可知BC⊥DC，又平面false平面false，且平面false平面false＝false∴BC⊥平面ACD.∵DAfalse平面ACD，∴BC⊥DA.①依条件可知DA⊥AB.②∵AB∩BC=B，∴由①、②得DA⊥平面ABC.设点C到平面ABD的距离为d，∵DA⊥平面ABC，∴DA是三棱锥DABC的高.∴由VCABD=VDABC，得falsedS△ABD=falseDAS△ABC.解得d=false.即点C到平面ABD的距离为false.（Ⅲ）解：取false中点false，连falsefalse为false中点false由（Ⅱ）中结论可知DA⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC.过F作FG⊥AC，垂足为G，连结EG，则GF为EG在平面ABC的*影，false∴∠EGF是所求二面角的平面角.在△ABC中falsefalseFG＝falseBC＝false,又EFfalsefalseAD，∴EF＝falsefalse在false△EFG中容易求出∠EGF=45°.即二面角BACE的大小是45°.方法2：（Ⅰ）*：如图，以CB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点C，平面BDC方向向上的法向量为Z轴建立空间直角坐标系.所以C（0，0，0），B（1，0，0），D（0，－false，0），设false∵点A在平面BCD上的*影落在DC上，由false且false,得false.∴点A的坐标为A（0，false，false）.∵n1=（0，0，1）是平面BCD的一个法向量.而false=（1，0，0）是平面ADC的一个法向量.∵n1·false=（0，0，1）·（1，0，0）=0，∴平面ACD⊥平面BCD.（Ⅱ）解：设点到平面ABD的距离为d，∵false=（0，false，false），false=（1，false，false），false=（0，false，false），容易求出平面ABD的一个法向量为n2=（false，1，1）.∴d=||false|cos<false，n2>|=|1×false|=false.即点C到平面ABD的距离为false.（Ⅲ）解：∵false=（1，false，false），false=（1，0，0），∴容易求出平面ABC的一个法向量为n3=（0，1，1）.A（0，false，false），E（false，false，0），∴false=（false，0，false）.∴容易求出平面AEC的一个法向量为n4=（2，false，false）.∵n3·n4=0+false+false=2false，|n3|=false，|n4|=2false，∴cos<n3，n4>=false=false.∴二面角BACE的大小是45°.6*．如图，已知正三棱柱ABCA111的侧棱长和底面边长均为1，是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝falseNC1.（Ⅰ）求*：AMfalse面BCfalsefalse；（或若false为false的中点，求*：false.）（Ⅱ）若二面角1－AM－N的平面角的余弦值为false，求false的值；（Ⅲ）在第（Ⅱ）的前提下，求点1到平面AMN的距离.解法1：（Ⅰ）因为M是底面BC边上的中点，且AB=AC，所以AMfalseBC，在正三棱柱ABCA111中，false底面false,falseAMfalsefalse又false.所以AMfalse平面falsefalse.（或：连结false，false又false,false.）（II）因为AMfalse平面falsefalse且falsefalse平面falsefalse，NMfalse平面falsefalse∴AMfalsefalsefalseNM，∴falsefalseMN为二面角false—AM—N的平面角.∴false，设1N=false，则CN=1－false又falsefalsefalse,MN=false,连falseN，得falseN＝false，在falsefalseMN中，由余弦定理得false,得false=false.故false=2.（III）过false在面false内作直线false，false为垂足.又false平面false，所以AMfalsefalseH.于是falseHfalse平面AMN，故falseH的长即为false到平面AMN的距离.在false中，falseH＝falsefalse.故点false到平面AMN的距离为1.解法2：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则false（0，0，1），M（0，false，0）,C（0,1,0）,A（false），设N（0,1,a）,所以，false，false,false因为false所以false,同法可得false.又false故AMfalse面BCfalsefalse.（II）由（Ⅰ）知﹤false﹥为二面角false—AM—N的平面角,以下同法一.（Ⅲ）设n=（x,y,z）为平面AMN的一个法向量，则由false得，由（II）知falsefalse.故可取falsefalsefalse到平面AMN的距离为false四、解不等式7．已知*A＝false，B＝false.（I）当a＝2时，求Afalse；（II）求使falseA的实数a的取值范围.解：（I）当a＝2时，A＝（2，7），＝（4，5）∴Afalse＝（4，5）（II）解*＝false，false当false，则=false；当false，则B＝（2a，a2＋1），解*A＝false当a＜false时，A＝（3a＋1，2）；当a＝false时，A＝false；当a＞false时，A＝（2，3a＋1）；要使falseA，当false，则=false,falseA成立；当false，则B＝（2a，a2＋1），当a＜false时，A＝（3a＋1，2）要使falseA，必须false，此时a＝－1；当a＝false时，A＝false，而falsefalse，故使falseA的a不存在；当a＞false且false时，A＝（2，3a＋1），要使BfalseA，必须false，此时1<a≤3.综上可知，使falseA的实数a的取值范围为false8．*（理）已知不等式：false①false②false③（I）分别求不等式①②的解集.（II）若同时满足①②的的值也满足不等式③，求实数m的取值范围.（III）若满足不等式③的的值至少满足①②中的一个,求实数m的取值范围.（文）已知不等式：false①false②false③（I）分别求不等式①②的解集.（II）若同时满足①②的的值也满足不等式③，求实数m的取值范围.（III）若满足不等式③的的值至少满足①②中的一个,求实数m的取值范围.解：（I）①的解集为A={－1<<3}（理，且x≠0）I②的解集为B={false}（II）由（1）:false或false知要满足题意的要求，则方程22+m－1=0的一根小于等于0（文：小于0），另一根大于等于3.设f（x）=22+m－1，则false（文false）（III）要满足题意的要求，则方程22+m－1=0的两根应在区间（－1，4]上.设f（x）=22+m－1，false抛物线开口向上且f（0）＝－1<0,故false则false.五、数列9．已知各项均为正数的数列false，false，false其中false，（I）*false；（II）设false，试*false；（III）若数列false满足false，求数列false的前false项和false.（I）运用数学归纳法*如下：①当false时，由条件知false，故命题成立；②假设当false时，有false成立那么当false时，false故命题成立综上所述，命题false对于任意的正整数false都成立.（II）false（III）false且falsefalse数列false是以false为首项，以2为公比的等比数列.false.10.已知数列false，其中false是首项为1，公差为1的等差数列；false是公差为false的等差数列；false是公差为false的等差数列（false）.（I）若false，求false；（II）试写出false关于false的关系式，并求false的取值范围；解:（I）false.（II）false，false，当false时，false.六、解析几何11．已知三点P（5，2）、false（－6，0）、false（6，0）.（Ⅰ）求以false、false为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点P、false、false关于直线y＝x的对称点分别为false、false、false，求以false、false为焦点且过点false的双曲线的标准方程.解：（I）由题意，可设所求椭圆的标准方程为false+falsefalse，其半焦距false.falsefalse，∴falsefalse，false，故所求椭圆的标准方程为false+false；（II）点P（5，2）、false（－6，0）、false（6，0）关于直线y＝x的对称点分别为：false、false（0，6）、false（0，6）设所求双曲线的标准方程为falsefalse，由题意知半焦距false，falsefalse，∴falsefalse，false，故所求双曲线的标准方程为falsefalse.12．已知定点false点P在false轴上运动，M在轴上，N为动点，且false;（Ⅰ）求点N的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点false的直线l（不与轴垂直）与曲线C交于A，B两点，设点false，false的夹角为false，求*：false解：（Ⅰ）falsefalse由false①false0，false0，即false并代入①，得false即为所求.（Ⅱ）false过点false的直线l（不与轴垂直）与曲线C交于A，B两点设l的方程为false且false由false消去y，得false设false则falsefalsefalsefalsefalse.falsefalse七、函数与导数13．已知函数false和false的图象关于y轴对称，且false（I）求函数false的解析式；（II）解不等式false；解：（I）设点false为函数false的图象上任意一点，则点P关于y轴对称点为false，因为函数false和false的图象关于y轴对称，所以点false一定在函数false图象上，代入得false，所以falsefalse.（II）falsefalsefalse或falsefalse或falsefalse所以不等式的解集为false14．如图，等腰梯形false的三边false分别与函数false，false的图象切于点false.求梯形false面积的最小值.解:设梯形false的面积为false，点P的坐标为false.由题意得，点false的坐标为false，直线false的方程为false.falsefalsefalsefalse直线false的方程为false即：false令false得，false令false得，falsefalsefalsefalse当且仅当false，即false时，取“=”且false，falsefalse时，false有最小值为false.false梯形false的面积的最小值为false.八、应用题15．某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.（I）写出y与x之间的函数关系式；（II）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）（III）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：（1）当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；（2）当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床.问用哪种方案处理较为合理？请说明理由.解：（I）依题得：false（II）解不等式falsefalse（III）（1）false当且仅当false时，即x=7时等号成立.false到2015年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30＝114万元.（2）false故到2018年，盈利额达到最大值，工厂获利102+12＝114万元因为盈利额达到的最大值相同，而方案Ⅰ所用的时间较短，故方案Ⅰ比较合理.16*．*、乙两人用农*治虫，由于计算错误，在false、false两个喷雾器中分别配制成12%和6%的*水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农*的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千克的*瓶，他们从false、false两个喷雾器中分别取1千克的*水，将false中取得的倒入false中，false中取得的倒入false中，这样*作进行了false次后，false喷雾器中*水的浓度为false%，false喷雾器中*水的浓度为false%．（Ⅰ）*false是一个常数；（Ⅱ）求false与false的关系式；（Ⅲ）求false的表达式．解：（Ⅰ）开始时，false中含有10false12%＝1.2千克的农*，false中含有10false6%＝0.6千克的农*，false次*作后，false中含有10falsefalse%＝0.1false千克的农*，false中含有10falsefalse%＝0.1false千克的农*，它们的和应与开始时农*的重量和相等，从而有false，所以false＝18（常数）.（Ⅱ）第false次*作后，false中10千克*水中农*的重量具有关系式：false，即false，再由（1）知false，代入化简得false①（Ⅲ）令false，利用待定系数法可求出false＝－9，所以false，由①，false，false，20080526可知数列false是以false为首项，false为公比的等比数列，由等比数列的通项公式知：false，20080526所以false.