初中_数学_初三【数学】_九上数学-试题_九上数学同步练习_期中、期末、月考真题_期中_2016-2017学年重庆市*津区四校联考九年级（上）期中数学试卷

20162017学年重庆市*津区四校联考九年级（上）期中数学试卷　一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1．（4分）下面图形中，是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．2．（4分）方程x2=x的解是（　　）A．x=1B．x1=﹣1，x2=1C．x1=0，x2=1D．x=03．（4分）用*法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可化为（　　）A．（x+4）2=9B．（x﹣4）2=9C．（x+8）2=23D．（x﹣8）2=94．（4分）将抛物线y=2x2向上平移1个单位，再向右平移2个单位，则平移后的抛物线为（　　）A．y=2（x+2）2+1B．y=2（x﹣2）2+1C．y=2（x+2）2﹣1D．y=2（x﹣2）2﹣15．（4分）下列运动形式属于旋转的是（　　）A．钟表上钟摆的摆动B．投篮过程中球的运动C．“神十”火箭升空的运动D．传动带上物*置的变化6．（4分）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过（2，8）和（﹣6，8）两点，则此抛物线的对称轴为（　　）A．直线x=0B．直线x=1C．直线x=﹣2D．直线x=﹣17．（4分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（　　）A．1B．﹣1C．2D．﹣28．（4分）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，列出的方程是（　　）A．x（x+1）=64B．x（x﹣1）=64C．（1+x）2=64D．（1+2x）=649．（4分）如图，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（　　）A．150°B．120°C．90°D．60°10．（4分）如图，在△ABO中，AB⊥OB，OB=，AB=1，把△ABO绕点O旋转150°后得到△A1B1O，则点A1坐标为（　　）A．（﹣1，﹣）B．（﹣1，﹣）或（﹣2，0）C．（﹣，1）或（0，﹣2）D．（﹣，1）11．（4分）在同一直角坐标系中，函数y=kx2﹣k和y=kx+k（k≠0）的图象大致是（　　）A．B．C．D．12．（4分）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是（　　）A．①②③B．①③④C．①②③⑤D．①③⑤　二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）13．（4分）抛物线y=﹣（x+1）2+2的顶点坐标为　　．14．（4分）方程x2﹣6x+9=0的解是　　．15．（4分）若关于x的方程kx2﹣4x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是　　．16．（4分）等边△ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB=　　度．17．（4分）已知二次函数y=3（x﹣1）2+1的图象上有三点A（4，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则y1、y2、y3的大小关系为　　．18．（4分）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②可得到点P2，此时AP2=+1；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③可得到点P3时，AP3=+2…按此规律继续旋转，直至得到点P2026为止，则AP2016=　　．　三、解答题（本大题2个小题，共14分）19．（7分）如图，方格纸中的每个小方格都是正方形，△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系．（1）以原点O为对称中心，画出与△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，A1的坐标是　　．（2）将原来的△ABC绕着点（﹣2，1）顺时针旋转90°得到△A2B2C2，试在图上画出△A2B2C2的图形．20．（7分）已知二次函数当x=﹣1时，有最小值﹣4，且当x=0时，y=﹣3，求二次函数的解析式．　四、解答题（本大题4个小题，共10分）21．（4分）解方程：（1）x2﹣x=3（2）（x+3）2=（1﹣2x）2．22．（2分）先化简，再求值：÷（a﹣1﹣），其中a是方程x2+x﹣3=0的解．23．（2分）将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，盒子的容积是400cm3，求原铁皮的边长．24．（2分）某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐助给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元/个）之间的对应关系如图所示：（1）y与x之间的函数关系是　　．（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（单位：元）与销售单价x（单位：元/个）之间的函数关系式；（3）在（2）问的条件下，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．　五、解答题（本大题2个小题，共24分）25．（12分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标．26．（12分）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求*：BE+CF=AB．（3）如图3，若∠EDF的两边分别交AB、AC的延长线于E、F两点，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请*；如果不成立，请直接写出线段BE、AB、CF之间的数量关系．　20162017学年重庆市*津区四校联考九年级（上）期中数学试卷参考*与试题解析　一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1．（4分）（2016秋•*津区期中）下面图形中，是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，可求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念，关键是找到对称中心．　2．（4分）（2016秋•*津区期中）方程x2=x的解是（　　）A．x=1B．x1=﹣1，x2=1C．x1=0，x2=1D．x=0【分析】因式分解法求解可得．【解答】解：x2=x，x2﹣x=0，x（x﹣1）=0，∴x1=0，x2=1，故选：C．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．　3．（4分）（2013秋•曾都区期末）用*法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可化为（　　）A．（x+4）2=9B．（x﹣4）2=9C．（x+8）2=23D．（x﹣8）2=9【分析】将常数项移动方程右边，方程两边都加上16，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．【解答】解：x2+8x+7=0，移项得：x2+8x=﹣7，*得：x2+8x+16=9，即（x+4）2=9．故选A【点评】此题考查了解一元二次方程﹣*法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．　4．（4分）（2016秋•*津区期中）将抛物线y=2x2向上平移1个单位，再向右平移2个单位，则平移后的抛物线为（　　）A．y=2（x+2）2+1B．y=2（x﹣2）2+1C．y=2（x+2）2﹣1D．y=2（x﹣2）2﹣1【分析】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式．【解答】解：∵将抛物线y=2x2向上平移1个单位再向右平移2个单位，∴平移后的抛物线的解析式为：y=2（x﹣2）2+1．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．　5．（4分）（2014秋•恩施市期末）下列运动形式属于旋转的是（　　）A．钟表上钟摆的摆动B．投篮过程中球的运动C．“神十”火箭升空的运动D．传动带上物*置的变化【分析】根据旋转的定义分别判断得出即可．【解答】解：A、钟摆的摆动，属于旋转，故此选项正确；B、投篮过程中球的运动，也有平移，故此选项错误；C、“神十”火箭升空的运动，也有平移，故此选项错误；D、传动带上物*置的变化，也有平移，故此选项错误．故选：A．【点评】此题主要考查了旋转的定义，正确把握旋转的定义是解题关键．　6．（4分）（2016秋•*津区期中）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过（2，8）和（﹣6，8）两点，则此抛物线的对称轴为（　　）A．直线x=0B．直线x=1C．直线x=﹣2D．直线x=﹣1【分析】由二次函数的对称*可求得抛物线的对称轴【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过（2，8）和（﹣6，8）两点，∴抛物线的对称轴为x==﹣2，故选C．【点评】本题主要考查二次函数的*质，掌握二次函数图象上关于对称轴对称的点所对应的函数值相等是解题的关键．　7．（4分）（2013•安顺）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（　　）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．【解答】解：因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程，即32﹣3k﹣6=0成立，解得k=1．故选：A．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．　8．（4分）（2016秋•*津区期中）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，列出的方程是（　　）A．x（x+1）=64B．x（x﹣1）=64C．（1+x）2=64D．（1+2x）=64【分析】平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮有（x+1）人患流感，第二轮共有x+1+（x+1）x人，即64人患了流感，由此列方程求解．【解答】解：x+1+（x+1）x=64整理得，（1+x）2=64．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．　9．（4分）（2011•湖州）如图，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（　　）A．150°B．120°C．90°D．60°【分析】∠AOC就是旋转角，根据等边三角形的*质，即可求解．【解答】解：旋转角∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+90°=150°．故选A．【点评】本题主要考查了旋转的*质，正确理解旋转角是解题的关键．　10．（4分）（2016秋•*津区期中）如图，在△ABO中，AB⊥OB，OB=，AB=1，把△ABO绕点O旋转150°后得到△A1B1O，则点A1坐标为（　　）A．（﹣1，﹣）B．（﹣1，﹣）或（﹣2，0）C．（﹣，1）或（0，﹣2）D．（﹣，1）【分析】需要分类讨论：在把△ABO绕点O顺时针旋转150°和逆时针旋转150°后得到△A1B1O时点A1的坐标．【解答】解：∵△ABO中，AB⊥OB，OB=，AB=1，∴tan∠AOB==，∴∠AOB=30°．如图1，当△ABO绕点O顺时针旋转150°后得到△A1B1O，则∠A1OC=150°﹣∠AOB﹣∠BOC=150°﹣30°﹣90°=30°，则易求A1（﹣1，﹣）；如图2，当△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，则∠A1OC=150°﹣∠AOB﹣∠BOC=150°﹣30°﹣90°=30°，则易求A1（﹣2，0）；综上所述，点A1的坐标为（﹣1，﹣）或（﹣2，0）．故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转．解题时，注意分类讨论，以防错解．　11．（4分）（2015•市北区一模）在同一直角坐标系中，函数y=kx2﹣k和y=kx+k（k≠0）的图象大致是（　　）A．B．C．D．【分析】可先根据一次函数的图象判断k的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．【解答】解：A、由一次函数y=kx+k的图象可得：k＞0，此时二次函数y=kx2﹣kx的图象应该开口向上，错误；B、由一次函数y=kx+k图象可知，k＞0，此时二次函数y=kx2﹣kx的图象顶点应在y轴的负半轴，错误；C、由一次函数y=kx+k可知，y随x增大而减小时，直线与y轴交于负半轴，错误；D、正确．故选：D．【点评】本题考查的是一次函数和二次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关*质：开口方向、对称轴、顶点坐标．　12．（4分）（2016秋•*津区期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是（　　）A．①②③B．①③④C．①②③⑤D．①③⑤【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号，及运用一些特殊点解答问题．【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，∴abc＞0，故①正确；直线x=﹣1是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣=﹣1，可得b=2a，a﹣2b+4c=a﹣4a+4c=﹣3a+4c，∵a＜0，∴﹣3a＞0，∴﹣3a+4c＞0，即a﹣2b+4c＞0，故②错误；∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣，0），当x=﹣时，y=0，即a（﹣）2+b×（﹣）+c=0，整理得：25a﹣10b+4c=0，故③正确；∵b=2a，a+b+c＜0，∴b+b+c＜0，即3b+2c＜0，故④错误；∵x=﹣1时，函数值最大，∴a﹣b+c＞m2a﹣mb+c（m≠﹣1），∴a﹣b＞m（am﹣b），所以⑤正确；故选D．【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的*质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称*和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．　二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）13．（4分）（2010•宝山区一模）抛物线y=﹣（x+1）2+2的顶点坐标为　（﹣1，2）　．【分析】根据二次函数的*质，由顶点式直接得出顶点坐标即可．【解答】解：∵抛物线y=﹣（x+1）2+2，∴抛物线y=﹣（x+1）2+2的顶点坐标为：（﹣1，2），故*为：（﹣1，2）．【点评】此题主要考查了二次函数的*质，根据顶点式得出顶点坐标是考查重点同学们应熟练掌握．　14．（4分）（2009•琼海模拟）方程x2﹣6x+9=0的解是　x1=x2=3　．【分析】此题采用因式分解法最简单，解题时首先要观察，然后再选择解题方法．*法与公式法适用于所用的一元二次方程，因式分解法虽有限制，却最简单．【解答】解：∵x2﹣6x+9=0∴（x﹣3）2=0∴x1=x2=3．【点评】此题考查了学生的计算能力，解题时注意选择适宜的解题方法．　15．（4分）（2016•福建模拟）若关于x的方程kx2﹣4x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是　k≥4　．【分析】分k=0和k≠0两种情况考虑，当k=0时可以找出方程有一个实数根；当k≠0时，根据方程有实数根结合根的判别式可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出k的取值范围．结合上面两者情况即可得出结论．【解答】解：当k=0时，原方程为﹣4x+1=0，解得：x=，∴k=0符合题意；当k≠0时，∵方程kx2﹣4x﹣1=0有实数根，∴△=（﹣4）2+4k≥0，解得：k≥﹣4且k≠0．综上可知：k的取值范围是k≥4．故*为：k≥4．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是分k=0和k≠0来考虑方程有解的情况．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，分类讨论是解题的关键．　16．（4分）（2015•凉山州一模）等边△ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB=　150　度．【分析】如图，作辅助线；首先*△APQ为等边三角形，得到PQ=PA=3，∠AQP=60°；由勾股定理的逆定理*∠PQC=90°，进而得到∠AQC=150°，即可解决问题．【解答】解：如图，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°；将△ABP绕点A逆时针旋转60°，到△ACQ的位置，连接PQ；则AQ=AP=3，CQ=BP=4；∵∠PAQ=60°，∴△APQ为等边三角形，∴PQ=PA=3，∠AQP=60°；在△PQC中，∵PC2=PQ2+CQ2，∴∠PQC=90°，∠AQC=150°，∴∠APB=∠AQC=150°，故*为150．【点评】该题主要考查了等边三角形的判定、*质，勾股定理的逆定理等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用旋转变换的*质等几何知识点来分析、判断、解答．　17．（4分）（2016秋•*津区期中）已知二次函数y=3（x﹣1）2+1的图象上有三点A（4，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则y1、y2、y3的大小关系为　y2＜y1＜y3　．【分析】对二次函数y=3（x﹣1）2+1，对称轴x=1，则A、B、C的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断y1、y2、y3的大小．【解答】解：在二次函数y=3（x﹣1）2+1，对称轴x=1，在图象上的三点A（4，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），|2﹣1|＜|4﹣1|＜|﹣3﹣1|，则y1、y2、y3的大小关系为y2＜y1＜y3．故*为y2＜y1＜y3．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．　18．（4分）（2016秋•*津区期中）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②可得到点P2，此时AP2=+1；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③可得到点P3时，AP3=+2…按此规律继续旋转，直至得到点P2026为止，则AP2016=　1344+672　．【分析】由等腰直角三角形的*质和已知条件得出AP1=，AP2=1+，AP3=2+；AP4=2+2；AP5=3+2；AP6=4+2；AP7=4+3；AP8=5+3；AP9=6+3；每三个一组，由于2013=3×671，得出AP2013，即可得出结果．【解答】解：AP1=，AP2=1+，AP3=2+；AP4=2+2；AP5=3+2；AP6=4+2；AP7=4+3；AP8=5+3；AP9=6+3；∵2016=3×672，∴AP2013=（2013﹣671）+671=1342+671，∴AP2014=1342+671+=1342+672，∴AP2015=1342+672+1=1343+672，∴AP2016=1343+672+1=1344+672，故*为：1344+672．【点评】本题考查了旋转的*质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；根据题意得出规律是解决问题的关键．　三、解答题（本大题2个小题，共14分）19．（7分）（2016秋•*津区期中）如图，方格纸中的每个小方格都是正方形，△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系．（1）以原点O为对称中心，画出与△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，A1的坐标是　（6，﹣1）　．（2）将原来的△ABC绕着点（﹣2，1）顺时针旋转90°得到△A2B2C2，试在图上画出△A2B2C2的图形．【分析】（1）连接AO并延长至A1，使A1O=AO，连接BO并延长至B1，使B1O=BO，连接CO并延长至C1，使C1O=CO，然后顺次连接A1、B1、C1即可得到△A1B1C1；再根据平面直角坐标系的特点写出点A1的坐标即可；（2）根据旋转变换，找出点A、B、C绕点（﹣2，1）顺时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求三角形，点A1的坐标是A1（6，﹣1）；故*为：（6，﹣1）；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求作的三角形．【点评】本题考查了利用关于原点对称作图与利用旋转变换作图，准确找出对应点的坐标位置是解题的关键．　20．（7分）（2016秋•*津区期中）已知二次函数当x=﹣1时，有最小值﹣4，且当x=0时，y=﹣3，求二次函数的解析式．【分析】由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设顶点式y=a（x+1）2﹣4，然后把（0，3）代入求出a的值即可．【解答】解：设y=a（x+1）2﹣4则﹣3=a（0+1）2﹣4∴a=1，∴抛物线的解析式为y=（x+1）2﹣4即：y=x2+2x﹣3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，关键是要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．　四、解答题（本大题4个小题，共10分）21．（4分）（2016秋•*津区期中）解方程：（1）x2﹣x=3（2）（x+3）2=（1﹣2x）2．【分析】（1）公式法求解可得；（2）直接开平方法求解即可得．【解答】解：（1）x2﹣x﹣3=0，∵a=1，b=﹣1，c=﹣3，∴△=1+12=13＞0，∴x=，∴，；（2）x+3=±（1﹣2x），即x+3=1﹣2x或x+3=2x﹣1，解得：，x2=4．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．　22．（2分）（2015秋•自贡期末）先化简，再求值：÷（a﹣1﹣），其中a是方程x2+x﹣3=0的解．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据a是方程x2+x﹣3=0的解得出a2+a=3，再代入原式进行计算即可．【解答】解：原式=÷=•==∵a是方程x2+x﹣3=0的解，∴a2+a﹣3=0，即a2+a=3，∴原式=．【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．　23．（2分）（2012秋•建平县期末）将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，盒子的容积是400cm3，求原铁皮的边长．【分析】本题可设原铁皮的边长为xcm，将这块正方形铁皮四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子后，盒子的底面积变为（x﹣2×4）2，其高则为4cm，根据体积公式可列出方程，然后解方程求出*即可．【解答】解：设原铁皮的边长为xcm，依题意列方程得（x﹣2×4）2×4=400，即（x﹣8）2=100，所以x﹣8=±10，x=8±10．所以x1=18，x2=﹣2（舍去）．答：原铁皮的边长为18cm．【点评】这类题目体现了数形结合的思想，通常把实际问题转换为方程求解，但应注意考虑解得合理*，即考虑解的取舍．　24．（2分）（2016秋•*津区期中）某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐助给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元/个）之间的对应关系如图所示：（1）y与x之间的函数关系是　y=﹣30x+600　．（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（单位：元）与销售单价x（单位：元/个）之间的函数关系式；（3）在（2）问的条件下，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．【分析】（1）直接利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式；（2）利用w=销量×每个利润，进而得出函数关系式；（3）利用进货成本不超过900元，得出x的取值范围，进而得出函数最值．【解答】解：（1）设y=kx+b，根据题意可得：，解得；，故y与x之间的函数关系是：y=﹣30x+600；故*为：y=﹣30x+600；（2）由题意得：w=（x﹣6）（﹣30x+600）=﹣30x2+780x﹣3600，∴w与x的函数关系式为w=﹣30x2+780x﹣3600；（3）由题意得：6（﹣30x+600）≤900，解得：x≥15，在w=﹣30x2+780x﹣3600中，对称轴为：x=﹣=13，∵a=﹣30，∴当x＞13时，w随x的增大而减小，∴x=15时，w最大为：（15﹣6）（﹣30×15+600）=1350，∴销售单价定为每个15元时，利润最大为1350元．【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，正确得出w与x之间的函数关系式是解题关键．　五、解答题（本大题2个小题，共24分）25．（12分）（2016秋•*津区期中）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标．【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=﹣x2+bx+c列方程组即可．（2）先求出CD的长，分两种情形①当CP=CD时，②当DC=DP时分别求解即可．（3）求出直线BC的解析式，设E则F，构建二次函数，利用二次函数的*质即可解决问题．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=﹣x2+bx+c得，解得，c=2，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．（2）存在．如图1中，∵C（0，2），D（，0），∴OC=2，OD=，CD==①当CP=CD时，可得P1（，4）．②当DC=DP时，可得P2（，），P3（，﹣）综上所述，满足条件的P点的坐标为或或．（3）如图2中，对于抛物线y=﹣x2+x+2，当y=0时，﹣x2+x+2=0，解得x1=4，x2=﹣1∴B（4，0），A（﹣1，0），由B（4，0），C（0，2）得直线BC的解析式为y=﹣x+2，设E则F，EF=﹣=∴＜0，∴当m=2时，EF有最大值2，此时E是BC中点，∴当E运动到BC的中点时，△EBC面积最大，∴△EBC最大面积=×4×EF=×4×2=4，此时E（2，1）．【点评】本题考查二次函数、一次函数的应用、最值问题．等腰三角形的判定和*质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．　26．（12分）（2016秋•*津区期中）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求*：BE+CF=AB．（3）如图3，若∠EDF的两边分别交AB、AC的延长线于E、F两点，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请*；如果不成立，请直接写出线段BE、AB、CF之间的数量关系．【分析】（1）如图1中，只要*∠BED=90°，根据直角三角形30度角*质即可解决问题．（2）如图2中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．只要*△BDM≌△CDN，△EDM≌△FDN即可解决问题．（3）（2）中的结论不成立．结论：BE﹣CF=AB，*方法类似（2）．【解答】解：（1）如图1中，∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4，∵点D是线段BC的中点，∴BD=DC=BC=2，∵DF⊥AC，即∠CFD=90°，∴∠CDF=30°，又∵∠EDF=120°，∴∠EDB=30°，∴∠BED=90°∴BE=BD=1．（2）如图2中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，∴△BDM≌△CDN，∴BM=，DM=DN，又∵∠EDF=120°=∠MDN，∴∠EDM=∠NDF，又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME=NF，∴BE+CF=BM+EM+NC﹣FN=2BM=BD=AB．（3）结论不成立．结论：BE﹣CF=AB．∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，∴△BDM≌△CDN，∴BM=，DM=DN，又∵∠EDF=120°=∠MDN，∴∠EDM=∠NDF，又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME=NF，∴BE﹣CF=BM+EM﹣（FN﹣）=2BM=BD=AB．【点评】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和*质、等边三角形的*质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．