高中_数学_数学必修_必修五_高一数学人教A版必修5学业分层测评+综合测试含解析_高中数学人教A必修5学业分层测评4角度问题含解析

学业分层测评（四）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　)A．α>βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°INCLUDEPICTURE"XTB16151.TIF"【解析】　根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故应选B.【*】　B2．在静水中划船的速度是每分钟40m，水流的速度是每分钟20m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船的前进方向应指向河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为(　　)A．15°B．30°C．45°D．60°【解析】　如图所示，INCLUDEPICTURE"XTB16152.TIF"sin∠CAB＝eq\f(20,40)＝eq\f(1,2)，∴∠CAB＝30°.【*】　B3．我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且A、B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为(　　)A．28海里/小时B．14海里/小时C．14eq\r(2)海里/小时D．20海里/小时【解析】　如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，INCLUDEPICTURE"XTB16153.TIF"在△ABC中，AC＝10×2＝20(海里)，AB＝12海里，∠BAC＝120°，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°＝784，∴BC＝28海里，∴v＝14海里/小时．【*】　B4．地上画了一个角∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达△BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为(　　)A．14米B．15米C．16米D．17米INCLUDEPICTURE"XTB16154.TIF"【解析】　如图，设DN＝xm，则142＝102＋x2－2×10×xcos60°，∴x2－10x－96＝0.∴(x－16)(x＋6)＝0.∴x＝16或x＝－6(舍)．∴N与D之间的距离为16米．【*】　C二、填空题5．(2015·湖北高考)如图1­2­26，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝m.INCLUDEPICTURE"XTB16155.TIF"图1­2­26【解析】　由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得eq\f(600,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°)，解得BC＝300eq\r(2)m.在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝300eq\r(2)×eq\f(\r(3),3)＝100eq\r(6)(m)．【*】　100eq\r(6)6．某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处，然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C处，若A处与C处的距离为eq\r(3)海里，则x的值为．【解析】　x2＋9－2·x·3cos30°＝(eq\r(3))2，解得x＝2eq\r(3)或x＝eq\r(3).【*】　eq\r(3)或2eq\r(3)7．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为km.【导学号：05920062】INCLUDEPICTURE"XTB16156.TIF"【解析】　如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得eq\f(60,sin45°)＝eq\f(BM,sin30°)，解得BM＝30eq\r(2)(km)．【*】　30eq\r(2)8．一船自西向东航行，上午10：00到达灯塔P的南偏西75°、距塔68nmile的M处，下午14：00到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为nmile/h.INCLUDEPICTURE"XTB16157.TIF"【解析】　如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.在△PMN中，由正弦定理，得eq\f(MN,sin120°)＝eq\f(PM,sin45°)，∴MN＝68×eq\f(\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝34eq\r(6).又由M到N所用时间为14－10＝4(h)，∴船的航行速度v＝eq\f(34\r(6),4)＝eq\f(17,2)eq\r(6)(nmile/h)．【*】　eq\f(17,2)eq\r(6)三、解答题9．平面内三个力F1、F2、F3作用于同一点且处于平衡状态．已知F1、F2的大小分别为1N、eq\f(\r(6)＋\r(2),2)N，F1与F2的夹角为45°，求F3的大小及F3与F1的夹角的大小．INCLUDEPICTURE"XTB16158.TIF"【解】　如图，设F1与F2的合力为F，则F3＝－F.∵∠BOC＝45°，∴∠ABO＝135°.在△OBA中，由余弦定理得|F|2＝|F1|2＋|F2|2－2|F1|·|F2|cos135°＝4＋2eq\r(3).∴|F|＝1＋eq\r(3)，即|F3|＝eq\r(3)＋1.又由正弦定理得sin∠BOA＝eq\f(|F2|sin∠ABO,|F|)＝eq\f(1,2).∴∠BOA＝30°.∴∠BOD＝150°.故F3的大小为(eq\r(3)＋1)N，F1与F3的夹角为150°.10.(2016·焦作模拟)如图1­2­27，正在海上A处执行任务的渔政船*和在B处执行任务的渔政船乙，同时收到同一片海域上一艘渔船*的求救信号，此时渔船*在渔政船*的南偏东40°方向距渔政船*70km的C处，渔政船乙在渔政船*的南偏西20°方向的B处，两艘渔政船协调后立即让渔政船*向渔船*所在的位置C处沿直线AC航行前去救援，渔政船乙仍留在B处执行任务，渔政船*航行30km到达D处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在B处执行任务的渔政船乙前去救援渔船*(渔政船乙沿直线BC航行前去救援渔船*)，此时B、D两处相距42km，问渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船*所在的位置C处实施营救．INCLUDEPICTURE"KB17362.TIF"图1­2­27【解】　设∠ABD＝α，在△ABD中，AD＝30，BD＝42，∠BAD＝60°.由正弦定理得eq\f(AD,sinα)＝eq\f(BD,sin∠BAD)，sinα＝eq\f(AD,BD)sin∠BAD＝eq\f(30,42)sin60°＝eq\f(5\r(3),14)，又∵AD<BD，∴0°<α<60°，cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(11,14)，cos∠BDC＝cos(60°＋α)＝－eq\f(1,7).在△BDC中，由余弦定理得BC2＝DC2＋BD2－2DC·BDcos∠BDC＝402＋422－2×40×42cos(60°＋α)＝3844，BC＝62km，即渔政船乙要航行62km才能到达渔船*所在的位置C处实施营救．[能力提升]1．(2016·湖南师大附中期中)为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路C，D两点处进行测量．在C点测得塔底B在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿着南偏东40°方向前进10米到D点，测得塔顶的仰角为30°，则塔的高度为(　　)A．5米B．10米C．15米D．20米【解析】　如图，由题意得，AB⊥平面BCD，INCLUDEPICTURE"XTB16160.TIF"∴AB⊥BC，AB⊥BD.设塔高AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，所以BC＝AB＝x，在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝eq\f(AB,tan30°)＝eq\r(3)x，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cos120°，∴(eq\r(3)x)2＝x2＋100＋10x，解得x＝10或x＝－5(舍去)，故选B.【*】　B2．*船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当*、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为(　　)A.eq\f(150,7)分钟B.eq\f(15,7)分钟C．21.5分钟D．2.15小时【解析】　如图，设t小时后*行驶到D处，则AD＝10－4t，乙行驶到C处，则AC＝6t.∵∠BAC＝120°，∴DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100＝28eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(5,14)))2＋eq\f(675,7).INCLUDEPICTURE"XTB16161.TIF"当t＝eq\f(5,14)时，DC2最小，即DC最小，此时它们所航行的时间为eq\f(5,14)×60＝eq\f(150,7)分钟．【*】　A3．如图1­2­28所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ＝.INCLUDEPICTURE"XTB16162.TIF"图1­2­28【解析】　在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理知BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800⇒BC＝20eq\r(7).由正弦定理eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)⇒sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq\f(\r(21),7)，∠BAC＝120°，则∠ACB为锐角，cos∠ACB＝eq\f(2\r(7),7).由θ＝∠ACB＋30°，则cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB·cos30°－sin∠ACB·sin30°＝eq\f(\r(21),14).【*】　eq\f(\r(21),14)4．如图1­2­29，某*舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里．经过侦察发现，*海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A出发沿东偏北60°方向逃窜，同时，该*舰艇从C处出发沿东偏北α的方向匀速追赶*海盗船，恰好用2小时追上．INCLUDEPICTURE"XTB16163.TIF"图1­2­29(1)求该*舰艇的速度；(2)求sinα的值．【解】　(1)依题意知，∠CAB＝120°，AB＝100×2＝200，AC＝120，∠ACB＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝2002＋1202－2×200×120cos120°＝78400，解得BC＝280.所以该*舰艇的速度为eq\f(BC,2)＝140海里/小时．(2)在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(AB,sinα)＝eq\f(BC,sin120°)，即sinα＝eq\f(ABsin120°,BC)＝eq\f(200×\f(\r(3),2),280)＝eq\f(5\r(3),14).