高中_数学_数学必修_必修五_高二数学人教A必修5练习含解析_高二数学人教A必修5练习：2.5等比数列的前n项和（一）含解析

§2.5　等比数列的前n项和(一)INCLUDEPICTURE"E:\\张红\\2015\\幻灯片\\同步\\创新设计\\数学\\数学人A必修5\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\左括.TIF"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"D:\\taoti\\2016.6.2ks5uno\\like\\数学\\左括.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"P:\\【2018新高中人教版数学资料】\\必修选修同步练习全套\\必修五\\高二数学人教A必修5练习25份打包Word版含解析\\左括.TIF"\*MERGEFORMATI课时目标INCLUDEPICTURE"E:\\张红\\2015\\幻灯片\\同步\\创新设计\\数学\\数学人A必修5\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\右括.TIF"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"D:\\taoti\\2016.6.2ks5uno\\like\\数学\\右括.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"P:\\【2018新高中人教版数学资料】\\必修选修同步练习全套\\必修五\\高二数学人教A必修5练习25份打包Word版含解析\\右括.TIF"\*MERGEFORMATI1．掌握等比数列前n项和公式的推导方法．2．会用等比数列前n项和公式解决一些简单问题．INCLUDEPICTURE"E:\\张红\\2015\\幻灯片\\同步\\创新设计\\数学\\数学人A必修5\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\知识梳理.TIF"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"D:\\taoti\\2016.6.2ks5uno\\like\\数学\\知识梳理.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"P:\\【2018新高中人教版数学资料】\\必修选修同步练习全套\\必修五\\高二数学人教A必修5练习25份打包Word版含解析\\知识梳理.TIF"\*MERGEFORMATI1．等比数列前n项和公式：(1)公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)　q≠1,na1q＝1)).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．2．若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝eq\f(a1,1－q)(1－qn)＝A(qn－1)．其中A＝eq\f(a1,q－1).3．推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．INCLUDEPICTURE"E:\\张红\\2015\\幻灯片\\同步\\创新设计\\数学\\数学人A必修5\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\作业设计.TIF"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"D:\\taoti\\2016.6.2ks5uno\\like\\数学\\作业设计.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"P:\\【2018新高中人教版数学资料】\\必修选修同步练习全套\\必修五\\高二数学人教A必修5练习25份打包Word版含解析\\作业设计.TIF"\*MERGEFORMATI　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题1．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则eq\f(S5,S2)等于(　　)A．11B．5C．－8D．－11*　D解析　由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，∴q＝－2，则eq\f(S5,S2)＝eq\f(a11＋25,a11－22)＝－11.2．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则eq\f(S10,S5)等于(　　)A．－3B．5C．－31D．33*　D解析　由题意知公比q≠1，eq\f(S6,S3)＝eq\f(\f(a11－q6,1－q),\f(a11－q3,1－q))＝1＋q3＝9，∴q＝2，eq\f(S10,S5)＝eq\f(\f(a11－q10,1－q),\f(a11－q5,1－q))＝1＋q5＝1＋25＝33.3．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则eq\f(S4,a2)等于(　　)A．2B．4C.eq\f(15,2)D.eq\f(17,2)*　C解析　方法一　由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝eq\f(a2,q)＋a2＋a2q＋a2q2，得eq\f(S4,a2)＝eq\f(1,q)＋1＋q＋q2＝eq\f(15,2).方法二　S4＝eq\f(a11－q4,1－q)，a2＝a1q，∴eq\f(S4,a2)＝eq\f(1－q4,1－qq)＝eq\f(15,2).4．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于(　　)A.eq\f(15,2)B.eq\f(31,4)C.eq\f(33,4)D.eq\f(17,2)*　B解析　∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，∴设{an}的公比为q，则q>0，且aeq\o\al(2,3)＝1，即a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝eq\f(1,q2)＋eq\f(1,q)＋1＝7，即6q2－q－1＝0.故q＝eq\f(1,2)或q＝－eq\f(1,3)(舍去)，∴a1＝eq\f(1,q2)＝4.∴S5＝eq\f(41－\f(1,25),1－\f(1,2))＝8(1－eq\f(1,25))＝eq\f(31,4).5．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k的值为(　　)A．0B．1C．－1D．2*　C解析　当n＝1时，a1＝S1＝3＋k，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋k)－(3n－1＋k)＝3n－3n－1＝2·3n－1.由题意知{an}为等比数列，所以a1＝3＋k＝2，∴k＝－1.6．在等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为(　　)A．514B．513C．512D．510*　D解析　由a1＋a4＝18和a2＋a3＝12，得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q3＝18,a1q＋a1q2＝12))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2,q＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝16,q＝\f(1,2))).∵q为整数，∴q＝2，a1＝2，S8＝eq\f(228－1,2－1)＝29－2＝510.二、填空题7．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.*　－eq\f(1,3)解析　显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝eq\f(1,3)·3n＋t，∴t＝－eq\f(1,3).8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.*　3解析　S6＝4S3⇒eq\f(a11－q6,1－q)＝eq\f(4·a11－q3,1－q)⇒q3＝3(q3＝1不合题意，舍去)．∴a4＝a1·q3＝1×3＝3.9．若等比数列{an}中，a1＝1，an＝－512，前n项和为Sn＝－341，则n的值是________．*　10解析　Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)，∴－341＝eq\f(1＋512q,1－q)，∴q＝－2，又∵an＝a1qn－1，∴－512＝(－2)n－1，∴n＝10.10．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式an＝________.*　2n－1解析　当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)∴an＝2an－1，∴{an}是等比数列，∴an＝2n－1，n∈N*.三、解答题11．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a3an－2＝128，Sn＝126，求n和q.解　∵a3an－2＝a1an，∴a1an＝128，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1an＝128，,a1＋an＝66，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝64，,an＝2，))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,an＝64.))②将①代入Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)，可得q＝eq\f(1,2)，由an＝a1qn－1可解得n＝6.将②代入Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)，可得q＝2，由an＝a1qn－1可解得n＝6.故n＝6，q＝eq\f(1,2)或2.12．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．解　分x＝1和x≠1两种情况．(1)当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).(2)当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝eq\f(x1－xn,1－x)－nxn＋1.∴Sn＝eq\f(x1－xn,1－x2)－eq\f(nxn＋1,1－x).综上可得Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)　　　　　　x＝1,\f(x1－xn,1－x2)－\f(nxn＋1,1－x)x≠1且x≠0)).INCLUDEPICTURE"E:\\张红\\2015\\幻灯片\\同步\\创新设计\\数学\\数学人A必修5\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\左括.TIF"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"D:\\taoti\\2016.6.2ks5uno\\like\\数学\\左括.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"P:\\【2018新高中人教版数学资料】\\必修选修同步练习全套\\必修五\\高二数学人教A必修5练习25份打包Word版含解析\\左括.TIF"\*MERGEFORMATI能力提升INCLUDEPICTURE"E:\\张红\\2015\\幻灯片\\同步\\创新设计\\数学\\数学人A必修5\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\右括.TIF"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"D:\\taoti\\2016.6.2ks5uno\\like\\数学\\右括.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"P:\\【2018新高中人教版数学资料】\\必修选修同步练习全套\\必修五\\高二数学人教A必修5练习25份打包Word版含解析\\右括.TIF"\*MERGEFORMATI13．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝54，S2n＝60，求S3n.解　方法一　由题意Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，∴62＝54(S3n－60)，∴S3n＝eq\f(182,3).方法二　由题意得a≠1，∴Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝54①S2n＝eq\f(a11－q2n,1－q)＝60②由②÷①得1＋qn＝eq\f(10,9)，∴qn＝eq\f(1,9)，∴eq\f(a1,1－q)＝eq\f(9×54,8)，∴S3n＝eq\f(a11－q3n,1－q)＝eq\f(9×54,8)(1－eq\f(1,93))＝eq\f(182,3).14．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋2－4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an·log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.解　(1)由题意，Sn＝2n＋2－4，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2－2n＋1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝23－4＝4，也适合上式，∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，n∈N*.(2)∵bn＝anlog2an＝(n＋1)·2n＋1，∴Tn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1，①2Tn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋(n＋1)·2n＋2.②②－①得，Tn＝－23－23－24－25－…－2n＋1＋(n＋1)·2n＋2＝－23－eq\f(231－2n－1,1－2)＋(n＋1)·2n＋2＝－23－23(2n－1－1)＋(n＋1)·2n＋2＝(n＋1)·2n＋2－23·2n－1＝(n＋1)·2n＋2－2n＋2＝n·2n＋2.INCLUDEPICTURE"E:\\张红\\2015\\幻灯片\\同步\\创新设计\\数学\\数学人A必修5\\《课时作业与单元检测》Word版文档\\反思感悟.TIF"\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE"D:\\taoti\\2016.6.2ks5uno\\like\\数学\\反思感悟.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"P:\\【2018新高中人教版数学资料】\\必修选修同步练习全套\\必修五\\高二数学人教A必修5练习25份打包Word版含解析\\反思感悟.TIF"\*MERGEFORMATI1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减的方法求和．