高中_数学_数学必修_必修五_高二数学人教A必修5练习含解析_高二数学人教A必修5练习：3.3.2简单的线*规划问题含解析

课时训练18　简单的线*规划问题一、求线*目标函数的最值1.(2015广东湛*高二期末,10)若实数x,y满足xy+1≥0,x+y≥0,x≤0,若z=x+2y,则z的最大值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.1B.2C.3D.4*:B解析:作出不等式组对应的平面区域,由z=x+2y,得y=12x+z2,平移直线y=12x+z2,由图象可知当直线经过点A(0,1)时,直线y=12x+z2的截距最大,此时z最大,代入目标函数得z=2.故选B.2.(2015河南郑州高二期末,7)设变量x,y满足约束条件x+y≥3,xy≥1,2xy≤3,则目标函数z=2x+3y的最小值为(　　)A.6B.7C.8D.23*:B解析:画出不等式x+y≥3,xy≥1,2xy≤3表示的可行域,如图,让目标函数表示直线y=2x3+z3在可行域上平移,知在点B处目标函数取到最小值,解方程组x+y=3,2xy=3,得(2,1).所以zmin=4+3=7.故选B.3.设变量x,y满足约束条件y≥x,x+2y≤2,x≥2,则z=x3y的最小值为　　　　　. *:8解析:作出可行域如图*影部分所示.可知当x3y=z经过点A(2,2)时,z有最小值,此时z的最小值为23×2=8.二、求非线*目标函数的最值4.若实数x,y满足xy+1≤0,x>0,则yx的取值范围是(　　)A.(0,1)B.(0,1]C.(1,+∞)D.[1,+∞)*:C解析:实数x,y满足xy+1≤0,x>0的相关区域如图中的*影部分所示.yx表示*影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率,由图可知,yx的取值范围为(1,+∞).5.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组2x+3y6≤0,x+y2≥0,y≥0所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是　　　　　. *:2解析:由约束条件可画出可行域如图*影部分所示.由图可知OM的最小值即为点O到直线x+y2=0的距离,即dmin=|2|2=2.三、求线*规划中的参数6.x,y满足约束条件x+y2≤0,x2y2≤0,2xy+2≥0,若z=yax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为(　　)A.12或1B.2或12C.2或1D.2或1*:D解析:作出可行域,如图中*影部分所示.由y=ax+z知z的几何意义是直线在y轴上的截距,故当a>0时,要使z=yax取得最大值的最优解不唯一,则a=2,当a<0时,要使z=yax取得最大值的最优解不唯一,则a=1.7.(2015山东潍坊四县联考,15)已知a>0,x,y满足x≥1,x+y≤3,y≥a(x3),若z=2x+y的最小值为1,则a=　　　　　. *:12解析:因为a>0,作出不等式组x≥1,x+y≤3,y≥a(x3)表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A(1,2),B(1,2a),C(3,0).由z=2x+y得y=2x+z,将直线y=2x进行平移,可得当经过点B时,目标函数z达到最小值,此时z=1,即22a=1,解得a=12.8.当实数x,y满足x+2y4≤0,xy1≤0,x≥1时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　. *:1,32解析:画出可行域,如图中*影部分所示,设目标函数z=ax+y,则y=ax+z,要使1≤z≤4恒成立,则a>0,数形结合知满足1≤2a+1≤4,1≤a≤4,1≤a+32≤4即可,解得1≤a≤32,所以a的取值范围是1,32.四、线*规划中的实际应用9.(2015河南南阳高二期中,20)某人上午7:00乘汽车以v1km/h(30≤v1≤100)匀速从A地出发到相距300km的B地,在B地不作停留,然后骑摩托车以v2km/h(4≤v2≤20)匀速从B地出发到相距50km的C地,计划在当天16:00至21:00到达C地,设乘汽车、骑摩托车的时间分别是x,y小时.如果已知所需的经费p=100+3(5x)+2(8y)元,那么v1,v2分别是多少时走的最经济,此时花费多少元?解:由题意得,x=300v1,y=50v2,∵30≤v1≤100,4≤v2≤20,∴3≤x≤10,52≤y≤252.由题设中的限制条件得9≤x+y≤14,于是得约束条件9≤x+y≤14,3≤x≤10,52≤y≤252,目标函数p=100+3(5x)+2(8y)=1313x2y,作出可行域(如图),设z=3x+2y,当y=32x+z2平移到过(10,4)点时在y轴上的截距最大,此时p最小.所以当x=10,y=4,即v1=30,v2=12.5时,pmin=93元.(建议用时:30分钟)1.已知点(x,y)构成的平面区域如图所示,z=mx+y(m为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个,则m的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.720B.720C.12D.720或12*:B解析:观察平面区域可知直线y=mx+z与直线AC重合,则225=m+z,3=5m+z,解得m=720.2.设变量x,y满足约束条件3x+y6≥0,xy2≤0,y3≤0,则目标函数z=y2x的最小值为(　　)A.7B.4C.1D.2*:A解析:作约束条件3x+y6≥0,xy2≤0,y3≤0所表示的可行域,如图所示,z=y2x可化为y=2x+z,z表示直线在y轴上的截距,截距越大z越大,作直线l0:y=2x,平移l0,当l0过点A(5,3)时,z取最小值,且为7,选A.3.若A为不等式组x≤0,y≥0,yx≤2表示的平面区域,则当a从2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为(　　)A.34B.1C.74D.2*:C解析:如图所示,区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形,当a从2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域.S四边形ODEC=S△OBCS△BDE=214=74.4.如果点P在平面区域2xy+2≥0,x2y+1≤0,x+y2≤0上,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为(　　)A.51B.451C.221D.21*:A解析:由图可知不等式组确定的区域为*影部分(包括边界),点P到点Q的最小距离为点(1,0)到点(0,2)的距离减去半径1,|PQ|min=12+221=51.5.已知x,y满足条件x≥0,y≤x,2x+y+k≤0(k为常数),若目标函数z=x+3y的最大值为8,则k=(　　)A.16B.6C.83D.6*:B解析:由z=x+3y得y=13x+z3.先作出x≥0,y≤x的图象,因为目标函数z=x+3y的最大值为8,所以x+3y=8与直线y=x的交点为C,解得C(2,2),代入直线2x+y+k=0,得k=6,选B.6.若变量x,y满足约束条件y≤1,x+y≥0,xy2≤0,则z=x2y的最大值为　　　　　. *:3解析:线*约束条件对应的平面区域如图所示,由z=x2y,得y=x2z2,当直线y=x2z2在y轴上的截距最小时,z取得最大值.由图知,当直线通过点A时,在y轴上的截距最小,由x+y=0,xy2=0,解得A(1,1).所以zmax=12×(1)=3.7.记不等式组x≥0,x+3y≥4,3x+y≤4所表示的平面区域为D,若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是　　　　　. *:12,4解析:作出如图所示的可行域,且A(0,4),B(1,1).又∵直线y=a(x+1)过点C(1,0),而kBC=12,kAC=4.从而直线y=a(x+1)与D有公共点时,a∈12,4.8.已知变量x,y满足2xy≤0,x3y+5≥0,则z=x+y2的最大值为　　　　　. *:1解析:作出可行域,如图所示的*影部分,由图知,目标函数z=x+y2在点A处取最大值.又A(1,2),∴zmax=1+22=1.9.设z=2y2x+4,式中x,y满足0≤x≤1,0≤y≤2,2yx≥1,求z的最大值和最小值.解:作出满足条件0≤x≤1,0≤y≤2,2yx≥1的可行域如图:作直线l:2y2x=t,当l过点A(0,2)时,zmax=2×22×0+4=8.当l过点B(1,1)时,zmin=2×12×1+4=4.所以,z的最大值为8,最小值为4.10.某公司计划在*、乙两个电视台做总时间不超过300min的广告,广告总费用不超过9万元.*、乙电视台的广告收费标准分别为500元/min和200元/min,规定*、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别是0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在*、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?解:设公司在*、乙两个电视台做广告的时间分别是xmin,ymin,总收益为z万元,由题意得:x+y≤300,500x+200y≤90000,x≥0,y≥0,目标函数为z=3000x+2000y.作出二元一次不等式组x+y≤300,5x+2y≤900,x≥0,y≥0所表示的区域,即可行域,如图:作直线l,即3000x+2000y=0,即3x+2y=0.平移直线l,从图中可知,当直线l过点M时,目标函数取得最大值.由x+y=300,5x+2y=900,解得x=100,y=200,即M(100,200).则zmax=3000x+2000y=700000(元),即该公司在*电视台做100min广告,在乙电视台做200min广告,公司收益最大,最大收益是70万元.