高中_数学_数学选修_选修1-1_高中数学人教A版选修1-1学业分层测评+综合测试共含解析_高中数学人教A版选修1-1学业分层测评7椭圆的简单几何*质含解析

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)A．5,3，eq\f(4,5)　　　　　　　B．10,6，eq\f(4,5)C．5,3，eq\f(3,5)D．10,6，eq\f(3,5)【解析】　椭圆方程可化为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1.∴a＝5，b＝3，c＝4，∴长轴长2a＝10，短轴长2b＝6，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5).故选B.【*】　B2．若焦点在x轴上的椭圆eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,m)＝1的离心率为eq\f(1,2)，则m等于(　　)A.eq\r(3)B.eq\f(3,2)C.eq\f(8,3)D.eq\f(2,3)【解析】　∵椭圆焦点在x轴上，∴0＜m＜2，a＝eq\r(2)，c＝eq\r(2－m)，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2－m),\r(2))＝eq\f(1,2).故eq\f(2－m,2)＝eq\f(1,4)，∴m＝eq\f(3,2).【*】　B3．中心在原点，焦点在x轴，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　)A.eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,72)＝1B.eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,45)＝1D.eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,36)＝1【解析】　因为2a＝18,2c＝eq\f(1,3)×2a＝6，所以a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.故所求方程为eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,72)＝1.【*】　A4．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为(　　)A.eq\f(\r(3)－1,2)B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(1＋\r(5),4)D.eq\f(\r(3)＋1,4)【解析】　由题意得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝eq\f(－1±\r(5),2)，又e>0，故所求的椭圆的离心率为eq\f(\r(5)－1,2).故选B.【*】　B5．设e是椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,k)＝1的离心率，且e∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，则实数k的取值范围是(　　)A．(0,3)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(16,3)))C．(0,3)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,3)，＋∞))D．(0,2)【解析】　当焦点在x轴上时，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(4－k,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))，解得0＜k＜3.当焦点在y轴上时，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(k－4,k)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))，解得k＞eq\f(16,3).综上可知选C.【*】　C二、填空题6．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为eq\f(1,3)，长轴长为12，则椭圆方程为________.【导学号：26160036】【解析】　由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(1,3)，,2a＝12，,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6，,b＝4\r(2)，,c＝2，))∴椭圆方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,32)＝1或eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,32)＝1.【*】　eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,32)＝1或eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,32)＝17．若椭圆eq\f(x2,k＋8)＋eq\f(y2,9)＝1的离心率为eq\f(2,3)，则k的值为________．【解析】　若焦点在x轴上，则eq\f(9,k＋8)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(5,9)，k＝eq\f(41,5)；若焦点在y轴上，则eq\f(k＋8,9)＝eq\f(5,9)，∴k＝－3.【*】　eq\f(41,5)或－38．(2016·台州高二检测)若椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，且△PF1F2的最大面积是12，则椭圆的短半轴长为________．【解析】　设P点到x轴的距离为h，则S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|h，当P点在y轴上时，h最大，此时S△PF1F2最大，∵|F1F2|＝2c＝8，∴h＝3，即b＝3.【*】　3三、解答题9．椭圆eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的两焦点F1(0，－c)，F2(0，c)(c>0)，离心率e＝eq\f(\r(3),2)，焦点到椭圆上点的最短距离为2－eq\r(3)，求椭圆的方程．【解】　因为椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴a－c＝2－eq\r(3).又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，∴a＝2，c＝eq\r(3)，b2＝1，∴椭圆的方程为eq\f(y2,4)＋x2＝1.10.如图2－1－3所示，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，M为椭圆上一点，且MF2⊥F1F2，∠MF1F2＝30°.试求椭圆的离心率．INCLUDEPICTURE"XTX16210.TIF"图2－1－3【解】　设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c.因为MF2⊥F1F2，所以△MF1F2为直角三角形．又∠MF1F2＝30°，所以|MF1|＝2|MF2|，|F1F2|＝eq\f(\r(3),2)|MF1|.而由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝2a，因此|MF1|＝eq\f(4a,3)，|MF2|＝eq\f(2a,3)，所以2c＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(4a,3)，即eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，即椭圆的离心率是eq\f(\r(3),3).[能力提升]1．(2016·长沙一模)已知P是椭圆上一定点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若∠PF1F2＝60°，|PF2|＝eq\r(3)|PF1|，则椭圆的离心率为(　　)A.eq\f(\r(3)－1,2)B.eq\r(3)－1C．2－eq\r(3)D．1－eq\f(\r(3),2)【解析】　由题意可得△PF1F2是直角三角形，|F1F2|＝2c，|PF1|＝c，|PF2|＝eq\r(3)c.点P在椭圆上，由椭圆的定义可得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)＝eq\f(2c,c＋\r(3)c)＝eq\r(3)－1.【*】　B2．若点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值为(　　)A．2　　　　B．3C．6　　　　D．8【解析】　由题意得F(－1,0)，设点P(x0，y0)，则yeq\o\al(2,0)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0),4)))(－2≤x0≤2)，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝x0(x0＋1)＋yeq\o\al(2,0)＝xeq\o\al(2,0)＋x0＋yeq\o\al(2,0)＝xeq\o\al(2,0)＋x0＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0),4)))＝eq\f(1,4)(x0＋2)2＋2，当x0＝2时，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))取得最大值为6.故选C.【*】　C3．椭圆的焦点在y轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4，短轴长为8，则椭圆的标准方程是________.【导学号：26160037】【解析】　由题意得eq\f(a－c,a＋c)＝eq\f(1,4)，解得c＝eq\f(3,5)a.又短轴长为2b，则2b＝8，即b＝4，故b2＝a2－c2＝a2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)a))2＝16，则a2＝25.故椭圆的标准方程为eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝1.【*】　eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝14．(2014·安徽高考)设F1，F2分别是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|.(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cos∠AF2B＝eq\f(3,5)，求椭圆E的离心率．【解】　(1)由|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|BF1|＝1.因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.(2)设|BF1|＝k，则k>0，且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－eq\f(6,5)(2a－3k)·(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k，于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.因此|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形．从而c＝eq\f(\r(2),2)a，所以椭圆E的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).