高中_数学_数学选修_选修1-1_高中数学人教版选修1-1训练题含*_人教A版高中数学选修1-1课时提升作业十四2.2.2双曲线的简单几何*质第2课时双曲线方程及*质的应用精讲优练课

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，*解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业十四双曲线方程及*质的应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·全国卷Ⅰ)已知M(x0,y0)是双曲线C:QUOTEy2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若QUOTE·QUOTE<0,则y0的取值范围是　(　　)A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选A.因为F1(QUOTE,0),F2(QUOTE,0),QUOTEQUOTE=1,所以QUOTE·QUOTE=(QUOTEx0,y0)·(QUOTEx0,y0)=QUOTE+QUOTE3<0,即3QUOTE1<0,解得QUOTE<y0<QUOTE.2.(2016·重庆高二检测)已知双曲线x2y2=2,过定点P(2,0)作直线l与双曲线有且只有一个交点,则这样的直线l的条数为　(　　)A.1　　　　　B.2　　　　　C.3　　　　　D.4【解析】选B.因为点P(2,0)在双曲线含焦点的区域内,故只有当直线l与渐近线平行时才会与双曲线只有一个交点,故这样的直线只有两条.【补偿训练】过双曲线x2QUOTE=1的右焦点作直线与双曲线交于A,B两点,若|AB|=16,这样的直线有　(　　)A.一条　　　B.两条C.三条D.四条【解析】选C.过右焦点且垂直于x轴的弦长为16,因为|AB|=16,所以当l与双曲线的两交点都在右支上时只有一条.又因为实轴长为2,16>2,所以当l与双曲线的两交点在左、右两支上时应该有两条,共三条.3.(2016·泉州高二检测)若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(5,0),B(5,0)距离之差为8,则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是　(　　)A.x+y=5B.x2+y2=9C.QUOTE+QUOTE=1D.x2=16y【解析】选B.因为M到平面内两点A(5,0),B(5,0)距离之差为8,所以M的轨迹是以A(5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支,方程为QUOTEQUOTE=1(x≥4),A:直线x+y=5过点(5,0)满足题意;B:x2+y2=9的圆心为(0,0),半径为3,与M的轨迹没有交点,不满足题意;C:QUOTE+QUOTE=1的右顶点(5,0),满足题意;D:方程代入QUOTEQUOTE=1,可得yQUOTE=1,即y29y+9=0,所以y=3,满足题意.4.(2016·青岛高二检测)过双曲线QUOTEQUOTE=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若QUOTE=QUOTE,则双曲线的离心率是　(　　)A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选C.右顶点为A(a,0),则直线方程为x+ya=0,可求得直线与两渐近线的交点坐标BQUOTE,CQUOTE,则QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE.又2QUOTE=QUOTE,所以2a=b,所以e=QUOTE.【补偿训练】已知F1,F2分别是双曲线QUOTEQUOTE=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1作垂直于x轴的直线交双曲线于A,B两点.若△ABF2为直角三角形,则双曲线的离心率为　(　　)A.1+QUOTEB.1±QUOTEC.QUOTED.QUOTE±1【解析】选A.因为△ABF2是直角三角形,所以∠AF2F1=45°,|AF1|=|F1F2|,QUOTE=2c.所以b2=2ac,所以c2a2=2ac,所以e22e1=0.解得e=1±QUOTE.又e>1,所以e=1+QUOTE.5.(2016·沈阳高二检测)已知双曲线E的中心在原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB中点为N(12,15),则E的方程为　(　　)A.QUOTEQUOTE=1B.QUOTEQUOTE=1C.QUOTEQUOTE=1D.QUOTEQUOTE=1【解析】选B.由已知条件易得直线l的斜率k=QUOTE=1,设双曲线方程为QUOTEQUOTE=1(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),则QUOTEQUOTE=1,QUOTEQUOTE=1,两式相减并结合x1+x2=24,y1+y2=30得QUOTE=QUOTE,从而QUOTE=1,又因为a2+b2=c2=9,故a2=4,b2=5,所以E的方程为QUOTEQUOTE=1.【拓展延伸】解决与双曲线弦的中点有关问题的两种方法(1)根与系数的关系法:联立直线方程和双曲线方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入双曲线方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,可求斜率k=QUOTE.这是解决与中点有关问题的简便而有效的方法.求弦中点轨迹问题,此方法依然有效.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·济南高二检测)已知双曲线QUOTEQUOTE=1(a>0,b>0)和椭圆QUOTE+QUOTE=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为　　　　　　.【解析】由题意知,椭圆的焦点坐标是(±QUOTE,0),离心率是QUOTE.故在双曲线中c=QUOTE,e=QUOTE=QUOTE,故a=2,b2=c2a2=3,故所求双曲线的方程是QUOTEQUOTE=1.*:QUOTEQUOTE=17.已知双曲线C:QUOTEQUOTE=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F且斜率为QUOTE的直线交双曲线C于A,B两点.若QUOTE=4QUOTE,则双曲线C的离心率为　　　　.【解析】设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由QUOTE得(b23a2)y2+2QUOTEb2cy+3b4=0,因为b23a2≠0,所以y1+y2=QUOTE,y1y2=QUOTE,由QUOTE=4QUOTE得y1=4y2,所以3y2=QUOTE,4QUOTE=QUOTE,所以y2=QUOTE,代入4QUOTE=QUOTE,得16c2=27a29b2,又b2=c2a2,所以16c2=27a29c2+9a2,所以36a2=25c2,所以e2=QUOTE,所以e=QUOTE.*:QUOTE8.已知直线l:xy+m=0与双曲线x2QUOTE=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值是　　　.【解析】由QUOTE消去y得x22mxm22=0.Δ=4m2+4m2+8=8m2+8>0.设A(x1,y1),B(x2,y2).则x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,所以线段AB的中点坐标为(m,2m),又因为点(m,2m)在圆x2+y2=5上,所以5m2=5,所以m=±1.*:±1【补偿训练】双曲线QUOTEQUOTE=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上,若PF1⊥PF2,则点P到x轴的距离为　　　　.【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n(m>n),所以a=3,b=4,c=5.由双曲线的定义知,mn=2a=6,又PF1⊥PF2.所以△PF1F2为直角三角形.即m2+n2=(2c)2=100.由mn=6,得m2+n22mn=36,所以2mn=m2+n236=64,mn=32.设点P到x轴的距离为d,QUOTE=QUOTEd|F1F2|=QUOTE|PF1|·|PF2|,即QUOTEd·2c=QUOTEmn.所以d=QUOTE=QUOTE=3.2,即点P到x轴的距离为3.2.*:3.2三、解答题(每小题10分,共20分)9.双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F且垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.已知|QUOTE|,|QUOTE|,|QUOTE|成等差数列,且QUOTE与QUOTE同向.(1)求双曲线的离心率.(2)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.【解析】(1)设OA=md,AB=m,OB=m+d,双曲线方程为QUOTEQUOTE=1.由勾股定理可得(md)2+m2=(m+d)2,得d=QUOTEm,tan∠AOF=QUOTE,tan∠AOB=tan2∠AOF=QUOTE=QUOTE.由倍角公式得QUOTE=QUOTE,解得QUOTE=QUOTE,则离心率e=QUOTE.(2)直线AB的方程为y=QUOTE(xc),与双曲线方程QUOTEQUOTE=1联立消y并将a=2b,c=QUOTEb代入,化简有QUOTEx2QUOTEx+21=0.x1+x2=QUOTE,x1·x2=QUOTE,设交点A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|AB|=QUOTE|x1x2|=QUOTE=4,将数值代入,得4=QUOTE,解得b=3,故所求的双曲线方程为QUOTEQUOTE=1.10.已知直线y=ax+1与双曲线3x2y2=1交于A,B两点.(1)若以AB为直径的圆过坐标原点,求实数a的值.(2)是否存在这样的实数a,使A,B两点关于直线y=QUOTEx对称?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由QUOTE消去y得,(3a2)x22ax2=0.　　①依题意QUOTE即QUOTE<a<QUOTE且a≠±QUOTE　　②设A(x1,y1),B(x2,y2),则QUOTE因为以AB为直径的圆过原点,所以OA⊥OB.所以x1x2+y1y2=0,y1y2=a2x1x2+a(x1+x2)+1,由③④知(a2+1)·QUOTE+a·QUOTE+1=0.解得a=±1且满足②.所以实数a的值为±1.(2)假设存在实数a,使A,B关于y=QUOTEx对称,则直线y=ax+1与y=QUOTEx垂直,所以a=2.直线l的方程为y=2x+1.将a=2代入③得x1+x2=4.所以AB中点横坐标为2,纵坐标为y=2×2+1=3.但AB中点(2,3)不在直线y=QUOTEx上.即不存在实数a,使A,B关于直线y=QUOTEx对称.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·郑州高二检测)直线y=QUOTEx与双曲线C:QUOTEQUOTE=1(a>0,b>0)左右两支分别交于M,N两点,F是双曲线C的右焦点,O是坐标原点,若|QUOTE|=|QUOTE|,则双曲线的离心率等于　(　　)A.QUOTE+QUOTEB.QUOTE+1C.QUOTE+1D.2QUOTE【解析】选B.由题知|MO|=|NO|=|FO|,所以△MFN为直角三角形,且∠MFN=90°,取左焦点为F0,连结NF0,MF0,由双曲线的对称*知,四边形NFMF0为平行四边形.又因为∠MFN=90°,所以四边形NFMF0为矩形,所以|MN|=|F0F|=2c,又因为直线MN的倾斜角为60°,即∠NOF=60°,所以∠NMF=30°,所以|NF|=|MF0|=c,|MF|=QUOTEc,由双曲线定义知|MF||MF0|=QUOTEcc=2a,所以e=QUOTE=QUOTE+1.【补偿训练】过双曲线M:x2QUOTE=1(b>0)的左顶点A作斜率为1的直线l.若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B,C,且B是AC的中点,则双曲线M的离心率为　(　　)A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选D.由题意可知A(1,0),故直线l的方程为y=x+1.两条渐近线方程为y=±bx,由已知联立QUOTE得BQUOTE,同理可得CQUOTE,又B是AC的中点,故2×QUOTE=0+QUOTE,解得b=3.故c=QUOTE=QUOTE.所以e=QUOTE=QUOTE.2.(2016·黄冈高二检测)已知平面上两点M(5,0)和N(5,0),若直线上存在点P使|PM||PN|=6,则称该直线为“单曲型直线”,下列直线中是“单曲型直线”的是　(　　)①y=x+1;　②y=2;　③y=QUOTEx;　④y=2x+1.A.①③B.③④C.②③D.①②【解析】选D.因为|PM||PN|=6,所以点P在以M,N为焦点的双曲线的右支上,即QUOTEQUOTE=1(x>0).对于①,联立QUOTE消y得7x218x153=0,因为Δ=(18)24×7×(153)>0,所以y=x+1是“单曲型直线”.对于②,联立QUOTE消y得x2=QUOTE,所以y=2是“单曲型直线”.对于③,联立QUOTE整理得0=1,不成立,所以y=QUOTEx不是“单曲型直线”.对于④,联立QUOTE消y得20x2+36x+153=0,因为Δ=3624×20×153<0,所以y=2x+1不是“单曲型直线”.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·福州高二检测)设双曲线QUOTEQUOTE=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B,则△AFB的面积为　　　　　.【解题指南】由双曲线的方程可得a,b的值,进而可得c的值,得到A,F两点的坐标.因此可得BF的方程为y=±QUOTE(x5),与双曲线的渐近线方程联立,得到点B的坐标,即可算出△AFB的面积.【解析】根据题意,得a2=9,b2=16,所以c=QUOTE=5,且A(3,0),F(5,0).因为双曲线QUOTEQUOTE=1的渐近线方程为y=±QUOTEx.所以直线BF的方程为y=±QUOTE(x5).①若直线BF的方程为y=QUOTE(x5),与渐近线y=QUOTEx交于点BQUOTE,此时S△AFB=QUOTE|AF|·|yB|=QUOTE×2×QUOTE=QUOTE;②若直线BF的方程为y=QUOTE(x5),与渐近线y=QUOTEx交于点BQUOTE.此时S△AFB=QUOTE|AF|·|yB|=QUOTE×2×QUOTE=QUOTE.因此,△AFB的面积为QUOTE.*:QUOTE4.(2016·浙*高考)设双曲线x2QUOTE=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是　　　　.【解析】由已知a=1,b=QUOTE,c=2,则e=QUOTE=2,设P(x,y)是双曲线上任意一点,由对称*不妨设P在右支上,则1<x<2,|PF1|=2x+1,|PF2|=2x1,∠F1PF2为锐角,则|PF1|2+|PF2|2>|F1F2|2即(2x+1)2+(2x1)2>42,解得x>QUOTE,所以QUOTE<x<2,所以|PF1|+|PF2|=4x∈(2QUOTE,8).*:(2QUOTE,8)三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·南昌高二检测)已知双曲线C:QUOTEQUOTE=1(a>0,b>0).如图,B是右顶点,F是右焦点,点A在x轴正半轴上,且满足|QUOTE|,|QUOTE|,|QUOTE|成等比数列,过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l,垂足为P.(1)求*:QUOTE·QUOTE=QUOTE·QUOTE.(2)若l与双曲线C的左右两支分别相交于点E,D,求双曲线离心率e的取值范围.【解析】(1)双曲线的渐近线为y=±QUOTEx,F(c,0),所以直线l的斜率为QUOTE,所以直线l:y=QUOTE(xc).由QUOTE得PQUOTE,因为|QUOTE|,|QUOTE|,|QUOTE|成等比数列,所以xA·c=a2,所以xA=QUOTE,AQUOTE,QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE所以QUOTE·QUOTE=QUOTE,QUOTE·QUOTE=QUOTE,则QUOTE·QUOTE=QUOTE·QUOTE.(2)由QUOTE得,QUOTEx2+2QUOTEcxQUOTE=0,x1x2=QUOTE,因为点E,D分别在左右两支上,所以QUOTE<0,所以b2>a2,所以e2>2,所以e>QUOTE.6.(2016·哈尔滨高二检测)已知双曲线QUOTEQUOTE=1(a>0,b>0)的离心率e=QUOTE,过点A(0,b)和B(a,0)的直线与原点的距离是QUOTE.(1)求双曲线的方程及渐近线方程.(2)若直线y=kx+5(k≠0)与双曲线交于不同的两点C,D,且两点都在以A为圆心的同一个圆上,求k的值.【解析】(1)直线AB的方程为QUOTE+QUOTE=1,即bxayab=0.又原点O到直线AB的距离QUOTE=QUOTE⇒ab=QUOTEc,由QUOTE得QUOTE所求双曲线方程为QUOTEy2=1,渐近线方程为y=±QUOTEx.(2)由(1)可知A(0,1),设C(x1,y1),D(x2,y2),由|AC|=|AD|得:QUOTE所以3+3QUOTE+(y1+1)2=3+3QUOTE+(y2+1)2,整理得:(y1y2)=0,因为k≠0,所以y1≠y2,所以y1+y2=QUOTE,又由QUOTE⇒(13k2)y210y+253k2=0QUOTE,所以y1+y2=QUOTE=QUOTE,得k2=7,由Δ=1004(13k2)(253k2)>0⇒0<k2<QUOTE,k2=7满足此条件,故满足题设的k=±QUOTE.【一题多解】(2)由QUOTE⇒(13k2)x230kx78=0QUOTE,设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点M(x0,y0),因为|AC|=|AD|,所以M在CD的中垂线AM上,因为QUOTElAM:y+1=QUOTEx,所以QUOTE+1=QUOTE·QUOTE,整理得k2=7,解得k=±QUOTE.(k2=7满足13k2≠0且Δ>0).关闭Word文档返回原板块