高中_数学_数学选修_选修1-1_高中数学（人教A版，选修1-1）作业_人教a版数学【选修1-1】作业：2.1.1椭圆及其标准方程（含*）

第二章　圆锥曲线与方程§2.1椭圆2.1.1　椭圆及其标准方程INCLUDEPICTURE"左括.TIF"课时目标INCLUDEPICTURE"右括.TIF"　1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．INCLUDEPICTURE"知识梳理.TIF"1．椭圆的概念：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．当|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|时，轨迹是__________，当|PF1|＋|PF2|<|F1F2|时__________轨迹．2．椭圆的方程：焦点在x轴上的椭圆的标准方程为________________，焦点坐标为________________，焦距为________；焦点在y轴上的椭圆的标准方程为________________．INCLUDEPICTURE"作业设计.TIF"一、选择题1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是(　　)A．椭圆B．直线C．圆D．线段2．椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为(　　)A．32B．16C．8D．43．椭圆2x2＋3y2＝1的焦点坐标是(　　)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\f(\r(6),6)))B．(0，±1)C．(±1,0)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(6),6)，0))4．方程eq\f(x2,|a|－1)＋eq\f(y2,a＋3)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)A．(－3，－1)B．(－3，－2)C．(1，＋∞)D．(－3,1)5．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(3,2)))，则该椭圆的方程是(　　)A.eq\f(y2,8)＋eq\f(x2,4)＝1B.eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1C.eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,8)＝1D.eq\f(y2,6)＋eq\f(x2,10)＝16．设F1、F2是椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且P到两个焦点的距离之差为2，则△PF1F2是(　　)A．钝角三角形B．锐角三角形C．斜三角形D．直角三角形题号123456*二、填空题7．椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,2)＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．8．P是椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1上的点，F1和F2是该椭圆的焦点，则k＝|PF1|·|PF2|的最大值是______，最小值是______．9．“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n千米，远地点距地面m千米，地球半径为R，那么这个椭圆的焦距为________千米．三、解答题10．根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2))).11．已知点A(0，eq\r(3))和圆O1：x2＋(y＋eq\r(3))2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且|PM|＝|PA|，求动点P的轨迹方程．INCLUDEPICTURE"左括.TIF"能力提升INCLUDEPICTURE"右括.TIF"12．若点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则false·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值为(　　)A．2B．3C．6D．813．如图△ABC中底边BC＝12，其它两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程．INCLUDEPICTURE"4.TIF"INCLUDEPICTURE"反思感悟1.TIF"1．椭圆的定义中只有当距离之和2a>|F1F2|时轨迹才是椭圆，如果2a＝|F1F2|，轨迹是线段F1F2，如果2a<|F1F2|，则不存在轨迹．2．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有a>b>0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．3．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx2＋ny2＝1(m，n为不相等的正数)．第二章　圆锥曲线与方程§2.1　椭　圆2．1.1　椭圆及其标准方程*知识梳理1．常数　椭圆　焦点　焦距　线段F1F2　不存在2.eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)　F1(－c，0)，F2(c，0)　2c　eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)作业设计1．D　[∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，∴动点M的轨迹是线段．]2．B　[由椭圆方程知2a＝8，由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，所以△ABF2的周长为16.]3．D4．B　[|a|－1>a＋3>0.]5．D　[椭圆的焦点在x轴上，排除A、B，又过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(3,2)))验*即可．]6．D　[由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.由题可得||PF1|－|PF2||＝2，则|PF1|＝5或3，|PF2|＝3或5.又|F1F2|＝2c＝4，∴△PF1F2为直角三角形．]7．2　120°解析　INCLUDEPICTURE"208.TIF"∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝6－|PF1|＝2.在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(16＋4－28,2×4×2)＝－eq\f(1,2)，∴∠F1PF2＝120°.8．4　3解析　设|PF1|＝x，则k＝x(2a－x)，因a－c≤|PF1|≤a＋c，即1≤x≤3.∴k＝－x2＋2ax＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴kmax＝4，kmin＝3.9．m－n解析　设a，c分别是椭圆的长半轴长和半焦距，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝m＋R,a－c＝n＋R))，则2c＝m－n.10．解　(1)∵椭圆的焦点在x轴上，∴设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．∵2a＝10，∴a＝5，又∵c＝4.∴b2＝a2－c2＝52－42＝9.故所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)∵椭圆的焦点在y轴上，∴设椭圆的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由椭圆的定义知，2a＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋2))2)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－2))2)＝eq\f(3\r(10),2)＋eq\f(\r(10),2)＝2eq\r(10)，∴a＝eq\r(10).又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6.故所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1.11．解　∵|PM|＝|PA|，|PM|＋|PO1|＝4，∴|PO1|＋|PA|＝4，又∵|O1A|＝2eq\r(3)<4，∴点P的轨迹是以A、O1为焦点的椭圆，∴c＝eq\r(3)，a＝2，b＝1，∴动点P的轨迹方程为x2＋eq\f(y2,4)＝1.12．C　[由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x0，y0)，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝xeq\o\al(2,0)＋x0＋yeq\o\al(2,0).∵P为椭圆上一点，∴eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),3)＝1.∴eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝xeq\o\al(2,0)＋x0＋3(1－eq\f(x\o\al(2,0),4))＝eq\f(x\o\al(2,0),4)＋x0＋3＝eq\f(1,4)(x0＋2)2＋2.∵－2≤x0≤2，∴eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6.]13．解　以BC边所在直线为x轴，BC边中点为原点，建立如图所示坐标系，则B(6,0)，C(－6,0)，CE、BD为AB、AC边上的中线，则|BD|＋|CE|＝30.由重心*质可知INCLUDEPICTURE"5.TIF"|GB|＋|GC|＝eq\f(2,3)(|BD|＋|CE|)＝20.∵B、C是两个定点，G点到B、C距离和等于定值20，且20>12，∴G点的轨迹是椭圆，B、C是椭圆焦点．∴2c＝|BC|＝12，c＝6,2a＝20，a＝10，b2＝a2－c2＝102－62＝64，故G点的轨迹方程为eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1，去掉(10,0)、(－10,0)两点．又设G(x′，y′)，A(x，y)，则有eq\f(x′2,100)＋eq\f(y′2,64)＝1.由重心坐标公式知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(x,3)，,y′＝\f(y,3).))故A点轨迹方程为eq\f(\f(x,3)2,100)＋eq\f(\f(y,3)2,64)＝1.即eq\f(x2,900)＋eq\f(y2,576)＝1，去掉(－30,0)、(30,0)两点．