高中_数学_数学选修_选修1-2_高中数学人教A版选修1-2学业分层测评+综合测试共含解析_高中数学人教A版选修1-2学业分层测评3合情推理含解析

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·郑州高二检测)下列说法正确的是(　　)A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论无法判定正误【解析】　合情推理得出的结论不一定正确，故A错；合情推理必须有前提有结论，故B对；合情推理中类比推理是根据两个或两类对象有部分属*相同，从而推出它们的其他属*也相同的推理，可进行猜想，故C错；合情推理得出的结论可以进行判定正误，故D错．【*】　B2．下面使用类比推理恰当的是(　　)A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”【解析】　由实数运算的知识易得C项正确．【*】　C3．(2016·大连高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图2­1­7所示，INCLUDEPICTURE"S6.TIF"图2­1­7按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为(　　)A．6n－2　B．8n－2C．6n＋2D．8n＋2【解析】　从①②③可以看出，从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.【*】　C4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的(　　)A．一条中线上的点，但不是中心B．一条垂线上的点，但不是垂心C．一条角平分线上的点，但不是内心D．中心【解析】　由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心．【*】　D5．(2016·南昌调研)已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第57个数对是(　　)A．(2,10)B．(10,2)C．(3,5)D．(5,3)【解析】　由题意，发现所给数对有如下规律：(1,1)的和为2，共1个；(1,2)，(2,1)的和为3，共2个；(1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个；(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个；(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5个．由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)．【*】　A二、填空题6．把正数排列成如图2­1­8*的三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图2­1­8乙的三角形数阵，现把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{an}，若an＝2017，则n＝__________.【导学号：19220014】12345678910111213141516*　12457910121416乙图2­1­8【解析】　图乙中第k行有k个数，第k行最后的一个数为k2，前k行共有eq\f(kk＋1,2)个数，由44×44＝1936,45×45＝2025知an＝2017出现在第45行，第45行第一个数为1937，第eq\f(2017－1937,2)＋1＝41个数为2017，所以n＝eq\f(4444＋1,2)＋41＝1031.【*】　10317．(2016·日照高二检测)二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝eq\f(4,3)πr3，观察发现V′＝S.已知四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝________.【解析】　因为V＝8πr3，所以W＝2πr4，满足W′＝V.【*】　2πr48．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为________．【解析】　结合等差数列的特点，类比等比数列中b1b2b3…b9＝29可得，在{an}中，若a5＝2，则有a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.【*】　a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9三、解答题9．已知数列eq\f(8×1,12×32)，eq\f(8×2,32×52)，…，eq\f(8×n,2n－122n＋12)，…，Sn为其前n项和，计算S1，S2，S3，S4，观察计算结果，并归纳出Sn的公式．【解】　S1＝eq\f(8×1,12×32)＝eq\f(8,9)＝eq\f(32－1,32)＝eq\f(2×1＋12－1,2×1＋12)，S2＝eq\f(8,9)＋eq\f(8×2,32×52)＝eq\f(24,25)＝eq\f(52－1,52)＝eq\f(2×2＋12－1,2×2＋12)，S3＝eq\f(24,25)＋eq\f(8×3,52×72)＝eq\f(48,49)＝eq\f(72－1,72)＝eq\f(2×3＋12－1,2×3＋12)，S4＝eq\f(48,49)＋eq\f(8×4,72×92)＝eq\f(80,81)＝eq\f(92－1,92)＝eq\f(2×4＋12－1,2×4＋12)，由此归纳猜想Sn＝eq\f(2n＋12－1,2n＋12).10．(2016·咸阳高二检测)在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值eq\f(\r(3),2)a.类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的*．【解】　类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值eq\f(\r(6),3)a.*：设M是正四面体P­ABC内任一点，M到平面ABC，平面PAB，平面PAC，平面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：VP­ABC＝VM­ABC＋VM­PAB＋VM­PAC＋VM­PBC＝eq\f(1,3)·S△ABC·(d1＋d2＋d3＋d4)，而S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a2，VP­ABC＝eq\f(\r(2),12)a3，故d1＋d2＋d3＋d4＝eq\f(\r(6),3)a(定值)．[能力提升]1．根据给出的数塔，猜测123456×9＋7等于(　　)1×9＋2＝11；12×9＋3＝111；123×9＋4＝1111；1234×9＋5＝11111；12345×9＋6＝111111；A．1111110B．1111111C．1111112D．1111113【解析】　由前5个等式知，右边各位数字均为1，位数比前一个等式依次多1位，所以123456×9＋7＝1111111，故选B.【*】　B2．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则eq\f(AG,GD)＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则eq\f(AO,OM)＝(　　)A．1B．2C．3D．4【解析】　如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM＝eq\f(\r(6),3)，此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等体积法有4×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)r＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)⇒r＝eq\f(\r(6),12)，故AO＝AM－MO＝eq\f(\r(6),3)－eq\f(\r(6),12)＝eq\f(\r(6),4)，故AO∶OM＝eq\f(\r(6),4)∶eq\f(\r(6),12)＝3∶1.【*】　C3．(2016·温州高二检测)如图2­1­9所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当eq\o(FB,\s\up15(→))⊥eq\o(AB,\s\up15(→))时，其离心率为eq\f(\r(5)－1,2)，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于_________________________．【导学号：19220015】INCLUDEPICTURE"JT4.TIF"图2­1­9【解析】　如图所示，设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)，所以eq\o(FB,\s\up15(→))＝(c，b)，eq\o(AB,\s\up15(→))＝(－a，b)．又因为eq\o(FB,\s\up15(→))⊥eq\o(AB,\s\up15(→))，所以eq\o(FB,\s\up15(→))·eq\o(AB,\s\up15(→))＝b2－ac＝0，所以c2－a2－ac＝0，所以e2－e－1＝0，所以e＝eq\f(1＋\r(5),2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去)．【*】　eq\f(1＋\r(5),2)4．某同学在一次研究*学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并*你的结论．【解】　(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin30°＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).*如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°·cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＋eq\f(\r(3),2)sinαcosα＋eq\f(1,4)sin2α－eq\f(\r(3),2)sinαcosα－eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(3,4)sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＝eq\f(3,4).