高中_数学_数学选修_选修2-1_高中数学（人教版A版选修2-1）配套课时作业含*_高中数学（人教版A版选修2-1）配套课时作业：第三章空间向量与立体几何3.1.5含*

.ks5u.3.1.5　空间向量运算的坐标表示课时目标　1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．INCLUDEPICTURE"D:\\【阿贤软件】\\下载器\\download\\名校试卷\\理科\\数学\\知识梳理.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"M:\\高中人教版数学全套（新）\\同步练习\\选修21\\【学案导学与随堂笔记】20162017学年高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*(数理化网)\\知识梳理.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"P:\\【2018新高中人教版数学资料】\\必修选修同步练习全套\\选修21\\高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*\\知识梳理.TIF"\*MERGEFORMATI1．空间向量的直角坐标运算律设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a＋b＝______________；(2)a－b＝________________；(3)λa＝____________(λ∈R)；(4)a·b＝________________；(5)a∥b⇔________________；(6)a⊥b⇔________________.2．几个重要公式(1)若A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝________________________.即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的________的坐标减去________的坐标．(2)模长公式：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝eq\r(a·a)＝______________，|b|＝eq\r(b·b)＝________________.(3)夹角公式：cos〈a，b〉＝________________＝________________________(a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3))．(4)两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)．则＝=_________.INCLUDEPICTURE"D:\\【阿贤软件】\\下载器\\download\\名校试卷\\理科\\数学\\作业设计.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"M:\\高中人教版数学全套（新）\\同步练习\\选修21\\【学案导学与随堂笔记】20162017学年高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*(数理化网)\\作业设计.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"P:\\【2018新高中人教版数学资料】\\必修选修同步练习全套\\选修21\\高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*\\作业设计.TIF"\*MERGEFORMATI一、选择题1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A的坐标为(－1,2,1)，点B的坐标为(1,3,4)，则(　　)A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,2,1)B.eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,3,4)C..eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1,3)D.eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1，－3)2．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则(　　)A．x＝eq\f(1,3)，y＝1B．x＝eq\f(1,2)，y＝－4C．x＝2，y＝－eq\f(1,4)D．x＝1，y＝－13．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝eq\f(a3,b3)是a∥b的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)A．1B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(7,5)5．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为(　　)A.eq\r(65)B.eq\f(\r(65),2)C．4D．86．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)则|b－a|的最小值是(　　)A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(55),5)C.eq\f(3\r(5),5)D.eq\f(11,5)二、填空题7．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，点P(x，－1,3)在平面ABC内，则x＝______.8．若(a＋3b)⊥(7a－5b)，且(a－4b)⊥(7a－5b)，则a与b的夹角的余弦值为________．9.已知A（1，－1,2），B(5,6,2)C(1,31)则eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(AC,\s\up6(→))上的投影为______．三、解答题10．设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2,并取A1B1、A1A的中点分别为P、Q.（1）求向量eq\o(BQ,\s\up6(→))的长；（2）cos〈eq\o(BQ,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉，cos〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉，并比较〈eq\o(BQ,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉与〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉的大小；(3)求*：AB1⊥C1P.能力提升12．在长方体OABC—O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题：(1)求直线AO1与B1E所成的角的余弦值；(2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．13．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点，在棱BB1上是否存在点M，使得D1M⊥平面EFB1?INCLUDEPICTURE"D:\\【阿贤软件】\\下载器\\download\\名校试卷\\理科\\数学\\反思感悟1.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"M:\\高中人教版数学全套（新）\\同步练习\\选修21\\【学案导学与随堂笔记】20162017学年高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*(数理化网)\\反思感悟1.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"P:\\【2018新高中人教版数学资料】\\必修选修同步练习全套\\选修21\\高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*\\反思感悟1.TIF"\*MERGEFORMATI1．空间向量在几何中的应用有了向量的坐标表示，利用向量的平行、垂直判定几何中线线、线面的平行与垂直，利用向量长度公式、夹角公式求两点间的距离和两异面直线所成的角，只需通过简单运算即可．在此处，要认真体会向量的工具*作用．2．关于空间直角坐标系的建立建系时，要根据图形特点，充分利用图形中的垂直关系确定原点和各坐标轴．同时，使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．这样可以较方便的写出点的坐标．3．1.5　空间向量运算的坐标表示知识梳理1．(1)(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)　(2)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)　(3)(λa1，λa2，λa3)　(4)a1b1＋a2b2＋a3b3　(5)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)　(6)a1b1＋a2b2＋a3b3＝02．(1)(x2－x1，y2－y1，z2－z1)　终点　起点(2)eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))　eq\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))(3)eq\f(a·b,|a||b|)　eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))(4)作业设计1．C2．B　[∵a＋2b＝(1＋2x,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，∴3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－4.]3．A　[设eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝eq\f(a3,b3)＝k，易知a∥b，即条件具有充分*．又若b＝0时，b＝(0,0,0)，虽有a∥b，但条件eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝eq\f(a3,b3)显然不成立，所以条件不具有必要*，故选A.]4．D　[∵ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，∴3(k－1)＋2k－4＝0.∴k＝eq\f(7,5).]5．A　[设向量a、b的夹角为θ，于是cosθ＝eq\f(4－2＋2,3×3)＝eq\f(4,9)，由此可得sinθ＝eq\f(\r(65),9).所以以a、b为邻边的平行四边形的面积为S＝2×eq\f(1,2)×3×3×eq\f(\r(65),9)＝eq\r(65).]6．C　[∵|b－a|＝eq\r(b－a2)＝eq\r(1＋t2＋2t－12)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,5)))2＋\f(9,5))≥eq\r(\f(9,5))＝eq\f(3\r(5),5)，∴|b－a|的最小值是eq\f(3\r(5),5).]7．11解析　∵点P在平面ABC内，∴存在实数k1，k2，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝k1eq\o(AB,\s\up6(→))＋k2eq\o(AC,\s\up6(→))，即(x－4，－2,0)＝k1(－2,2，－2)＋k2(－1,6，－8)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2k1＋6k2＝－2，,k1＋4k2＝0，))　解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k1＝－4，,k2＝1.))∴x－4＝－2k1－k2＝8－1＝7，即x＝11.8．1解析　由题意知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－5a·b＋21a·b－15|b|2＝7|a|2＋16a·b－15b2＝0，①且(a－4b)·(7a－5b)＝7|a|2－33a·b＋20|b|2＝0，②①－②得49a·b＝35|b|2.∴|a|2＝eq\f(25,49)|b|2，∴eq\f(|b|,|a|)＝eq\f(7,5).∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(35,49)|b|2,|a||b|)＝eq\f(35,49)·eq\f(|b|,|a|)＝1.9．－4解析　∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0)．eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)，∴cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝＝－eq\f(20,5\r(41))，eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(AC,\s\up6(→))上的投影为|eq\o(AB,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(20,5\r(41))))＝－4.10．解　ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(7，－4，－16)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，则eq\f(k－2,7)＝eq\f(5k＋3,－4)＝eq\f(－k＋5,－16)，解得k＝－eq\f(1,3).(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，则(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝eq\f(106,3).11．解　INCLUDEPICTURE"D:\\【阿贤软件】\\下载器\\download\\名校试卷\\理科\\数学\\45.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"M:\\高中人教版数学全套（新）\\同步练习\\选修21\\【学案导学与随堂笔记】20162017学年高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*(数理化网)\\45.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"P:\\【2018新高中人教版数学资料】\\必修选修同步练习全套\\选修21\\高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*\\45.TIF"\*MERGEFORMATI以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则由已知，得C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C1(0,0,2)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，2))，Q(1,0,1)，B1(0,1,2)，A1(1,0,2)．∴eq\o(BQ,\s\up6(→))＝(1，－1,1)，eq\o(CB1,\s\up6(→))＝(0,1,2)，eq\o(BA1,\s\up6(→))＝(1，－1,2)，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(－1,1,2)，eq\o(C1P,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0)).(1)|eq\o(BQ,\s\up6(→))|＝＝eq\r(12＋－12＋12)＝eq\r(3).(2)∵eq\o(BQ,\s\up6(→))·eq\o(CB1,\s\up6(→))＝0－1＋2＝1，|eq\o(BQ,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(CB1,\s\up6(→))|＝eq\r(02＋12＋22)＝eq\r(5)，∴cos〈eq\o(BQ,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,\r(3)×\r(5))＝eq\f(\r(15),15).又eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(CB1,\s\up6(→))＝0－1＋4＝3，|eq\o(BA1,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋1＋4)＝eq\r(6)，|eq\o(CB1,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，∴cos〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉＝eq\f(3,\r(30))＝eq\f(\r(30),10).又0<eq\f(\r(15),15)<eq\f(\r(30),10)<1，∴〈eq\o(BQ,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉，〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).又y＝cosx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))内单调递减，∴〈eq\o(BQ,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉>〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉．(3)*　∵eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(C1P,\s\up6(→))＝(－1,1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))＝0，∴eq\o(AB1,\s\up6(→))⊥eq\o(C1P,\s\up6(→)).12．解　INCLUDEPICTURE"D:\\【阿贤软件】\\下载器\\download\\名校试卷\\理科\\数学\\+2.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"M:\\高中人教版数学全套（新）\\同步练习\\选修21\\【学案导学与随堂笔记】20162017学年高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*(数理化网)\\+2.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"P:\\【2018新高中人教版数学资料】\\必修选修同步练习全套\\选修21\\高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*\\+2.TIF"\*MERGEFORMATI建立如图所示的空间直角坐标系．(1)由题意得A(2,0,0)，O1(0，0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)．∴eq\o(AO1,\s\up6(→))＝(－2,0,2)，eq\o(B1E,\s\up6(→))＝(－1,0，－2)，∴cos〈eq\o(AO1,\s\up6(→))，eq\o(B1E,\s\up6(→))〉＝eq\f(－2,2\r(10))＝－eq\f(\r(10),10)，∴AO1与B1E所成角的余弦值为eq\f(\r(10),10).(2)由题意得eq\o(O1D,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，∵C(0,3,0)，设D(x，y,0)，∴eq\o(O1D,\s\up6(→))＝(x，y，－2)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x－2，y,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,3,0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋3y＝0，,\f(x－2,－2)＝\f(y,3)，))　解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(18,13)，,y＝\f(12,13).))∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,13)，\f(12,13)，0))，∴O1D＝|eq\o(O1D,\s\up6(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,13)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2＋4)＝eq\f(2\r(286),13).即点O1到点D的距离为eq\f(2\r(286),13).13．解　INCLUDEPICTURE"D:\\【阿贤软件】\\下载器\\download\\名校试卷\\理科\\数学\\+13C.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"M:\\高中人教版数学全套（新）\\同步练习\\选修21\\【学案导学与随堂笔记】20162017学年高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*(数理化网)\\+13C.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"P:\\【2018新高中人教版数学资料】\\必修选修同步练习全套\\选修21\\高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*\\+13C.TIF"\*MERGEFORMATI如图所示，分别以eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))为单位正交基底，建立空间直角坐标系Dxyz，则D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))，设M(1,1，m)，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，0))，eq\o(B1E,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，－1))，eq\o(D1M,\s\up6(→))＝(1,1，m－1)．若D1M⊥平面EFB1，则D1M⊥EF且D1M⊥B1E.即eq\o(D1M,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝0，eq\o(D1M,\s\up6(→))·eq\o(B1E,\s\up6(→))＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,2)＋m－1×0＝0,0－\f(1,2)＋1－m＝0))，∴m＝eq\f(1,2)，即存在点M且为B1B的中点，使D1M⊥平面EFB1.