高中_数学_数学选修_选修2-1_高中数学（人教版A版选修2-1）配套课时作业含*_高中数学（人教版A版选修2-1）配套课时作业：第三章空间向量与立体几何单元检测（A卷）含

.ks5u.第三章　空间向量与立体几何(A)(时间：120分钟　满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．以下命题中，不正确的个数为(　　)①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③若a·b＝0，b·c＝0，则a＝c；④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．52．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝c，则eq\o(A1B,\s\up6(→))等于(　　)A．a＋b－cB．a－b＋cC．－a＋b＋cD．－a＋b－c3．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，则(　　)A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝eq\f(15,2)C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝eq\f(15,2)4．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝eq\r(3)，且a分别与eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))垂直，则向量a为(　　)A．(1,1,1)B．(－1，－1，－1)C．(1,1,1)或(－1，－1，－1)D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)5．已知A(－1,0,1)，B(0,0,1)，C(2,2,2)，D(0,0,3)，则sin〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉等于(　　)A．－eq\f(2,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(\r(5),3)D．－eq\f(\r(5),3)6．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝eq\r(2)BB1，则AB1与C1B所成角的大小为(　　)A．60°B．90°C．105°D．75°7．若平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是(　　)A．cosθ＝eq\f(n·a,|n||a|)B．cosθ＝eq\f(|n·a|,|n||a|)C．sinθ＝eq\f(n·a,|n||a|)D．sinθ＝eq\f(|n·a|,|n||a|)8．若三点A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是(　　)A．不等边的锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形9．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则(　　)A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确10．若两点A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|eq\o(AB,\s\up6(→))|取最小值时，x的值等于(　　)A．19B．－eq\f(8,7)C.eq\f(8,7)D.eq\f(19,14)11.INCLUDEPICTURE"D:\\【阿贤软件】\\下载器\\download\\名校试卷\\理科\\数学\\72.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"M:\\高中人教版数学全套（新）\\同步练习\\选修21\\【学案导学与随堂笔记】20162017学年高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*(数理化网)\\72.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"P:\\【2018新高中人教版数学资料】\\必修选修同步练习全套\\选修21\\高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*\\72.TIF"\*MERGEFORMATI如图所示，在四面体P—ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B—AP—C的余弦值为(　　)A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(7),7)D.eq\f(5,7)12.INCLUDEPICTURE"D:\\【阿贤软件】\\下载器\\download\\名校试卷\\理科\\数学\\74.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"M:\\高中人教版数学全套（新）\\同步练习\\选修21\\【学案导学与随堂笔记】20162017学年高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*(数理化网)\\74.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"P:\\【2018新高中人教版数学资料】\\必修选修同步练习全套\\选修21\\高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*\\74.TIF"\*MERGEFORMATI如图所示，在直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为(　　)A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\r(3)D．2eq\r(3)题　号123456789101112答　案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，则|a－2b|＝________.14．如图所示，INCLUDEPICTURE"D:\\【阿贤软件】\\下载器\\download\\名校试卷\\理科\\数学\\76.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"M:\\高中人教版数学全套（新）\\同步练习\\选修21\\【学案导学与随堂笔记】20162017学年高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*(数理化网)\\76.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"P:\\【2018新高中人教版数学资料】\\必修选修同步练习全套\\选修21\\高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*\\76.TIF"\*MERGEFORMATI已知正四面体ABCD中，AE＝eq\f(1,4)AB，CF＝eq\f(1,4)CD，则直线DE和BF所成角的余弦值为________．15．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．16.INCLUDEPICTURE"D:\\【阿贤软件】\\下载器\\download\\名校试卷\\理科\\数学\\77.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"M:\\高中人教版数学全套（新）\\同步练习\\选修21\\【学案导学与随堂笔记】20162017学年高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*(数理化网)\\77.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"P:\\【2018新高中人教版数学资料】\\必修选修同步练习全套\\选修21\\高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*\\77.TIF"\*MERGEFORMATI如图所示，已知二面角α—l—β的平面角为θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为______．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，CA1⊥BC1.求*：AB1＝CA1.18．(12分)已知四边形ABCD的顶点分别是A(3，－1，2)，B(1，2，－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)．求*：四边形ABCD是一个梯形．19.(12分)INCLUDEPICTURE"D:\\【阿贤软件】\\下载器\\download\\名校试卷\\理科\\数学\\78.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"M:\\高中人教版数学全套（新）\\同步练习\\选修21\\【学案导学与随堂笔记】20162017学年高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*(数理化网)\\78.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"P:\\【2018新高中人教版数学资料】\\必修选修同步练习全套\\选修21\\高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*\\78.TIF"\*MERGEFORMATI如图所示，四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断与是否共线？20．(12分)INCLUDEPICTURE"D:\\【阿贤软件】\\下载器\\download\\名校试卷\\理科\\数学\\79.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"M:\\高中人教版数学全套（新）\\同步练习\\选修21\\【学案导学与随堂笔记】20162017学年高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*(数理化网)\\79.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"P:\\【2018新高中人教版数学资料】\\必修选修同步练习全套\\选修21\\高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*\\79.TIF"\*MERGEFORMATI如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.求*：C1C⊥BD.21.(12分)INCLUDEPICTURE"D:\\【阿贤软件】\\下载器\\download\\名校试卷\\理科\\数学\\80.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"M:\\高中人教版数学全套（新）\\同步练习\\选修21\\【学案导学与随堂笔记】20162017学年高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*(数理化网)\\80.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"P:\\【2018新高中人教版数学资料】\\必修选修同步练习全套\\选修21\\高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*\\80.TIF"\*MERGEFORMATI如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．22．(12分)INCLUDEPICTURE"D:\\【阿贤软件】\\下载器\\download\\名校试卷\\理科\\数学\\81.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"M:\\高中人教版数学全套（新）\\同步练习\\选修21\\【学案导学与随堂笔记】20162017学年高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*(数理化网)\\81.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"P:\\【2018新高中人教版数学资料】\\必修选修同步练习全套\\选修21\\高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*\\81.TIF"\*MERGEFORMATI如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)*AF⊥平面A1ED；(3)求二面角A1—ED—F的正弦值．第三章　空间向量与立体几何(A)1．C　[只有命题④正确．]2.INCLUDEPICTURE"D:\\【阿贤软件】\\下载器\\download\\名校试卷\\理科\\数学\\71.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"M:\\高中人教版数学全套（新）\\同步练习\\选修21\\【学案导学与随堂笔记】20162017学年高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*(数理化网)\\71.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"P:\\【2018新高中人教版数学资料】\\必修选修同步练习全套\\选修21\\高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*\\71.TIF"\*MERGEFORMATID　[如图，eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CC1,\s\up6(→))＝b－a－c.]3．D　[∵a∥b，∴存在实数λ，使eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝2λ,x＝4λ,y＝5λ))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6,y＝\f(15,2))).]4．C　[设a＝(x，y，z)，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，－3,2)，又|a|＝eq\r(3)，a⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，a⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋z2＝3，,－2x－y＋3z＝0，,x－3y＋2z＝0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，,z＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，,z＝－1.))∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．]5．C　[∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－2，－2,1)，∴cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝＝－eq\f(2,3)，∴sin〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(5),3).]6．B　[INCLUDEPICTURE"D:\\【阿贤软件】\\下载器\\download\\名校试卷\\理科\\数学\\+3.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"M:\\高中人教版数学全套（新）\\同步练习\\选修21\\【学案导学与随堂笔记】20162017学年高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*(数理化网)\\+3.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"P:\\【2018新高中人教版数学资料】\\必修选修同步练习全套\\选修21\\高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*\\+3.TIF"\*MERGEFORMATI建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，则A(0,0,1)，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\f(\r(2),2)，0))，C1(0，eq\r(2)，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\f(\r(2),2)，1)).∴eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\f(\r(2),2)，－1))，eq\o(C1B,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，－\f(\r(2),2)，1))，∴eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(C1B,\s\up6(→))＝eq\f(6,4)－eq\f(2,4)－1＝0，即AB1与C1B所成角的大小为90°.]7．D　[若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则θ＝β－90°或θ＝90°－β，cosβ＝eq\f(n·a,|n||a|)，∴sinθ＝|cosβ|＝eq\f(|n·a|,|n||a|).]8．A　[eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,4,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(5,1,3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，－3,1)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))>0，得∠A为锐角；eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))>0，得∠C为锐角；eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>0，得∠B为锐角，所以△ABC是锐角三角形且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(29)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(35)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(14).]9．A　[∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.]10．C　[eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1－x,2x－3，－3x＋3)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(1－x2＋2x－32＋－3x＋32)＝eq\r(14x2－32x＋19)＝eq\r(14\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,7)))2＋\f(5,7)).故当x＝eq\f(8,7)时，|eq\o(AB,\s\up6(→))|取最小值．]11．C　[如图所示，INCLUDEPICTURE"D:\\【阿贤软件】\\下载器\\download\\名校试卷\\理科\\数学\\73.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"M:\\高中人教版数学全套（新）\\同步练习\\选修21\\【学案导学与随堂笔记】20162017学年高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*(数理化网)\\73.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"P:\\【2018新高中人教版数学资料】\\必修选修同步练习全套\\选修21\\高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*\\73.TIF"\*MERGEFORMATI作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E，设AB＝1，则易得CE＝eq\f(\r(2),2)，EP＝eq\f(\r(2),2)，PA＝PB＝eq\r(2)，可以求得BD＝eq\f(\r(14),4)，ED＝eq\f(\r(2),4).∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\o(BD,\s\up6(→))2＋eq\o(DE,\s\up6(→))2＋eq\o(EC,\s\up6(→))2＋2eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＋2eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(EC,\s\up6(→))＋2eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→)).∴eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)，∴cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(EC,\s\up6(→))〉＝－eq\f(\r(7),7)，即二面角B—AP—C的余弦值为eq\f(\r(7),7).]12．B　[INCLUDEPICTURE"D:\\【阿贤软件】\\下载器\\download\\名校试卷\\理科\\数学\\75.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"M:\\高中人教版数学全套（新）\\同步练习\\选修21\\【学案导学与随堂笔记】20162017学年高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*(数理化网)\\75.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"P:\\【2018新高中人教版数学资料】\\必修选修同步练习全套\\选修21\\高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*\\75.TIF"\*MERGEFORMATI建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，E(1,0,0)，D(0，－1,2)，C(0,1,2)．eq\o(AD,\s\up6(→))＝(0,0,2)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0,2,2)，设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，则INCLUDEPICTURE"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\ApplicationData\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\A$G]E{`J%[A6W}4$8H_0`NK.jpg"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\ApplicationData\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\A$G]E{`J%[A6W}4$8H_0`NK.jpg"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\ApplicationData\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\A$G]E{`J%[A6W}4$8H_0`NK.jpg"\*MERGEFORMATI　即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0；,2y＋2z＝0.))令y＝1，∴n＝(－1,1，－1)．故点D到平面ACE的距离d＝INCLUDEPICTURE"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\ApplicationData\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\B44$$[[O0`GIP)3E88QKOP0.jpg"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\ApplicationData\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\B44$$[[O0`GIP)3E88QKOP0.jpg"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\ApplicationData\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\B44$$[[O0`GIP)3E88QKOP0.jpg"\*MERGEFORMATI＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－2,\r(3))))＝eq\f(2\r(3),3).]13.eq\r(258)解析　∵a－2b＝(8，－5,13)，∴|a－2b|＝eq\r(82＋－52＋132)＝eq\r(258).14.eq\f(4,13)解析　因四面体ABCD是正四面体，顶点A在底面BCD内的*影为△BCD的垂心，所以有BC⊥DA，AB⊥CD.设正四面体的棱长为4，则eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→)))·(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))＝0＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))＋0＝4×1×cos120°＋1×4×cos120°＝－4，BF＝DE＝eq\r(42＋12－2×4×1×cos60°)＝eq\r(13)，所以异面直线DE与BF的夹角θ的余弦值为：cosθ＝INCLUDEPICTURE"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\ApplicationData\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\3XTY4ZYYNR173%BL@T(Y{BI.jpg"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\ApplicationData\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\3XTY4ZYYNR173%BL@T(Y{BI.jpg"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\ApplicationData\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\3XTY4ZYYNR173%BL@T(Y{BI.jpg"\*MERGEFORMATI＝eq\f(4,13).15.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)解析　设n1＝(1,0，－1)，n2＝(0，－1,1)，则cos〈n1，n2〉＝eq\f(1×0＋0×－1＋－1×1,\r(2)·\r(2))＝－eq\f(1,2)，∴〈n1，n2〉＝eq\f(2π,3).因平面α与平面β所成的角与〈n1，n2〉相等或互补，所以α与β所成的角为eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).16.eq\r(3－2cosθ)解析　因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＋eq\o(CD,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cosθ.所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(3－2cosθ)，即AD的长为eq\r(3－2cosθ).17．*　以A为原点，AC为x轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系．设B(a，b,0)，C(c,0,0)，A1(0,0，d)，则B1(a，b，d)，C1(c,0，d)，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(a，b，d)，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(c－a，－b，d)，eq\o(CA1,\s\up6(→))＝(－c,0，d)，由已知eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝ca－a2－b2＋d2＝0，eq\o(CA1,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝－c(c－a)＋d2＝0，可得c2＝a2＋b2.再由两点间距离公式可得：|AB1|2＝a2＋b2＋d2，|CA1|2＝c2＋d2＝a2＋b2＋d2，∴AB1＝CA1.18．*　因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，因为eq\f(－2,4)＝eq\f(3,－6)＝eq\f(－3,6)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(CD,\s\up6(→))共线，即AB∥CD.又因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，因为eq\f(0,－2)≠eq\f(－4,－1)≠eq\f(1,－2)，所以eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))不平行，所以四边形ABCD为梯形．19．解　∵M、N分别是AC、BF的中点，四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2).又∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)，∴eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)，∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋2eq\o(AF,\s\up6(→))＋＝2(eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→)))＝2eq\o(MN,\s\up6(→)).∴eq\o(CE,\s\up6(→))∥eq\o(MN,\s\up6(→))，即eq\o(CE,\s\up6(→))与eq\o(MN,\s\up6(→))共线．20．*　设eq\o(CD,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝c，依题意，|a|＝|b|，又设eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))中两两所成夹角为θ，于是eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(CC1,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝c·(a－b)＝c·a－c·b＝|c||a|cosθ－|c||b|cosθ＝0，所以C1C⊥BD.21．解　因为eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉－|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝－16eq\r(2)＋24.所以cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝INCLUDEPICTURE"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\ApplicationData\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\NCTB1L0%N[IN_A}XK0OY3}L.jpg"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\ApplicationData\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\NCTB1L0%N[IN_A}XK0OY3}L.jpg"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\ApplicationData\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\NCTB1L0%N[IN_A}XK0OY3}L.jpg"\*MERGEFORMATI＝eq\f(24－16\r(2),8×5)＝eq\f(3－2\r(2),5).即OA与BC所成角的余弦值为eq\f(3－2\r(2),5).22．(1)解　INCLUDEPICTURE"D:\\【阿贤软件】\\下载器\\download\\名校试卷\\理科\\数学\\82.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"M:\\高中人教版数学全套（新）\\同步练习\\选修21\\【学案导学与随堂笔记】20162017学年高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*(数理化网)\\82.TIF"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"P:\\【2018新高中人教版数学资料】\\必修选修同步练习全套\\选修21\\高中数学（人教版A版选修21）配套课时作业26份打包Word版含*\\82.TIF"\*MERGEFORMATI如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点．设AB＝1，依题意得D(0,2,0)，F(1,2,1)，A1(0,0,4)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)，0)).易得eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1))，eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(0,2，－4)，于是cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(A1D,\s\up6(→))〉＝INCLUDEPICTURE"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\ApplicationData\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\X`C~T6@(0RQ(R%RR5{_ER]3.jpg"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\ApplicationData\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\X`C~T6@(0RQ(R%RR5{_ER]3.jpg"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\ApplicationData\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\X`C~T6@(0RQ(R%RR5{_ER]3.jpg"\*MERGEFORMATI＝－eq\f(3,5).所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为eq\f(3,5).(2)*　易知eq\o(AF,\s\up6(→))＝(1,2,1)，eq\o(EA1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)，4))，eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，0))，于是eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(EA1,\s\up6(→))＝0，eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))＝0.因此，AF⊥EA1，AF⊥ED.又EA1∩ED＝E，所以AF⊥平面A1ED.(3)设平面EFD的法向量u＝(x，y，z)，则INCLUDEPICTURE"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\ApplicationData\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\9RSOB9MZPB[@2HT13W(A3P7.jpg"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\ApplicationData\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\9RSOB9MZPB[@2HT13W(A3P7.jpg"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\ApplicationData\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\9RSOB9MZPB[@2HT13W(A3P7.jpg"\*MERGEFORMATI即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)y＋z＝0，,－x＋\f(1,2)y＝0.))不妨令x＝1，可得u＝(1,2，－1)，由(2)可知，eq\o(AF,\s\up6(→))为平面A1ED的一个法向量，于是cos〈u，eq\o(AF,\s\up6(→))〉＝INCLUDEPICTURE"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\ApplicationData\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\4D{ZTH7CZ6)EE2)T1`BPSXG.jpg"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\ApplicationData\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\4D{ZTH7CZ6)EE2)T1`BPSXG.jpg"\*MERGEFORMATIINCLUDEPICTURE"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\ApplicationData\\Tencent\\Users\\329662031\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\4D{ZTH7CZ6)EE2)T1`BPSXG.jpg"\*MERGEFORMATI＝eq\f(2,3)，从而sin〈u，eq\o(AF,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(5),3).所以二面角A1—ED—F的正弦值为eq\f(\r(5),3).