高中_数学_数学选修_选修2-3_高中数学人教A版选修2-3学业分层测评+综合测试共含解析_高中数学人教A版选修2-3练习：2.2.1条件概率含解析

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　　)A.eq\f(1,8)　　　　　　　　B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,2)【解析】　∵P(A)＝eq\f(C\o\al(2,2)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(4,10)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(1,4).【*】　B2．下列说法正确的是(　　)A．P(B|A)＜P(AB)B．P(B|A)＝eq\f(PB,PA)是可能的C．0＜P(B|A)＜1D．P(A|A)＝0【解析】　由条件概率公式P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)及0≤P(A)≤1知P(B|A)≥P(AB)，故A选项错误；当事件A包含事件B时，有P(AB)＝P(B)，此时P(B|A)＝eq\f(PB,PA)，故B选项正确，由于0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，故C，D选项错误．故选B.【*】　B3．(2014·全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　)A．0.8　　　B．0.75　　　C．0.6　　　D．0.45【解析】　已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P＝eq\f(0.6,0.75)＝0.8.【*】　A4．(2016·泉州期末)从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A为“取到的两个数之和为偶数”，事件B为“取到的两个数均为偶数”，则P(B|A)等于(　　)A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,2)【解析】　法一：P(A)＝eq\f(C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(1,4).法二：事件A包含的基本事件数为Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,2)＝4，在A发生的条件下事件B包含的基本事件为Ceq\o\al(2,2)＝1，因此P(B|A)＝eq\f(1,4).【*】　B5．抛掷两枚骰子，则在已知它们点数不同的情况下，至少有一枚出现6点的概率是(　　)A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,18)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,9)【解析】　设“至少有一枚出现6点”为事件A，“两枚骰子的点数不同”为事件B，则n(B)＝6×5＝30，n(AB)＝10，所以P(A|B)＝eq\f(nAB,nB)＝eq\f(10,30)＝eq\f(1,3).【*】　A二、填空题6．已知P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.【解析】　P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(0.12,0.18)＝eq\f(2,3)；P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(0.12,0.2)＝eq\f(3,5).【*】　eq\f(2,3)　eq\f(3,5)7．设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为eq\f(3,10)，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为eq\f(1,2)，则事件A发生的概率为________.【导学号：97270038】【解析】　由题意知，P(AB)＝eq\f(3,10)，P(B|A)＝eq\f(1,2).由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)，得P(A)＝eq\f(PAB,PB|A)＝eq\f(3,5).【*】　eq\f(3,5)8．有五瓶墨水，其中红*一瓶，蓝*、黑*各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝*，则另一瓶是红*或黑*的概率是________．【解析】　设事件A为“其中一瓶是蓝*”，事件B为“另一瓶是红*”，事件C为“另一瓶是黑*”，事件D为“另一瓶是红*或黑*”，则D＝B∪C，且B与C互斥，又P(A)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(7,10)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,2)·C\o\al(1,1),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,5)，P(AC)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)，故P(D|A)＝P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝eq\f(PAB,PA)＋eq\f(PAC,PA)＝eq\f(6,7).【*】　eq\f(6,7)三、解答题9．*、乙两个袋子中，各放有大小、形状和个数相同的小球若干．每个袋子中标号为0的小球为1个，标号为1的2个，标号为2的n个．从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是eq\f(1,10).(1)求n的值；(2)从*袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1的条件下，求另一个标号也是1的概率．【解】　(1)由题意得：eq\f(C\o\al(2,n),C\o\al(2,n＋3))＝eq\f(nn－1,n＋3n＋2)＝eq\f(1,10)，解得n＝2.(2)记“其中一个标号是1”为事件A，“另一个标号是1”为事件B，所以P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5)－C\o\al(2,3))＝eq\f(1,7).10．任意向x轴上(0,1)这一区间内掷一个点，问：(1)该点落在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))内的概率是多少？(2)在(1)的条件下，求该点落在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，1))内的概率．【解】　由题意知，任意向(0,1)这一区间内掷一点，该点落在(0,1)内哪个位置是等可能的，令A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|0＜x＜\f(1,3)))，由几何概率的计算公式可知．(1)P(A)＝eq\f(\f(1,3),1)＝eq\f(1,3).(2)令B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))＜x＜1))，则AB＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,5)＜x＜\f(1,3)))，P(AB)＝eq\f(\f(1,3)－\f(1,5),1)＝eq\f(2,15).故在A的条件下B发生的概率为P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(2,15),\f(1,3))＝eq\f(2,5).[能力提升]1．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是(　　)A.eq\f(1,4)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)【解析】　一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．记事件A为“其中一个是女孩”，事件B为“另一个是女孩”，则A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，AB＝{(女，女)}．于是可知P(A)＝eq\f(3,4)，P(AB)＝eq\f(1,4).问题是求在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求P(B|A)，由条件概率公式，得P(B|A)＝eq\f(\f(1,4),\f(3,4))＝eq\f(1,3).【*】　D2．(2016·开封高二检测)将3颗骰子各掷一次，记事件A表示“三个点数都不相同”，事件B表示“至少出现一个3点”，则概率P(A|B)等于(　　)A.eq\f(91,216)　　　　B.eq\f(5,18)　　　　C.eq\f(60,91)　　　　D.eq\f(1,2)【解析】　事件B发生的基本事件个数是n(B)＝6×6×6－5×5×5＝91，事件A，B同时发生的基本事件个数为n(AB)＝3×5×4＝60.所以P(A|B)＝eq\f(nAB,nB)＝eq\f(60,91).【*】　C3．袋中有6个黄*的乒乓球，4个白*的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为________．【解析】　记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才取到黄球”为事件C，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq\f(4,10)×eq\f(6,9)＝eq\f(4,15).【*】　eq\f(4,15)4．如图2­2­1，三行三列的方阵有9个数aij(i＝1,2,3，j＝1,2,3)，从中任取三个数，已知取到a22的条件下，求至少有两个数位于同行或同列的概率．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a11　a12　a13a21　a22　a23a31　a32　a33))图2­2­1【解】　事件A＝{任取的三个数中有a22}，事件B＝{三个数至少有两个数位于同行或同列}，则eq\x\to(B)＝{三个数互不同行且不同列}，依题意得n(A)＝Ceq\o\al(2,8)＝28，n(Aeq\x\to(B))＝2，故P(eq\x\to(B)|A)＝eq\f(nA\x\to(B),nA)＝eq\f(2,28)＝eq\f(1,14)，则P(B|A)＝1－P(eq\x\to(B)|A)＝1－eq\f(1,14)＝eq\f(13,14).即已知取到a22的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为eq\f(13,14).