高中_数学_数学选修_选修4-1_高中数学人教A版选修4-1课时跟踪检测含解析_高中数学人教A版选修4-1课时跟踪检测（七）圆内接四边形的*质与判定定理含解析

课时跟踪检测(七)圆内接四边形的*质与判定定理一、选择题1．四边形ABCD的一个内角∠C＝36°，E是BA延长线上一点，若∠DAE＝36°，则四边形ABCD(　　)A．一定有一个外接圆B．四个顶点不在同一个圆上C．一定有内切圆D．四个顶点是否共圆不能确定解析：选A　因为∠C＝36°，∠DAE＝36°，所以∠C与∠BAD的一个外角相等，由圆内接四边形判定定理的推论知，该四边形有外接圆，故选A.2．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是(　　)A．4∶2∶3∶1　　　　　　B．4∶3∶1∶2C．4∶1∶3∶2D．以上都不对解析：选B　由四边形ABCD内接于圆，得∠A＋∠C＝∠B＋∠D，从而只有B项符合题意．3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AB的延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于(　　)A．20°B．40°C．80°D．100°解析：选C　四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形*质知∠D＝∠CBE＝40°，又由圆周角定理知∠AOC＝2∠D＝80°.4．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有(　　)①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B　由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确，②④错误．二、填空题5．如图，直径AB＝10，弦BC＝8，CD平分∠ACB，则AC＝______，BD＝________.解析：∠ACB＝90°，∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝8，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝6.又∵CD平分∠ACB，即∠ACD＝∠BCD，∴AD＝BD.∴BD＝eq\r(\f(AB2,2))＝5eq\r(2).*：6　5eq\r(2)6．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝1，∠ACD＝60°，则四边形ABCD的面积为________．INCLUDEPICTURE"15XTRJX4138.TIF"解析：过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.因为∠ADF＋∠ABC＝180°，∠ABE＋∠ABC＝180°，所以∠ABE＝∠ADF.又因为AB＝AD，∠AEB＝∠AFD＝90°，所以Rt△AEB≌Rt△AFD.所以S四边形ABCD＝S四边形AECF，AE＝AF.又因为∠E＝∠AFC＝90°，AC＝AC，所以Rt△AEC≌Rt△AFC.因为∠ACD＝60°，∠AFC＝90°，所以∠CAF＝30°.因为AC＝1，所以CF＝eq\f(1,2)，AF＝eq\f(\r(3),2)，所以S四边形ABCD＝2S△ACF＝2×eq\f(1,2)CF×AF＝eq\f(\r(3),4).*：eq\f(\r(3),4)7.如图，已知四边形ABCD内接于圆，分别延长AB和DC相交于点E，EG平分∠E，且与BC，AD分别相交于F，G，若∠AED＝40°，∠CFG＝80°，则∠A＝________.解析：∵EG平分∠E，∴∠FEC＝20°.∴∠FCE＝∠CFG－∠FEC＝60°.∵四边形ABCD内接于圆，∴∠A＝∠FCE＝60°.*：60°三、解答题8.如图，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为2eq\r(3).(1)求*：△CDE∽△CBA；(2)求DE的长．解：(1)*：因为四边形ABED为⊙O的内接四边形，所以∠CED＝∠A(或∠CDE＝∠B)．又∠C＝∠C，所以△CDE∽△CBA.(2)法一：连接AE.由(1)得eq\f(DE,BA)＝eq\f(CE,CA)，因为AB为⊙O的直径，所以∠AEB＝∠AEC＝90°.在Rt△AEC中，因为∠C＝60°，所以∠CAE＝30°，所以eq\f(DE,BA)＝eq\f(CE,CA)＝eq\f(1,2)，即DE＝2eq\r(3).法二：连接DO，EO.因为AO＝DO＝OE＝OB，所以∠A＝∠ODA，∠B＝∠OEB.由(1)知∠A＋∠B＝∠CDE＋∠CED＝120°，又∠A＋∠B＋∠ADE＋∠DEB＝360°，所以∠ODE＋∠OED＝120°，则∠DOE＝60°，所以△ODE为等边三角形，所以DE＝OB＝2eq\r(3).9.如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.(1)*：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，*：A，B，G，F四点共圆．*：(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆．INCLUDEPICTURE"能力提升*.TIF"10．如图，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为2eq\r(3)，点C与点D分别是劣弧false与优弧false上的任一点(点C，D均不与A，B重合)．(1)求∠ACB；(2)求△ABD的最大面积．解：(1)连接OA，OB，作OE⊥AB，E为垂足，则AE＝BE.Rt△AOE中，OA＝2，AE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)＝eq\r(3).∴sin∠AOE＝eq\f(AE,OA)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠AOE＝60°，∠AOB＝2∠AOE＝120°.又∠ADB＝eq\f(1,2)∠AOB，∴∠ADB＝60°.又四边形ACBD为圆内接四边形，∴∠ACB＋∠ADB＝180°.从而有∠ACB＝180°－∠ADB＝120°.(2)作DF⊥AB，垂足为F，则S△ABD＝eq\f(1,2)AB·DF＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×DF＝eq\r(3)DF.显然，当DF经过圆心O时，DF取最大值，从而S△ABD取得最大值．此时DF＝DO＋OF＝3，S△ABD＝3eq\r(3)，即△ABD的最大面积是3eq\r(3).